Pauli矩阵
Pauli矩阵是3个 2 × 2 2\times2 2×2的矩阵，这三哥矩阵的行列式均为-1，一般以 σ \sigma σ表示如下
σ x = [ 0 1 1 0 ] σ y = [ 0 − i i 0 ] σ z = [ 1 0 0 − 1 ] \sigma_x=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\quad \sigma_y=\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}\quad \sigma_z=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix} σx=[0110]σy=[0i−i0]σz=[100−1]
在量子力学中，这三个矩阵分别表示自旋在三个坐标轴中的投影分量， σ x , σ y , σ z \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z σx,σy,σz也可写为 σ 1 , σ 2 , σ 3 \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 σ1,σ2,σ3。
Pauli矩阵满足如下关系
- 对易计算 [ σ a , σ b ] = 2 i ϵ a b c σ c [\sigma_a, \sigma_b]=2i\epsilon_{abc}\sigma_c [σa,σb]=2iϵabcσc
- 反对易 { σ a , σ b } = 2 δ a b I \{\sigma_a, \sigma_b\}=2\delta_{ab}I {σa,σb}=2δabI
- 内积关系 σ a σ b = i ∑ c ϵ a b c σ c + δ a b I \sigma_a\sigma_b=i\sum_c\epsilon_{abc}\sigma_c+\delta_{ab}I σaσb=i∑cϵabcσc+δabI
sympy实现
matrices中封装了msigma类，即Pauli矩阵的矩阵表示，示例如下
from sympy import print_latex
from sympy.physics.matrices import msigma
print_latex(msigma(1))
[ 0 1 1 0 ] \left[\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right] [0110]
此外，sympy中还封装了Pauli类，调用如下
from sympy.physics.paulialgebra import Pauli
from sympy import print_latex
p1 = Pauli(1)
print_latex(p1)
σ 1 \sigma_{1} σ1
quantum中提供了对易计算，测试如下
from sympy.physics.quantum import Commutator
p2 = Pauli(2)
comm = Commutator(p1, p2) # [sigma1,sigma2]
print_latex(comm.doit()) # 2*I*sigma3
即
[ σ 1 , σ 2 ] = 2 i σ 3 [\sigma_1, \sigma_2] = 2 i \sigma_{3} [σ1,σ2]=2iσ3
内积的计算结果如下文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-789271.html
p1*p1 # 1
print_latex(p1*p2)
i σ 3 i \sigma_{3} iσ3文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-789271.html
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