线性代数本质系列(二)矩阵乘法与复合线性变换,行列式,三维空间线性变换

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了线性代数本质系列(二)矩阵乘法与复合线性变换,行列式,三维空间线性变换。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

本系列文章将从下面不同角度解析线性代数的本质,本文是本系列第二篇

向量究竟是什么?
向量的线性组合,基与线性相关
矩阵与线性相关
矩阵乘法与复合线性变换
三维空间中的线性变换
行列式

逆矩阵,列空间,秩与零空间
克莱姆法则
非方阵
点积与对偶性
叉积
以线性变换眼光看叉积
基变换
特征向量与特征值
抽象向量空间
快速计算二阶矩阵特征值
张量,协变与逆变和秩

矩阵乘法与复合线性变换

我们已经知道矩阵是一种线性变换,现在对基向量连续施加两种线性变换,例如,先旋转,再剪切,其实,这在整体上可以看作是一种新的变换,这个新的变换被称为前两种独立变换的“复合变换”。
关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

这个复合变换的矩阵可以通过追踪基向量的坐标得到,如上图所示,变换后的 i ⃗ \vec{i} i 坐标 [ 1 1 ] \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} [11],变换后的 j ⃗ \vec{j} j 坐标 [ − 1 0 ] \begin{bmatrix} -1\\ 0 \end{bmatrix} [10],那么该复合变换矩阵就可以表示为: [ 1 − 1 1 0 ] \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} [1110],当我们求一个向量经过复合变换后的坐标时,可以通过下图右边公式那样直接使用复合变换矩阵,而不需要像下图左边那样对向量连续施加两次单独的变换。
关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

更一般地,对于矩阵乘法,我们就有了新的认识:他的几何意义是先施加一个变换,再施加另一个变换,施加顺序从右到左,顺序不同得到的结果也不同。

关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

推广到更一般地数学含义: g ( f ( x ) ) g( f( x)) g(f(x))

根据前面章节学习到的知识,要想求线性变换对向量的作用,首先要得到变换后的基向量的坐标,让我们来看一个例子,假设连续施加两个线性变换 M 1 M_{1} M1 M 2 M_{2} M2
关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

要想跟踪 i ⃗ \vec{i} i 的去向,先看 M 1 M_{1} M1的第一列,这是经过 M 1 M_{1} M1变换后 i ⃗ \vec{i} i 首先到达的地方: [ e g ] \begin{bmatrix} e\\ g \end{bmatrix} [eg],然后新的 i ⃗ \vec{i} i 要经过 M 2 M_{2} M2的变换后到达最终目的地:
关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

该结果作为复合矩阵的第一列, j ⃗ \vec{j} j 经过同样的变换过程到达最终目的地,结果为复合变换矩阵第二列,复合变换的最终结果为:
关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

看,这不就是课堂上老师教的矩阵乘法计算规则嘛,只不过我们是从几何的角度推出来的。

大家可以从几何的角度来自行分析一下矩阵乘法的法则:

交换律: M 1 M 2 ≠ M 2 M 1 M_{1} M_{2} \neq M_{2} M_{1} M1M2=M2M1

结合率:(AB)C=A(BC)

三维空间中的线性变换

前面一直在讨论二维情况,也就是将二维向量映射成二维向量,其实,只要掌握了二维线性变换的核心本质,就能轻松的扩展到更高维的空间中。
关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

三维空间变换以三维向量为输入,以三维向量为输出,和二维向量一样,一个线性变换是在操纵三维空间中所有的点,变换后保持空间中网格线等距且原点不变。
关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

与二维一样,三维线性变换也是由基向量的去向完全决定,只不过基向量由 i ⃗ \vec{i} i j ⃗ \vec{j} j 变成了 i ⃗ \vec{i} i j ⃗ \vec{j} j , k ⃗ \vec{k} k ,例如,我们得到变换后三个基向量的坐标,那么由三个新的基向量组成矩阵就是三维线性变换矩阵 [ 1 1 1 0 1 0 − 1 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} 101110101

关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

要想计算一个向量经过上面的三维变换后的新坐标,同样可以参照二维空间的计算方式,结果向量是基向量的线性组合。

关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵
关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

同理两个三维矩阵的相乘也可以合并成一个复合变换矩阵,三维变换在计算机图形学中有着广泛的应用。
关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

三维矩阵的乘法同样遵循二维矩阵乘法的思路。

行列式

前面我们从几何的角度对线性变换有了很直观的认识,其中有的线性变换对空间向外拉伸,有的则是将空间向内挤压。
关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵
向内挤压

关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵
向外拉伸

有一种方法对于理解这些线性变换很有用,那就是准确测量向内挤压了多少,向外拉伸了多少,更具体地讲就是计算出一个区域增大或减少的比例。

让我们来看一个例子,假设一个线性变换矩阵 [ 3 0 0 2 ] \begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} [3002],变换前基向量形成的四边形面积为1。

关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

变换后,如下图,基向量形成一个2*3的矩形,面积为6

关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

所以我们说这个变换将基向量形成的方格拉伸了6倍,根据线性变换的性质,如下图,所有可形成的区域都被拉伸了同样的大小。

关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

现在,我们要抛出一个重磅信息:这个面积的变化的比例值就是该线性变换矩阵的行列式,这就是行列式的几何意义。

关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

如果行列式值大于1,则代表该线性变换矩阵将一个区域进行拉伸,大于0且小于1的数代表缩小,负数代表反方向缩放。

注意,如果一个线性变换矩阵的行列式为0,则代表该变换将一个区域压缩成了一条线或者是一个点,从几何意义上讲,也就是说该变换将空间压缩到了更小的维度上,这在我们后面判断线性方程组是否有解提供了重要依据。

关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

同理,三维线性变换的行列式代表的则是体积的变换比例,如下图,一个以初始基向量形成的111的立方体经过线性变换后该体积变成了如下图的大小。
关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

三维变换矩阵的行列式为0,代表空间被压缩成了一个面,或者一个点,如果行列式是负数,说明空间定向已经发生改变,不能用右手定则描述基向量之间的关系。

前面说了行列式的几何意义,那如何求一个矩阵的行列式呢?
关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

上图是一个行列式的计算公式,那它的几何意义是什么呢?如下图,假设给定一个特殊矩阵 [ a 0 0 d ] \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & d \end{bmatrix} [a00d] i ⃗ \vec{i} i 被缩放了a倍, j ⃗ \vec{j} j 被缩放了d倍,变换前后面积缩放了ad倍,这正符合行列式计算公式的结果。

关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵

前面我们给出了一个特殊的例子,但推广到更一般的矩阵,也是满足上面公式的。
关系矩阵乘法是复合运算,线性代数,线性代数,矩阵文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-785771.html

到了这里,关于线性代数本质系列(二)矩阵乘法与复合线性变换,行列式,三维空间线性变换的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 线性代数 --- 矩阵与向量的乘法

    矩阵x向量(注:可以把列向量看成是nx1的矩阵)         现有如下方程组:  9个系数,3个未知数,等式右边有3个数         上述方程组可用矩阵的方式改写成,一个系数矩阵A与一个未知数向量x的乘积,乘积的结果等于右端向量b: 现在我们分别用两种方法,行乘和

    2024年02月05日
    浏览(75)
  • 【线性代数】从矩阵分块的角度理解矩阵乘法

    概念: 例: 1. 分块矩阵计算的数学步骤 使用Numpy计算例1 按列分块 按行分块 分块后的计算公式 矩阵分块法提供了行数和列数较多的矩阵相乘的一种计算方法,以此来简化矩阵相乘的运算次数; 按行列分块将矩阵A分为n个列向量和m个行向量,利用矩阵乘法的定义,殊途同归

    2024年02月13日
    浏览(69)
  • 线性代数:矩阵运算(加减、数乘、乘法、幂、除、转置)

    目录 加减 数乘  矩阵与矩阵相乘  矩阵的幂 矩阵转置  方阵的行列式  方阵的行列式,证明:|AB| = |A| |B|        

    2024年01月22日
    浏览(51)
  • 线性代数的学习和整理6:如何表示向量/矩阵? 矩阵就是向量组,矩阵的本质是什么?

    目录 0 参考的知识点和目录 1 向量 1.1 向量的概念 1.2 向量如何表示 1.3 向量/矩阵的优秀表示方法:即向量空间内的有向线段 2 矩阵 2.1 矩阵就是多个列向量的集合/合并( 而不是 +),矩阵就是多个列向量的一种简化书写方式? 2.2 矩阵的加法  =等价于=  向量的加法 2.3 矩阵

    2024年02月07日
    浏览(54)
  • 线性代数矩阵乘法中的行向量和列向量

    在矩阵中有两个概念,行向量与列向量,这是从两个不同的角度看待矩阵的组成。这篇文章将从 行向量 和 列向量 两个角度来分解 矩阵的乘法 。 假设有两个矩阵 A 和 B 一般矩阵的乘法分解 简单的理解就是A矩阵的第一行与B矩阵的第一列逐元素相乘,就是 结果矩阵 的左上角

    2024年02月11日
    浏览(47)
  • 【线性代数】通过矩阵乘法得到的线性方程组和原来的线性方程组同解吗?

    如果你进行的矩阵乘法涉及一个线性方程组 Ax = b,并且你乘以一个可逆矩阵 M,且产生新的方程组 M(Ax) = Mb,那么这两个系统是等价的;它们具有相同的解集。这是因为可逆矩阵的乘法可以视为一个可逆的线性变换,不会改变方程解的存在性或唯一性。 换句话说,如果你将原

    2024年02月03日
    浏览(61)
  • 第一百二十一天学习记录:线性代数:矩阵乘法运算(宋浩板书)

    在编程和学习数据结构的过程中,发现有些算法会用到矩阵和矩阵的乘法运算,因此先将这一个知识点学习一下。 乘法☆ 总结三条不满足

    2024年02月13日
    浏览(42)
  • <3>【深度学习 × PyTorch】必会 线性代数 (含详细分析):点积 | 矩阵-向量积 | Hadamard积 | 矩阵乘法 | 范数/矩阵范数

      拍照的意义在于你按下快门的那一刻,万里山河的一瞬间变成了永恒。   🎯作者主页: 追光者♂🔥          🌸个人简介:   💖[1] 计算机专业硕士研究生💖   🌟[2] 2022年度博客之星人工智能领域TOP4🌟   🏅[3] 阿里云社区特邀专家博主🏅   🏆[4] CSDN-人工智能领域

    2024年02月05日
    浏览(58)
  • 线性代数的学习和整理9:线性代数的本质(未完成)

    目录 1 相关英语词汇 1.1 元素 1.2 计算 1.3 特征 1.4 线性相关 1.5 各种矩阵 1.6 相关概念 2 可参考经典线性代数文档 2.1 学习资料 2.2 各种文章和视频 2.3 各种书 2.4 下图是网上找的思维导图 3 线性代数的本质 3.1 线性代数是第2代数学模型 一般的看法 大牛总结说法: 3.2   线性代

    2024年02月09日
    浏览(59)
  • 线性代数的本质笔记

    课程来自b站发现的《线性代数的本质》,可以帮助从直觉层面理解线性代数的一些基础概念,以及把一些看似不同的数学概念解释之后,发现其实有内在的关联。 这里只对部分内容做一个记录,完整内容请自行观看视频~ 数字在线性代数中起到的主要作用就是缩放向量 线性

    2024年02月08日
    浏览(47)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包