AR模型及其平稳性-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了AR模型及其平稳性。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

定义

具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR§:
$x_t=\phi_0+\phi_1x_{t-1}+\phi_2x_{t-2}+\phi_3x_{t-3}...++\phi_p x_{t-p}+\epsilon_t$

AR§模型有三个限制条件：
（1） $\phi_p \neq0$ ，这个条件保证了AR模型最高阶为p阶。
（2） $E(\epsilon_t)=0，Var(\epsilon_t)=\sigma^2，E(\epsilon_t\epsilon_s)=0,s \neq t$ ,这个条件保证了随机干扰序列是零均值的白噪声序列。
（3） $E(x_s\epsilon_t)=0,\forall s < t$ ，这个条件说明了当期的随机扰动项与过去的序列值无关。

当 $\phi_0=0$ 时，自回归模型又称为中心化AR§模型。非中心化模型可通过以下变换转化为中心化模型：
$y_t=x_t-\frac{\phi_0}{1-\sum_{i=1}^p\phi_i}$
具体如下：
$y_t=x_t-\frac{\phi_0}{1-\sum_{i=1}^p\phi_i} =\phi_0+\phi_1x_{t-1}+\phi_2x_{t-2}+\phi_3x_{t-3}...++\phi_p x_{t-p}+\epsilon_t-\frac{\phi_0}{1-\sum_{i=1}^p\phi_i}$
$=-\frac{\phi_0\sum_{i=1}^p\phi_i}{1-\sum_{i=1}}+\sum_{i=1}^p\phi_i(x_i-\frac{\phi_0}{1-\sum_{i=1}^p\phi_i})+\frac{\phi_0\sum_{i=1}^p\phi_i}{1-\sum_{i=1}}$
$=\sum_{i=1}^p\phi_i(x_i-\frac{\phi_0}{1-\sum_{i=1}^p\phi_i})=\sum_{i=1}^p\phi_iy_i$
此时非中心化模型转化为中心化模型。

当引入延迟算子时，中心化AR§模型可以简记为：
$\Phi(B)x_t=\epsilon_t$
其中
$\Phi(B)=1-\phi_1B-\phi_2B^2-...-\phi_pB^p$

模型平稳性判别

AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都平稳，因此需要对AR模型的平稳性进行判别。

判别方法

（1）图示法

如针对以下两个AR模型：
$x_t=1.1x_{t-1}+\epsilon_t…… (1)$
$x_t=x_{t-1}-0.2x_{t-2}+\epsilon_t……（2）$

import random
import matplotlib.pyplot as plt
data_1 = [5,3]
data_2 = [5,3]
for i in range(1,1000):
    res_1 = 1.1*data_1[i]+random.random()
    res_2 = data_2[i]-0.2*data_2[i-1]+random.random()
    data_1.append(res_1)
    data_2.append(res_2)
plt.plot(data_1)
plt.plot(data_2)

ar模型的平稳性条件,时间序列分析,ar

从图中可以看出模型（1）是非平稳的，模型（2）是平稳的。
图示法是通过时序图进行判别，有时会不准确，除此之外还有另外两种准确的判别方法。

（2）特征根法

对于p阶AR模型而言，其特征方程为：
$\lambda^p-\phi_1\lambda^{p-1}-...-\phi_p=0$
对于上述其次线性方程组可以求出p个非零特征根 $\lambda_1，\lambda_2，...，\lambda_p$
对于AR§模型而言，其可以看作是一个非齐次线性方程组，可求得其的一个特解为 $f^*(t)$ ，可得：
$f_0(t)=\sum_{j=1}^p\phi_jf_o(t-j)+\epsilon_t$
所以可得到AR§模型的通解为：
$x_t=c_1\lambda^t+c_2\lambda^t+...+c_p\lambda^t+f_0(t)()$
式中 $c_1,c_2,...,c_p$ 为任意实数。
平稳序列的值始终在均值附近波动，不会随时间增加而发散，因此对两边取极限，可得
$\lim_{t \to \infty}x_t=\lim_{t \to \infty}[c_1\lambda^t+c_2\lambda^t+...+c_p\lambda^t+f_0(t)]=\mu$
由于对于任何 $c_1,c_2,...,c_p$ 都成立，要保证每一个幂函数都不能发散，即：
$|\lambda_j|<1,1\leq j\leq p$
即要使AR§模型是平稳的，则其对应特征方程的特征根的绝对值要小于1。

举例

如对于一个AR(2)模型 $x_t=x_{t-1}-0.2x_{t-2}+\epsilon_t$ ，其特征方程为：
$\lambda^2-\lambda+0.2=0$ 可解得其特征根为 $\lambda_1=\frac{1+\sqrt{0.2}}{2},\lambda_2=\frac{1-\sqrt{0.2}}{2}$ ,由于 $\lambda_1<1,\lambda_2<1$ ，可得此AR(2)模型平稳。

自回归系数多项式

我们不仅可以直接通过AR模型对应特征方程的特征根来判别模型是否平稳，还可以通过自回归系数多项式的根来判别AR模型是否平稳。
当引入延迟算子时，中心化AR§模型可等价为：
$\Phi(B)x_t=\epsilon_t$

其中 $\Phi(B)=1-\phi_1B-\phi_2B^2-...-\phi_pB^p$ 。
如果 $\lambda_i$ 是AR模型对应特征方程的特征根，则有：
$\lambda_i^p-\phi_1\lambda_i^{p-1}-\phi_2\lambda_i^{t-2}-...-\phi_p=0$
另 $u_i=1/\lambda_i$ ，则：
$\Phi(u_i)=1-\phi_1 u_i-\phi_2 u_i^2-...-\phi_p u_i^p$ $=1-\phi_1\frac{1}{\lambda_i}-\phi_2\frac{1}{\lambda_i^2}-...--\phi_p\frac{1}{\lambda_i^p}$ $=\frac{1}{\lambda_i^p}(\lambda_i^p-\phi_1\lambda_i^{p-1}-\phi_2\lambda_i^{p-2}-...-1)=0$
所以 $u_i=\frac{1}{\lambda_i}$ 是自回归系数多项式的解，而 $|\lambda_i|<1$ ,可得 $u_i|>1$ ，即自回归系数多项式的根全都大于1时，AR模型是平稳的。

（3）平稳域法

对于低阶的AR模型而言，使用平稳域判别相对简单。
①AR(1)模型
AR(1)模型的表达式为：
$x_t=\phi_1x_{t-1}+\epsilon_t$ 其特征方程为：
$\lambda-\phi_1=0$
特征根为 $\lambda=\phi_1$ ,可推出AR(1)模型平稳的充要条件为 $|\phi_1|<1$ ,所以其平稳域为 $\{\phi_1||\phi_1|<1\}$ 。

举例

如对于一个AR(1)模型 $x_t=1.1x_{t-1}+\epsilon_t$ ， $|\phi_1| = 1.1>1$ ，不在平稳颙内，可得此AR(1)模型不平稳。

②AR(2)模型
AR(2)模型的表达式为：
$x_t=\phi_1x_{t-1}+\phi_2x_{t-2}+\epsilon_t$ 其特征方程为：
$\lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0$

特征根为 $\lambda_1=\frac{\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2},\lambda_2=\frac{\phi_1-\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}$ ，可得 $\lambda_1+\lambda_2=\phi_1，\lambda_1\lambda_2=-\phi_2$ ，AR(2)模型平稳的充要条件为 $|\lambda_1|<1且|\lambda_2|<1$ 。

结合以上条件，可得到：
$|\lambda_1\lambda_2|=|-\phi_2|=|\phi_2|<1$

$\phi_2+\phi_1=\lambda_1+\lambda_2-\lambda_1\lambda_2=1-(1-\lambda_1)(1-\lambda_2)<1$

$\phi_2-\phi_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_1\lambda_2=1-(1+\lambda_1)(1+\lambda_2)<1$

可推出其平稳域为 $\{\phi_1,\phi_2\mid |\phi_2|<1且\phi_2 \pm \phi_1<1\}$ 。

举例

如对于一个AR(2)模型 $x_t=x_{t-1}-0.2x_{t-2}+\epsilon_t$ ，其中 $|\phi_2|=0.2<1$ , $\phi_2+\phi_1=0.8<1,\phi_2-\phi_1=-1.2<1$ ，可得此AR(2)模型平稳。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-786161.html