【笔记】动态规划（1）---01背包和完全背包-Toy模板网

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动态规划

状态表示

集合：选法集合
属性：最优选择

状态计算

集合的划分

一、背包问题

01背包问题

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)    cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=v[i];j--){
            //f[i][j]=f[i-1][j];仅仅是个赋值语句 在v[i]>j时保持更新。
            //显然，f[j]=f[j]中右侧的f[j]是i-1中的f[j]。
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
            // if(j>=v[i])  f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);这里f[i-1][j]也可以写成f[i][j]。
            // 若从大到小遍历j，那么对于k<j，f[k]都是第i-1次遍历时的状态，max(f[j],f[j-v[i]]+w[i])等价。
        }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

状态表示

集合：所有只考虑第i个物品前的且总体积不大于j的所有选法。
属性：在所有集和中，价值最大的选法。

状态计算

集合的划分：总是在（第 i - 1个）状态最优时，计算第 i 个状态。

背包已经最优，故对于任意容积、前 i - 1个物品，背包总是足够满的。

当前状态 f [ i ] [ j ] 总是 f [ i - 1 ] [ j ] 和 f [ i - 1 ] [ j - v [ i ] ] 更新而来。

f[i][j]=f[i-1][j];，不管容积 j 够不够，第 i 个物品还没装进去，故价值直接赋值 i - 1 的最优状态下的价值。
if(j<v[i])，v [ i ] 比每一个 j 都大，装不进去。
if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);比较两种状态的价值，找出最优状态。

两种状态

（1）第 i 个物品被选择：

f[i][j]=f[i-1][j-v[i]]+w[i];由上一个最优状态（ i - 1个物品，容积为 j - v [ i ]时的最大价值）更新而来。背包有空间，剩余容积足够，直接装入，价值更新。
可以理解为一个原来价值最大的满背包，外接了第 i 个物品（白嫖的价值肯定最优）。

（2）第 i 个物品未被选择：

f[i][j]=f[i-1][j];，背包有空间，但剩余容积不够，装不进去，价值不变。
对于每个物品 i，总可以找到一个对应的容积 j，将物品 i 装入并达到最优状态背包容积 v 却小于这个 j 。

完全背包问题

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)   cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
                f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);//已经优化后，朴素算法需要三重循环。
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

状态表示

集合：所有只考虑第i种物品前的且总体积不大于j的所有选法。
属性：在所有集和中，价值最大的选法。

状态计算

集合的划分：总是在（第 i - 1种）状态最优时，计算第 i 个状态。

背包已经最优，故对于任意容积、前 i - 1种物品，背包总是足够满的。

当前状态 f [ i ] [ j ] 总是 f [ i - 1 ] [ j ] 和 f [ i ] [ j - v [ i ] ] 更新而来。

f[i][j]=f[i-1][j];，不管容积 j 够不够，第 i 种物品还没装进去，故价值直接赋值 i - 1 的最优状态下的价值。
if(j<v[i])，v [ i ] 比每一个 j 都大，装不进去。
if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);比较两种状态的价值，找出最优状态。

两种状态

（1）第 i 种物品被选择：

f[i][j]=f[i][j-v[i]]+w[i];。由f[i][j]=f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i];
推导而来。
f[i][j]=max(f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);背包有空间，剩余容积足够，直接装入 k 个第i种物品，价值更新。
推导：
f[i][j-v[i]]=max(f[i-1][j-v],f[i-1][j-k*v[i]]+(k-1)*w[i]);
f[i][j-v[i]]+w[i]=max(f[i-1][j-v]+w[i],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
f[i][j-v[i]]+w[i]=max(f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
f[i][j]=f[i][j-v[i]]+w[i];

（2）第 i 种物品未被选择：

f[i][j]=f[i-1][j];背包有空间，但剩余容积不够，装不进去，价值不变。

只有这一段代码和01背包不同：

   for(int j=v[i];j<=m;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);

原因是当前状态 f [ i ] [ j ] 总是 f [ i - 1 ] [ j ] 和 f [ i ] [ j - v [ i ] ] 更新而来 ，两种状态均是上一次更新的最优状态。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-788297.html

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