4.矩阵的分解-Toy模板网

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矩阵的分解

怎么计算矩阵又快又准——矩阵的分解

先判断Doolittle分解是否唯一，再进行Doolittle分解

各阶顺序主子式均不为0，Doolittle分解唯一；

特殊的：正定/负定矩阵，Doolittle分解唯一；严格行(列)对角占优矩阵，Doolittle分解唯一；

Doolittle分解的算法

一共 5 种分解

一、Doolittle分解（三角分解或称 LR分解）

【定义】Doolittle分解

设 $A\in\mathbb C^{n\times n}$ ，若存在一个下三角矩阵 $L$ 和一个上三角矩阵 $R$ ，使得 $A = L R$ ，则称 $A = L R$ 为 $A$ 的三角分解

特别的，当 $L$ 为单位（主对角元全为1）下三角矩阵时，称 $A = L R$ 为 $A$ 的 Doolittle 分解

【注】

上(下)三角矩阵的逆矩阵是上(下)三角矩阵
单位下三角矩阵的逆矩阵是单位下三角矩阵

【定理】Doolittle分解唯一⇔各阶顺序主子式均不为0

设 $A\in\mathbb C^{n\times n}$ ，为可逆矩阵，则存在唯一的 Doolittle分解 $\Longleftrightarrow$ 各阶顺序主子式均不为0

【定理】若A为正定或负定Hermite矩阵，则A存在唯一的Doolittle分解

【定义】行(列)对角占优矩阵

设 $A\in\mathbb C^{n\times n}$ ，若 $A$ 的元满足：
$|a_{ii}|\geq\sum_{i\neq j}|a_{ij}|,i=1,2,\cdots,n$
则称 $A$ 为行对角占优矩阵；

若 $A$ 的元满足：
$|a_{ii}|>\sum_{i\neq j}|a_{ij}|,i=1,2,\cdots,n$
则称 $A$ 为严格行对角占优矩阵；

若 $A^T$ 为(严格)行对角占优矩阵，则称 $A$ 为(严格)列对角占优矩阵

【定理】 (严格)行(列)对角占优矩阵的各阶顺序主子阵也是 (严格)行(列)对角占优矩阵

【定理】严格行(列)对角占优矩阵A是可逆矩阵，且A有唯一的Doolittle分解

【算法】Doolittle分解算法

设 $A\in\mathbb C^{n\times n}$ 的各阶顺序主子式不为0， $A$ 的 Doolittle分解为 $A = L R$ ，用 $l_{ij}$ 和 $r_{ij}$ 分别表示矩阵 $L, R$ 的元，由于
$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ l_{21} & 1 \\ \vdots &&\ddots \\ l_{n1} & \cdots & l_{n,n-1} & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1n} \\ & r_{22} & \cdots & r_{2n} \\ && \ddots & \vdots \\ &&& r_{nn} \\ \end{bmatrix}$
则 $a_{1j}=r_{1j}$ ，并且
$a_{ij}= \begin{cases} \sum_{t=1}^{j}l_{it}r_{tj}\ , & j<i \\\\ \sum_{t=1}^{i-1}l_{it}r_{tj}+r_{ij}\ ,& j\geq i \\ \end{cases} \quad(i=2,3,\cdots,n)$
利用上式可以得到如下递归式：
$r_{ij}=a_{kj}-\sum_{t=1}^{k-1}l_{kt}r_{tj}\ ,\ j=k,k+1,\cdots,n$

$l_{ik}=\frac1{r_{kk}}\left( a_{ik}-\sum_{t=1}^{k-1} l_{it}r_{tk} \right),\quad i=k+1,\cdots,n$

按照上述递归式，可以顺次求出第一行、第一列、第二行、第二列……，直到解出全部的元

4.矩阵的分解,矩阵代数与矩阵分析,矩阵,线性代数

例题：

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最后将该紧凑形式拆分，得到：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & 7 & 6 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 6 & 12 \\ 0 & 0 & 6 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 24 \\ \end{bmatrix}$

二、QR分解（施密特正交化）

【定理】满秩方阵QR分解存在

设 $A\in\R^{n\times n}$ 满秩，则存在正交矩阵 $Q$ 和正线实上三角矩阵 $R$ ，使得 $A = QR$

【定理】列满秩矩阵QR分解存在

设 $A\in\R^{m\times n}$ 列满秩，则有 $A = QR$ ，其中 $Q\in\mathbb C^{m\times n}$ 列满秩， $Q^HQ=E_n$ ， $R\in\mathbb C^{n\times n}$ 为正线上三角矩阵

【定理】矩阵的QR分解存在

设 $A\in\mathbb C^{m\times n}$ ，rank $A$ = $r$ ，则存在 $B\in\mathbb C^{m\times r}$ ， $C\in\mathbb C^{r\times n}$ ，rank $B$ =rank $C$ = $r$ ，使得 $A = BC$ ，这里的 $A = BC$ 称为 $A$ 的满秩分解

设 $A\in\mathbb C^{m\times n}$ ，rank $A$ = $r$ ，则存在 $Q\in\mathbb R^{m\times r}$ ， $C\in\mathbb C^{r\times n}$ ，rank $Q$ =rank $R$ = $r$ ， $Q^HQ=E_r$ 使得 $A = QR$ ，这里的 $A = QR$ 称为 $A$ 的QR分解

【算法】QR分解算法

先将矩阵进行施密特正交化，过程如图所示，将矩阵的所有列向量化为标准正交基

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可以得到
$A=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]=[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n] \begin{bmatrix} l_{11} & l_{21} & \cdots & l_{n1} \\ 0 & l_{22} & \cdots & l_{n2} \\ \vdots & \vdots && \vdots & \\ 0 & 0 & \cdots & l_{nn} \\ \end{bmatrix}=UR$
其中 $U$ 为酉矩阵， $R$ 为正线上三角矩阵

三、谱分解

【定义】谱分解

$A=P\Lambda P^{-1}=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n] \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ && \ddots \\ &&& \lambda_n \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \eta_1^T \\ \eta_2^T \\ \vdots \\ \eta_n^T \\ \end{bmatrix}= \lambda_1\xi_1\eta_1^T + \lambda_2\xi_2\eta_2^T + \cdots + \lambda_n\xi_n\eta_n^T$

令 $G_i=\xi_i\eta_i^T$ ，则 $A=\sum\lambda_iG_i$ 为矩阵的谱分解

【定理】谱分解唯一性

设 $A\in\mathbb C^{n\times n}$ ， $A$ 存在 n 个线性无关的特征向量， $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r$ ，为 $A$ 的全部相异特征值，则 $A$ 可以进行满足下列性质的谱分解：

$A=\sum_{j=1}^r\lambda_jE_j$

$E_j^2=E_j$ ， $(j=1,2,\cdots,r)$

$E_iE_j=0$ ， $(i\neq j,i,j=1,2,\cdots,r)$

$\sum_{j=1}^rE_j=E$

rank $E_j=n_j$ ，这里 $n_j$ 为 $\lambda_j$ 的代数重数

满足上述性质的 $E_j$ 唯一确定

注： $E_i=\xi_{i1}\eta_{i1}^T + \xi_{i2}\eta_{i2}^T + \cdots + \xi_{ir}\eta_{ir}^T$

【算法】谱分解算法

求谱分解方法1

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求谱分解方法2

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四、奇异值分解

【定理】AA^H、A^HA与特征值

设 $A\in\mathbb C^{m\times n}$ ，则

$rank(AA^H)=rank(A^HA)=rankA$

$A^HA$ 与 $AA^H$ 均为半正定 Hermite 矩阵

$r ank A = r$ ， $\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_r$ 为 $AA^H$ 的全部正特征值

$r ank A = r$ ， $\mu_1\geq\mu_2\geq\cdots\geq\mu_r$ 为 $A^HA$ 的全部正特征值

3、4 中 $\lambda_i=\mu_i$ ， $i=1,2,\cdots,r$ 。 $AA^H$ 与 $A^HA$ 的正特征值一样，只是 0 特征值的数量不一样

【定义】奇异值

设 $A\in\mathbb C^{m\times n}$ ，rank $A = r$ ， $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r$ 为 $AA^H$ 的正特征值

称 $\sigma_i=\sqrt\lambda_i$ （ $i=1,2,\cdots,r$ ）为 $A$ 的奇异值

注：

$A$ 与 $A^H$ 具有相同的奇异值

若 $A$ 为 Hermite 矩阵，则 $A$ 的奇异值等于 $A$ 的非零特征值的绝对值

【定义】奇异值分解

设 $A\in\mathbb C^{m\times n}$ ，rank $A = r$ ， $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq\sigma_r$ 为 $A$ 的奇异值，则

存在 m 阶酉矩阵 $U$ 和 n 阶酉矩阵 $V$ 使得：
$U^HAV=D= \begin{bmatrix} \Delta & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}_{m\times n}$
其中 $\Delta=diag(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_r)$ ，称 $A=U^HAV$ 为 $A$ 的奇异值分解

【算法】奇异值分解算法

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