[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-4(2) 刚体的速度与角速度-Toy模板网

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本文仅供学习使用，总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结，从矢量的角度进行分析，方法比较传统，但更易理解，并且现有的看似抽象方法，两者本质上并无不同。

2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考：
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食用方法
求解逻辑：速度与加速度都是在知道角速度与角加速度的前提下——旋转运动更重要
所求得的速度表达-需要考虑是否为刚体相对固定点！
旋转矩阵？转换矩阵？有什么意义和性质？——与角速度与角加速度的关系
务必自己推导全部公式，并理解每个符号的含义

4.1.4 罗德里格斯参数表示角速度

将罗德里格参数与欧拉参数的转换关系式： $\left[ \begin{array}{c} {\gamma _1}^F\\ {\gamma _2}^F\\ {\gamma _3}^F\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \frac{q_2}{q_1}\\ \frac{q_3}{q_1}\\ \frac{q_4}{q_1}\\ \end{array} \right]$ 求导，可得：
$\left[ \begin{array}{c} \dot{\gamma}_{1}^{F}\\ \dot{\gamma}_{2}^{F}\\ \dot{\gamma}_{3}^{F}\\ \end{array} \right] =\frac{1}{\left( q_1 \right) ^2}\left[ \begin{array}{l} -q_2& q_1& 0& 0\\ -q_3& 0& q_1& 0\\ -q_4& 0& 0& q_1\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{q}_1\\ \dot{q}_2\\ \dot{q}_3\\ \dot{q}_4\\ \end{array} \right]$
其中，矩阵 $C$ 定义为： $C=\frac{1}{\left( q_1 \right) ^2}\left[ \begin{array}{l} -q_2& q_1& 0& 0\\ -q_3& 0& q_1& 0\\ -q_4& 0& 0& q_1\\ \end{array} \right]$
即可写成紧凑形式： $\dot{\vec{\gamma}}^F=C\dot{\vec{q}}^F$
反之，则有：
$\dot{\vec{q}}^F=D\dot{\vec{\gamma}}^F;D=\frac{1}{\sqrt{1+\left( \vec{\gamma}^F \right) ^2}}\left[ \begin{array}{l} 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{array} \right] -\frac{1}{\left( 1+\left( \vec{\gamma}^F \right) ^2 \right) ^{\frac{3}{2}}}\left[ \begin{array}{l} {\gamma _1}^F& {\gamma _2}^F& {\gamma _3}^F\\ \left( {\gamma _1}^F \right) ^2& {\gamma _1}^F{\gamma _2}^F& {\gamma _1}^F{\gamma _3}^F\\ {\gamma _2}^F{\gamma _1}^F& \left( {\gamma _2}^F \right) ^2& {\gamma _2}^F{\gamma _3}^F\\ {\gamma _3}^F{\gamma _1}^F& {\gamma _3}^F{\gamma _2}^F& \left( {\gamma _3}^F \right) ^2\\ \end{array} \right]$
已知：
$\vec{\gamma}^F=\vec{v}^F\tan \frac{\theta}{2}=\left[ \begin{array}{c} v_{1}^{F}\\ v_{2}^{F}\\ v_{3}^{F}\\ \end{array} \right] \tan \frac{\theta}{2}=\left[ \begin{array}{c} \gamma _{1}^{F}\\ \gamma _{2}^{F}\\ \gamma _{3}^{F}\\ \end{array} \right]$
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