【算法（四·一）：动态规划思想——0-1背包问题】-Toy模板网

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算法介绍

0-1背包问题是一个经典的组合优化问题，通常用于描述以下情境：①有一个容量有限的背包，可以容纳一定总重量的物品。②有一组不同的物品，每个物品都有一个特定的重量和一个价值。③目标是在限定的背包容量内，选择一些物品放入背包，以使这些物品的总重量不超过背包容量，同时使它们的总价值最大化。
0-1背包问题的名称来自于每个物品在解中要么被完全放入背包（0表示不放入，1表示放入），而不允许将物品部分放入背包。它是一个NP难问题，没有一个多项式时间的精确解法，因此通常使用动态规划、贪心算法或启发式算法等近似方法来解决。其中，动态规划是解决0-1背包问题最常见且最有效的方法。

问题描述

给定一组不同的物品，每个物品具有两个属性：重量（weight）和价值（value）。同时，有一个容量有限的背包，容量为W。问题的目标是确定如何选择这些物品放入背包，以使它们的总重量不超过W，并且总价值最大。

问题特点

每个物品要么被放入背包（选中），要么不放入背包（不选中），不能部分选择。
每个物品只能使用一次。
物品的数量和容量都是有限的。
目标是最大化背包中物品的总价值。

数学描述

物品集合：{物品1, 物品2, …, 物品N}，其中N是物品的数量。
物品重量：{weight[1], weight[2], …, weight[N]}，表示每个物品的重量。
物品价值：{value[1], value[2], …, value[N]}，表示每个物品的价值。
背包容量：W。

问题目标

找到一个物品的选择方式，即一个0-1向量 {x1, x2, …, xN}，其中xi为0或1，表示物品i是否被选中，以使得以下条件成立：

Σ(xi * weight[i]) ≤ W，总选择的物品重量不超过背包容量。
最大化 Σ(xi * value[i])，总选择的物品价值最大化。

算法步骤

问题结构分析
- 明确原始问题：给定一组物品，每个物品都有一个重量 weight[i] 和一个价值 value[i]，以及一个容量有限的背包，容量为 W。
- 给出问题表示：我们定义的子问题是这样的，考虑前 i 个物品，背包容量为 w 时的最大总价值，表示为 dp[i][w]。
递推关系建立
- 分析最优（子）结构：以选和不选着手找到重叠子问题。
  
  假设我们已经解决了一个子问题 dp[i][w]，它表示在考虑前 i 个物品和背包容量为 w 时的最大总价值。现在，我们考虑如何构建原问题 dp[N][W] 的最优解。
  - 如果我们不选择放入第 i 个物品，那么最优解就是 dp[i-1][w]，即考虑前 i-1 个物品时背包容量为 w 时的最大总价值。
  - 如果我们选择放入第 i 个物品，那么最优解就是 dp[i-1][w - weight[i]] + value[i]，即考虑前 i-1 个物品时背包容量为 w - weight[i] 时的最大总价值，再加上第 i 个物品的价值 value[i]。
  最优子结构的关键在于，无论我们选择放入还是不放入第 i 个物品，原问题 dp[N][W] 的最优解都可以通过子问题的最优解构建而来。这是动态规划的核心特性之一，允许我们使用递推关系将原问题分解成子问题，逐步求解最优解。
- 构造递推公式
  - 递推关系（基于最优子结构而来）
    - 对于 i > 0 和 w > 0，dp[i][w] 可以按照以下递推关系更新：
      dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w - weight[i]] + value[i])
自底向上计算
- 确定计算顺序（通过递推式确定计算顺序）
  - 状态初始化：将初始化的条件搞定
    - 对于 i = 0，没有物品可选，所以对于所有 w，dp[i][w] = 0 。
    - 对于 w = 0，背包容量为0，所以对于所有 i， dp[i][w] = 0 。
  - 明确子问题依赖关系
    - 子问题dp[i][w]依赖于子问题 dp[i-1][w-weight[i]]与dp[i-1][w]
      
      dp[i-1][w-weight[i]]与dp[i-1][w]位于dp[i][w]的左上方,故每一行计算都需要把它的上一行算好。
- 依次求解问题
  构造一个备忘录（二维数组 dp ）存储子问题的解。从 i=0 到 N（物品的数量），以及从 w=0 到 W（背包容量），按照递推关系依次填充 dp 数组。这是一个自底向上的过程，确保每个子问题都依赖于前面的子问题的解。
最优方案追踪
最优方案追踪是指在动态规划中找到原问题的最优解，即确定如何选择物品以使总价值最大，同时不超过背包容量。这通常涉及到从填充完动态规划表格后的某个特定单元格开始，然后根据填充过程中的决策来重建最优解。
- 从动态规划表格中找到最终状态，即 dp[N][W]，其中 N 表示物品的数量，W 表示背包的容量。这个单元格包含了问题的最优解，即最大的总价值。
- 从 dp[N][W] 开始，向前追踪。设当前状态为 dp[i][w]，其中 i 表示当前考虑的物品，w 表示当前剩余的背包容量。
- 比较 dp[i][w] 与 dp[i-1][w] 是否相等。如果它们相等，表示当前物品 i 没有被选择放入背包。在这种情况下，继续向上追踪，即令 i 减小 1，不做任何标记。
- 如果 dp[i][w] 与 dp[i-1][w] 不相等，说明当前物品 i 被选择放入背包。在这种情况下，将物品 i 标记为被选中，同时减少背包容量 w，即 w = w - weight[i]。
- 重复上述步骤，直到回到初始状态 dp[0][0]，或者 i 等于 1。此时，你已经找到了构成最优解的物品的集合。
- 最后，被标记为被选中的物品组成的集合就是问题的最优解，它们的总重量不超过背包容量 W，总价值最大化。

算法伪代码

这个伪代码描述了0-1背包问题的动态规划算法。算法通过填充一个二维数组 dp 来计算最大总价值，然后使用 traceSolution 函数来回溯找到选中的物品。注意，这个伪代码是一种通用框架，具体的数据结构和输入数据需要根据实际情况进行调整。

函数 knapsack(items, capacity):
    n = 数组 items 中物品的数量
    创建一个二维数组 dp，大小为 (n+1) x (capacity+1)

    对于 i 从 0 到 n:
        对于 w 从 0 到 capacity:
            如果 i=0 或 w=0:
                dp[i][w] = 0  # 基本情况，没有物品或者背包容量为0时，总价值为0
            否则如果 items[i-1].weight > w:
                dp[i][w] = dp[i-1][w]  # 当前物品过重，无法放入背包
            否则:
                # 考虑将当前物品放入背包和不放入背包两种情况，选择总价值更大的
                dp[i][w] = max(dp[i-1][w], items[i-1].value + dp[i-1][w-items[i-1].weight])

    返回 dp[n][capacity] 作为最大总价值

函数 traceSolution(items, dp, capacity):
    n = 数组 items 中物品的数量
    创建一个空数组 selectedItems
    w = capacity

    对于 i 从 n 到 1（倒序）:
        如果 dp[i][w] ≠ dp[i-1][w]:
            # 当前物品被选中，将其添加到选中的物品列表，并更新背包容量
            将 items[i-1] 添加到 selectedItems
            w = w - items[i-1].weight

    返回 selectedItems 作为选中的物品列表

主程序:
items = 一组物品，每个物品包括 weight（重量）和 value（价值）
capacity = 背包的容量

最大总价值 = knapsack(items, capacity)
选中的物品 = traceSolution(items, dp, capacity)

算法实例

实例介绍

超市允许顾客使用一个体积大小为13的背包，选择一件或多件商品带走。问题：如何带走总价最多的商品？
0-1背包问题是每个物品必须要么全放,要么都不放么,算法,动态规划

实例分析

为了方便大家体会动态规划思想的解题步骤中符号的作用，本实例中我换一个符号来表示问题。大家自行体会。

问题结构分析
- 明确原始问题
  𝑷[𝒊, 𝒄]：前𝒊个商品可选、背包容量为𝒄时的最大总价格。
- 给出问题表示
  𝑷[𝒏, 𝑪] ：前𝒏个商品可选、背包容量为𝑪时的最大总价格。
递推关系建立
- 分析最优子结构
- 构造递推公式
  𝑷[𝒊, 𝒄] = 𝐦𝐚𝐱{𝑷[𝒊 − 𝟏, 𝒄] , 𝑷[𝒊 − 𝟏, 𝒄 − 𝒗𝒊] + 𝒑𝒊}
自底向上计算
- 确定计算顺序
  - 状态初始化
    - 容量为0时：𝑷[𝒊, 𝟎] = 𝟎
    - 没有商品时：𝑷[𝟎 , 𝒄] = 𝟎
  - 明确子问题依赖关系
    𝑷[𝒊, 𝒄]依赖于子问题𝑷[𝒊 − 𝟏, 𝒄 − 𝒗𝒊]和𝑷[𝒊 − 𝟏, 𝒄]
  - 计算顺序结果
- 依次求解子问题
  
  …
  
  …
  
  …
  
  …
  
  …以此类推
最优方案追踪
- 从总价值最大P[5,13]=28入手，28不等于P[4,13]=26，故第5个商品被选，剩余背包体积13-4=9。我没要看P[4,9]。
- P[4,9]=19不等于P[3,9]=11，故第4个商品被选，剩余背包体积9-5=4。我没要看P[3,4]。
- P[3,4]=9不等于P[2,4]=2，故第3个商品被选，剩余背包体积4-4=0。此时背包空间为0，追踪结束。
- 最终结果选了商品5、4、3。

算法性能

时间复杂度

在动态规划中，我们填充一个二维的 dp 表格，其中有 N 行（物品数量）和 W 列（背包容量）。每个单元格需要计算一次，而计算每个单元格的时间复杂度为常数时间。因此，0-1背包问题的动态规划算法的时间复杂度为 O(N*W)。

空间复杂度

动态规划算法需要一个二维数组来存储子问题的解，因此空间复杂度为 O(N*W)。这可能在某些情况下占用大量内存，特别是当物品数量和背包容量非常大时。

稳定性

检查算法在不同输入情况下的性能是否一致。算法应该对不同问题实例的输入数据表现稳定，而不会因输入的变化而导致不稳定的结果。

算法总结

总的来说，动态规划算法对于解决0-1背包问题是一种非常有效的方法，尤其适用于中小规模的问题。对于非常大的规模问题，时间和空间复杂度可能会变得不可行。因此在处理大规模问题时，需要谨慎考虑性能和可行性。算法的实际效果也受到问题特性和硬件环境的影响。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-789495.html

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