矩阵迹的常用公式

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了矩阵迹的常用公式。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

1. 迹的定义

设矩阵 A = [ a i j ] A=[ a_{ij}] A=[aij]为大小为 n × n n\times n n×n的矩阵,矩阵 A A A的迹定义如下:
t r ( A ) = ∑ i = 1 n a i i tr(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii} tr(A)=i=1naii

2. 常用公式

公式1:两个矩阵乘积的迹: t r ( A B ) = t r ( B A ) tr(AB) = tr(BA) tr(AB)=tr(BA)

公式2:三个矩阵乘积的迹:

t r ( A B C ) = t r ( C A B ) = t r ( B C A ) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA) tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)

公式3: t r ( A ) = t r ( A T ) tr(A) = tr(A^T) tr(A)=tr(AT)

3. 迹的求导

公式4 矩阵乘积的迹的求导:

∂ t r ( A B ) ∂ A = ∂ t r ( B A ) ∂ A = B T \frac{\partial tr(AB)}{\partial A} = \frac{\partial tr(BA)}{\partial A} = B^T Atr(AB)=Atr(BA)=BT

公式5 矩阵转置乘积的求导:

∂ t r ( A T B ) ∂ A = ∂ t r ( B A T ) ∂ A = B \frac{\partial tr(A^TB)}{\partial A} = \frac{\partial tr(BA^T)}{\partial A} = B Atr(ATB)=Atr(BAT)=B

公式6 包含两个变量矩阵的求导(自身及转置):

∂ t r ( A B A T C ) ∂ A = C A B + C T A B T \frac{\partial tr(ABA^TC)}{\partial A} = CAB + C^TAB^T Atr(ABATC)=CAB+CTABT
证明:
分布求导,可得:
∂ t r ( A B A T C ) ∂ A = ∂ t r ( A B A T C ) ∂ A + ∂ t r ( A T C A B ) ∂ A \frac{\partial tr(ABA^TC)}{\partial A} =\frac{\partial {tr(ABA^TC)}}{\partial{A}} + \frac{\partial{tr(A^TCAB)}}{\partial{A}} Atr(ABATC)=Atr(ABATC)+Atr(ATCAB)

∂ t r ( A B A T C ) ∂ A = ( B A T C ) T = C T A B T \frac{\partial {tr(ABA^TC)}}{\partial{A}} = (BA^TC)^T=C^TAB^T Atr(ABATC)=(BATC)T=CTABT

∂ t r ( A T C A B ) ∂ A = C A B \frac{\partial{tr(A^TCAB)}}{\partial{A}} = CAB Atr(ATCAB)=CAB
所以,
∂ t r ( A B A T C ) ∂ A = C A B + C T A B T \frac{\partial tr(ABA^TC)}{\partial A} = CAB + C^TAB^T Atr(ABATC)=CAB+CTABT文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-786121.html

到了这里,关于矩阵迹的常用公式的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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