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一、题目描述
二、题解
思路分析
具体实现
完整代码
一、题目描述
给定一个整数数组 nums
和一个整数 k
,返回其中元素之和可被 k
整除的(连续、非空) 子数组 的数目。
子数组 是数组的 连续 部分。
示例:
输入:nums = [4,5,0,-2,-3,1],k = 5
输出:7
输入:nums = [ 5 ],k = 9
输出:0
二、题解
思路分析
首先我们很容易想到暴力枚举的方法,即遍历数组,在遍历每个元素的同时向后寻找元素之和能够被k整除的子数组
暴力枚举代码如下:
class Solution {
public int subarraysDivByK(int[] nums, int k) {
int ret = 0;
for(int i = 0; i < nums.length; i++){
int sum = 0;
for(int j = i; j < nums.length; j++){
sum += nums[j];
if(sum % k == 0){
ret++;
}
}
}
return ret;
}
}
其时间复杂度为O(),当输入的nums数组较大时,会超出时间限制,因此,暴力枚举方式行不通,我们继续考虑其他方法
题目中要求我们找到元素之和可被k整除的(连续、非空)子数组,因此我们可以想到使用双指针的思路,即考虑使用滑动窗口来解决这个问题,然而,本题不能使用滑动窗口来解决
为什么不能使用滑动窗口?
参照示例1,其输入的数组 nums = [4,5,0,-2,-3,1],其中不仅有正整数,还有零和负数,
在使用滑动窗口时,当窗口内元素满足条件时,要移动left指针,向前滑动窗口,但在本题中,由于有零和负整数,在窗口内元素满足条件时,不能移动left指针,因为下一个元素可能是零,加入后任满足条件,也可能几个元素相加等于0,加入后也满足条件。因此,若是使用滑动窗口来解决本题,则会漏掉一些符合情况的子数组。
滑动窗口的思路也不行,我们继续思考新的方法,在涉及子数组问题时,我们也常使用前缀和来解决问题
什么是前缀和?
前缀和即某序列的前n项和,类似于数学中的数列前n项和。即从首元素位置到i位置这个区间内所有元素之和,前缀和只是一种思路,其不仅可以求和,也可以求从首元素位置到i位置区间内的乘积等等。
我们以示例1为例子,先求前缀和数组,再通过前缀和数组来求解子数组,
然而,在这种情况下,当我们求解子数组时,仍然需要后遍历,求得从i到j位置的元素之和,再判断其是否符合条件,
其时间复杂度仍是O()
在通过前缀和数组求解子数组时,我们可以考虑向前遍历,即i位置上的元素为到i位置的元素之和
此时,若以i位置为结尾的区间内的元素能够被被k整除,则
此时dp[i] - dp[j] = mk,(m为系数),即dp[i]与dp[j]同余(dp[i]取余 k 与dp[j]取余 k 的余数相同)(两数余数相同,在相减时就将余数消去,剩下的数便能整除k),此时,我们只需要找到,在i位置之前有多少个前缀和元素的余数与其前缀和相同,就能够得到以i位置为结尾的且能够被k整除的子数组个数。
然而,在求i位置之前有多少个前缀和元素的余数与其相同时,我们还需要再向前遍历一遍前缀和数组吗?
我们可以使用哈希表,存储前缀和元素的余数及其个数,这样,便只需要计算dp[i]的余数,再从哈希表中找到相同余数的元素个数,就可知道以i位置为结尾的且能够被k整除的子数组个数了。
在分析完思路后,我们来考虑其具体实现过程:
具体实现
首先我们需要一个哈希表,以前缀和元素模k的值为键,值的个数为值
// key:模k的的值,value:key的个数
Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
需要注意的是,在模k时,如果元素为负数,求出的值也为负数(例如 -4 % 5 = -4,-4 与 1 是同余的,若我们在哈希表中保存(-4, 1),而 % i的结果为 1,并在哈希表中找到结果为1的元素个数,此时就漏掉了结果 为 -4 的情况),
因此我们需要对其进行处理,将其变为正数,可以将其+k,使其变成正数,即 dp[i] % k + k(-4 + 5 = 1);当其为正数的时候则不需要 +k,若想要无需对元素进行正负数判断,则可在 +k 后再取余k,即 (dp[i] % k + k) % k,此时,若元素为正数,在 +k 后结果大于k,再对结果进行取余,又将其变为正确结果((3 % 5 + 5)% 5);若元素为负数,在 +k 后将负数变为正数,即正确结果,再对结果进行取余,仍是正确结果((-4 % 5 + 5)% 5)
求出数组的前缀和数组
由于哈希表中保存的是模k的值及其个数,因此我们不需要再创建一个前缀和数组用来保存前缀和,只需使用变量sum 来保存前i-1个元素的和
何时将结果放到哈希表中?
我们要从哈希表中找到相同余数的元素个数,从而知道以i位置为结尾的且能够被k整除的子数组个数,因此哈希表中不能存放i位置之后的元素结果,因此,每遍历一个元素,就将其结果更新到哈希表中
然而,此时还有一个细节问题
若以i位置为结尾的数组本身便能被k整除,此时模k的结果为 0,即从0位置到i位置的子数组之和能够被k整除,则在第一次出现该情况时,哈希表内没有key = 0的元素,会漏掉该结果,因此,我们需要处理这种特殊情况,即手动将(0, 1)放入哈希表中
完整代码
class Solution {
public int subarraysDivByK(int[] nums, int k) {
// key:模k的的值,value:key的个数
Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
//处理特殊情况
hash.put(0,1);
int ret = 0;//子数组的个数
int sum = 0;//用来保存前i-1个元素之和
for(int i = 0; i < nums.length; i++){
sum += nums[i];
//求出与 前i个元素之和 同余的元素个数
int same = hash.getOrDefault((sum % k + k) % k, 0);
ret += same;//更新结果
hash.put((sum % k + k) % k,same + 1);//更新哈希表
}
return ret;
}
}
题目来自:文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-788694.html
974. 和可被 K 整除的子数组 - 力扣(LeetCode)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-788694.html
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