动态规划
#include<iostream>
using namespace std;
const long long N = 1e5 + 9;
int dp[1000][1000];
int a[N];
int main() {
long long m, n,ans=0;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
for (int i = 0; i <= n; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
if (j >= a[i]) {
dp[i][j] += dp[i - 1][j - a[i]];
}
dp[i][j] += dp[i - 1][j];
}
}
cout << dp[n][m];
return 0;
}
l i n e : 11 line :11 line:11 为所有花费 0 元的商品的方法赋值为 1; 因为花费0元的方法,有且仅有一种,那就是都不买
l i n e : 13 − 14 line:13-14 line:13−14 两次循环,外循环为商品的数目,内循环为 花费的钱 ,即表示 每 i : ( 1 → n ) i:(1\to n) i:(1→n) 件商品 花费 j : ( 1 → m ) j:(1 \to m) j:(1→m) 元 的方法数, 先历遍商品数.(动态规划的方程为$ dp[i][j] += dp[i - 1][j - a[i]]$ 就是通过 i − 1 i-1 i−1 的数目推出 i i i 的数目,所以先历遍商品数)
if (j >= a[i]) {
dp[i][j] += dp[i - 1][j - a[i]];
}
dp[i][j] += dp[i - 1][j];
其中 d p [ i ] [ j ] dp[ i ][ j ] dp[i][j] 表示前 i i i 个商品花费 $ j $ 元的方法数.
d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]一共有两种情况:
- 买第 i i i 件商品 : d p [ i ] [ j ] + = d p [ i − 1 ] [ j − a [ i ] ] dp[i][j] += dp[i - 1][j - a[i]] dp[i][j]+=dp[i−1][j−a[i]] 相当于 在 前 i − 1 i-1 i−1 件商品 花费 j − a [ i ] j-a[i] j−a[i] 元 的基础之上 卖下了花费 a [ i ] a[i] a[i] 元的 i i i 这件商品(前提是 j > = a [ i ] j>= a[i] j>=a[i] 可以买)
- 不买第 i i i 件商品:$dp[i][j] += dp[i - 1][j] $ 那么就表示 前 i i i 件商品 和前 i − 1 i-1 i−1 件商品一样 花费了 j j j 元
因为求的是方法,所以两种情况都要加上, 其中不买 i i i 这件商品 这种情况一定存在
最后输出 d p [ n ] [ m ] dp[n][m] dp[n][m] ,即一共 n n n 件商品 花费 m元的方法
优化为一维数组
为何可以优化?:
每次循环只用到了 i i i 的上一个 i − 1 i-1 i−1
所以由 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 可以变为 d p [ j ] dp[j] dp[j]文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-789097.html
#include<iostream>
using namespace std;
const long long N = 1e5 + 9;
int dp[N];
int a[N];
int main() {
long long m, n, ans = 0;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
dp[0]= 1;//表示最初始的那个,第一个商品花费0元的方法为1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = m; j >= 1; j--) {//注意这里要反过来应为dp[j-a[i]]可能已经改变了
//这里省略了一步就是 dp[j]=dp[j] 这表示 不买的情况,下一个和上一个的方法数是一样的
if (j >= a[i]) {
dp[j] += dp[j - a[i]];//逐渐迭代
}
}
}
cout << dp[m];
return 0;
}
l i n e : 15 line:15 line:15 一维的 d p [ j ] + = d p [ j − a [ i ] ] dp[j] += dp[j - a[i]] dp[j]+=dp[j−a[i]] 对比 二维的 d p [ i ] [ j ] + = d p [ i − 1 ] [ j − a [ i ] ] dp[i] [j] += dp[i - 1] [j - a[i]] dp[i][j]+=dp[i−1][j−a[i]]文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-789097.html
- d p [ j ] + = d p [ j − a [ i ] ] dp[j] += dp[j - a[i]] dp[j]+=dp[j−a[i]] , 表示 花费 j − a [ i ] j-a[i] j−a[i]元可以卖下前 i − 1 i-1 i−1个商品 的方法数的基础上 买下 i i i这件商品的方法数,直接覆盖掉 d p : i − 1 dp:i-1 dp:i−1的
- 所以要倒过来历遍 j : ( m → 1 ) j:(m\to 1) j:(m→1),以防 d p [ j − a [ i ] ] dp[j-a[i]] dp[j−a[i]] 被覆盖了
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