[ACM学习] 动态规划基础之一二三维dp

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课内学习的动态规划

有记忆的迭代

优化解的结构:原始问题的一部分解是子问题的解

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三要素:1.子问题 2.状态的定义 3.状态转移方程 

定义

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线性dp的一道例题

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dp[i]表示以位置 i 结尾的方案总数,dp[4]=2,因为:首先只放一个4是可以的,4的位置之前还可以放1,我们不需要知道1之前还可以放什么数,只需要知道1的方案数加上4也是 dp[4] 的一部分方案数。

记得用前缀和来维护所有可行的方案。

二维dp

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经验:列常常是1到结果、行常常是是否把这个选项 i 放入考虑范围

例题

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首先:为什么用二维dp:对于选择,不能用一条线来解决,需要用一个从1到n的数组,来存储:把第一个选项纳入考虑(只是考虑,不是真放了),到把前 i 个纳入考虑(方便我们在上一个的基础上解决下一个) 

注意这里的列坐标是从 1 到 64 ,不是1到x,因为可以由一个比x更大的数异或 ai 后,结果是x,所以我们有必要保存比x大的数,(64的由来:每个进行异或的数大小不超过63,即11111111,所以进行异或和的结果也肯定不会超过11111111,即63)

附上代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1e5+5;
const int p = 998244353;
int dp[N][70];
int a[N];

int main()
{
  // 请在此输入您的代码
  int n,x;
  cin >> n >> x;
  for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
    cin >> a[i];
  }
  dp[0][0]=1;
  for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
    for(int j = 0 ; j <= 64 ; j++){
      dp[i][j] = (dp[i-1][j]+dp[i-1][j^a[i]])%p;
    }
  }
  cout << dp[n][x];

  return 0;
}

注意:什么样的数字异或 ai 后是 j ?   ---  j ^ ai 这个数字(这就要用到异或 j ^ ai ^ ai = j)

三维dp例题

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多一个条件就多了一个维度,来记录k次位移。

附上代码

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