洛谷——P1069 [NOIP2009 普及组] 细胞分裂(分解质因数,唯一分解定理)

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了洛谷——P1069 [NOIP2009 普及组] 细胞分裂(分解质因数,唯一分解定理)。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。


一、题目

[NOIP2009 普及组] 细胞分裂

题目描述

Hanks 博士是 BT(Bio-Tech,生物技术)领域的知名专家。现在,他正在为一个细胞实验做准备工作:培养细胞样本。

Hanks 博士手里现在有 N N N 种细胞,编号从 1 ∼ N 1 \sim N 1N,一个第 i i i 种细胞经过 1 1 1 秒钟可以分裂为 S i S_i Si 个同种细胞( S i S_i Si 为正整数)。现在他需要选取某种细胞的一个放进培养皿,让其自由分裂,进行培养。一段时间以后,再把培养皿中的所有细胞平均分入 M M M 个试管,形成 M M M 份样本,用于实验。Hanks 博士的试管数 M M M 很大,普通的计算机的基本数据类型无法存储这样大的 M M M 值,但万幸的是, M M M 总可以表示为 m 1 m_1 m1 m 2 m_2 m2 次方,即 M = m 1 m 2 M = m_1^{m_2} M=m1m2,其中 m 1 , m 2 m_1,m_2 m1,m2 均为基本数据类型可以存储的正整数。

注意,整个实验过程中不允许分割单个细胞,比如某个时刻若培养皿中有 4 4 4 个细胞,Hanks 博士可以把它们分入 2 2 2 个试管,每试管内 2 2 2 个,然后开始实验。但如果培养皿中有 5 5 5 个细胞,博士就无法将它们均分入 2 2 2 个试管。此时,博士就只能等待一段时间,让细胞们继续分裂,使得其个数可以均分,或是干脆改换另一种细胞培养。

为了能让实验尽早开始,Hanks 博士在选定一种细胞开始培养后,总是在得到的细胞“刚好可以平均分入 M M M 个试管”时停止细胞培养并开始实验。现在博士希望知道,选择哪种细胞培养,可以使得实验的开始时间最早。

输入格式

第一行,有一个正整数 N N N,代表细胞种数。

第二行,有两个正整数 m 1 , m 2 m_1,m_2 m1,m2,以一个空格隔开,即表示试管的总数 M = m 1 m 2 M = m_1^{m_2} M=m1m2

第三行有 N N N 个正整数,第 i i i 个数 S i S_i Si 表示第 i i i 种细胞经过 1 1 1 秒钟可以分裂成同种细胞的个数。

输出格式

一个整数,表示从开始培养细胞到实验能够开始所经过的最少时间(单位为秒)。

如果无论 Hanks 博士选择哪种细胞都不能满足要求,则输出整数 − 1 -1 1

样例 #1

样例输入 #1

1 
2 1 
3

样例输出 #1

-1

样例 #2

样例输入 #2

2
24 1
30 12

样例输出 #2

2

提示

【输入输出样例 #1 说明】

经过 1 1 1 秒钟,细胞分裂成 3 3 3 个,经过 2 2 2 秒钟,细胞分裂成 9 9 9个,……,可以看出无论怎么分裂,细胞的个数都是奇数,因此永远不能分入 2 2 2 个试管。

【输入输出样例 #2 说明】

1 1 1 种细胞最早在 3 3 3 秒后才能均分入 24 24 24 个试管,而第 2 2 2 种最早在 2 2 2 秒后就可以均分(每试管 144 / 24 1 = 6 144 / {24}^1 = 6 144/241=6 个)。故实验最早可以在 2 2 2 秒后开始。

【数据范围】

对于 50 % 50 \% 50% 的数据,有 m 1 m 2 ≤ 30000 m_1^{m_2} \le 30000 m1m230000

对于所有的数据,有 1 ≤ N ≤ 10000 1 \le N \le 10000 1N10000 1 ≤ m 1 ≤ 30000 1 \le m_1 \le 30000 1m130000 1 ≤ m 2 ≤ 10000 1 \le m_2 \le 10000 1m210000 1 ≤ S i ≤ 2 × 10 9 1 \le S_i \le 2 \times {10}^9 1Si2×109

NOIP 2009 普及组 第三题

二、题解

1.基本思路:

  • 看到数据范围暴力做肯定是不行的,不难发现细胞的分裂时指数形式的,可以表示s[i](1 秒钟可以分裂成同种细胞的个数)的t次方,t为多少秒。而试管的个数时m1的m2次方,根据唯一分解定理他们的底数都可以分解成质因数之积的形式。由于细胞要平均分入试管中,所以试管总数分解后有的质数,细胞的分解后也有,如果没有的话不能是试管的倍数。
  • 第二个需要判断的就是细胞经过t次分裂后,分解后包含的试管总数分解后有的质数的幂次一定要大于等于试管总数分解后的质数的幂次。
  • 唯一分解定理是在这里学的,点击链接即可跳转

唯一分解定理是数论中一个非常重要且实用的定理,这个定理是注意描述的,任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1a1P2a2P3a3…Pnan,这里P1<P2<P3…<Pn均为质数,其中指数ai是正整数。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-793527.html

2.代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define endl "\n"
#define int long long 
#define repn(i,o,n) for(int i=o;i<=n;i++)
#define rep(i,o,n) for(int i=o;i<n;i++)
const int N = 3e4+10;
//唯一分解定理是数论中一个非常重要且实用的定理
//任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数,那么N可以唯一分解成有
//限个质数的乘积N=P1a1P2a2P3a3......Pnan,这里P1<P2<P3......<Pn均为质数,其中指数ai是正整数。
int p1[N],e1[N],cnt1=0;//将m1的m2次方拆分成若干质数的乘积
//p1记录质数,e1记录质数的幂,cnt1记录多少个不同的质数的乘积 
int p2[N],e2[N];// 将s[i]拆分成若干质数的乘积
//p2,e2,cnt2功能同上 
int n,m1,m2,s[N],t[N],cnt2=0,temp[N];//记录每个细胞分裂成到满足条件所需要的时间,如果n个细胞都为0,说明哪种细胞都不满足条件,输出-1
 
void divide1(int n1){
	for(int i=2;i*i<=n1;i++){
		if(n1%i==0){
			p1[++cnt1]=i,e1[cnt1]=0;
			while(n1%i==0){
				n1/=i;
				e1[cnt1]++;
			}
		}
	}
	if(n1>1)
	  p1[++cnt1]=n1,e1[cnt1]++;
	repn(i,1,cnt1)
	  e1[i]*=m2;//幂的乘法,前面求的是m1的质数幂之积,将m2乘进去即可 
//	for(int i=1;i<=cnt1;i++)
//	  cout<<p1[i]<<"^"<<e1[i]<<"  ";
//	cout<<endl;
}

void divide2(int n1){
	int cnt=0;
	for(int i=2;i*i<=n1;i++){
		if(n1%i==0){
			p2[++cnt]=i,e2[cnt]=0;
			while(n1%i==0){
				n1/=i;
				e2[cnt]++;
			}
		}
	}
	if(n1>1)
	  p2[++cnt]=n1,e2[cnt]++;
	cnt2=cnt;
//	for(int i=1;i<=cnt;i++)
//	  cout<<p2[i]<<"^"<<e2[i]<<"  ";
//	cout<<endl;
}

void solve(){
	cin>>n;//代表细胞种数
	cin>>m1>>m2;
	if(m1==1){
		cout<<0;
		return;
	}
	repn(i,1,n)
	  cin>>s[i];
	divide1(m1);
	unordered_map<int,int> mp;//m1有哪些质数 
	repn(i,1,cnt1)
	  mp[p1[i]]=e1[i];
	repn(i,1,n){
		memset(p2,0,sizeof(p2));
		memset(e2,0,sizeof(e2));
		divide2(s[i]);
		//先判断该细胞分离后可不可以均分
		int num=0;
		repn(j,1,cnt2)
		  if(mp.count(p2[j])){
		  	num++;
		  }
		if(num!=cnt1) continue;
		//可以均分,求出时间 
		int time=1;
		while(1){
			repn(j,1,cnt2)
		      temp[j]=e2[j];
			repn(j,1,cnt2)
			  temp[j]*=time;
			bool flag=true;
			repn(j,1,cnt2)
			   if(mp.count(p2[j])&&temp[j]<mp[p2[j]]){
			   	flag=false;
			   	//cout<<temp[j]<<' '<<p2[j]<<endl;
			   	break;
			   }
		 	if(flag) break;
		 	time++;  
		}
		//cout<<time<<endl;
		t[i]=time;
	}
	int ans=1LL*1<<32;
	repn(i,1,n)
	  if(t[i]&&ans>t[i])
	    ans=t[i];
	if(ans!=1LL<<32)
	  cout<<ans<<endl;
	else
	  cout<<-1<<endl;
}

signed main(){
	//IOS;
	int T=1;
	//cin>>T;
	while(T--){
		solve();
	}
	return 0;
}

到了这里,关于洛谷——P1069 [NOIP2009 普及组] 细胞分裂(分解质因数,唯一分解定理)的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • [NOIP2002 普及组] 选数#洛谷

    已知 n n n 个整数 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1,x_2,cdots,x_n x 1 ​ , x 2 ​ , ⋯ , x n ​ ,以及 1 1 1 个整数 k k k ( k n kn k n )。从 n n n 个整数中任选 k k k 个整数相加,可分别得到一系列的和。例如当 n = 4 n=4 n = 4 , k = 3 k=3 k = 3 , 4 4 4 个整数分别为 3 , 7 , 12 , 19 3,7,12,19 3 , 7 , 12 , 19 时,

    2024年01月20日
    浏览(47)
  • 洛谷P1059 [NOIP2006 普及组] 明明的随机数

    1. 问题描述 2. Input 输入有两行,第 1 行为 1 个正整数,表示所生成的随机数的个数 N。第 2 行有 N 个用空格隔开的正整数,为所产生的随机数。 3. Output 输出也是两行,第 1 行为 1 个正整数 M,表示不相同的随机数的个数。第 2 行为 M 个用空格隔开的正整数,为从小到大排好序

    2024年02月15日
    浏览(42)
  • 题解 洛谷P1088 [NOIP2004 普及组] 火星人——【C/C++】

    人类终于登上了火星的土地并且见到了神秘的火星人。人类和火星人都无法理解对方的语言,但是我们的科学家发明了一种用数字交流的方法。这种交流方法是这样的,首先,火星人把一个非常大的数字告诉人类科学家,科学家破解这个数字的含义后,再把一个很小的数字加

    2024年01月25日
    浏览(36)
  • 【洛谷 P1029】[NOIP2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题 题解(更相减损术)

    输入两个正整数 x 0 , y 0 x_0, y_0 x 0 ​ , y 0 ​ ,求出满足下列条件的 P , Q P, Q P , Q 的个数: P , Q P,Q P , Q 是正整数。 要求 P , Q P, Q P , Q 以 x 0 x_0 x 0 ​ 为最大公约数,以 y 0 y_0 y 0 ​ 为最小公倍数。 试求:满足条件的所有可能的 P , Q P, Q P , Q 的个数。 一行两个正整数 x 0 , y 0

    2024年02月09日
    浏览(44)
  • Python:分解质因数

    把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做 分解质因数 . 分解质因数常见方法是短除法,也可以用Python实现. 给出三种分解质因数的代码:

    2024年02月06日
    浏览(46)
  • 分解质因数--试除法

     但是按照题意我们需要的是枚举质因数,然后呢我们枚举的是 1到n ,这个时候我们就会考虑一个问题,就是1到n这个里面就是不只有质数,还有合数,这个是我们担心的一个问题. 我们来说明一下这个情况 为什么我们枚举这个1-n是可以行的 ..........................................

    2024年02月06日
    浏览(85)
  • 【算法基础】分解质因数

    分解质因数是指将一个合数用质因数相乘的形式表示出来,即将一个合数分解为若干个质数的乘积。其中每个质数都是这个合数的因数。例如,将30分解质因数,得到2×3×5,即将30表示为2、3、5三个质数的乘积。分解质因数只针对合数,对于质数和1,不需要进行分解质因数。

    2024年04月14日
    浏览(45)
  • c++分解质因数详解

    分解质因数 1. 定义 把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式,即求质因数的过程叫做分解质因数。如60=2×2×3×5 质因数也称为质因子或素因数。 性质1:质数分解的结果是唯一的。 2. 短除法 从最小的质数除起,一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式叫短除法,和

    2024年02月04日
    浏览(38)
  • 【c语言】--分解质因数【完整版详细】

    首先,我们所说的质数就是素数,两种叫法都可以! 如果一个数的因数是质数,那么这个因数就是他的质因数。 比如: 5的因数:1、5 因数5就是5的质因数。 28的因数:4、7 因数7就是28的质因数。 把一个合数用质数相乘的形式表示出来,叫作分解质因数。他强调的是分解的过

    2024年02月06日
    浏览(41)
  • [NOIP2007 普及组] 纪念品分组

    元旦快到了,校学生会让乐乐负责新年晚会的纪念品发放工作。为使得参加晚会的同学所获得 的纪念品价值相对均衡,他要把购来的纪念品根据价格进行分组,但每组最多只能包括两件纪念品, 并且每组纪念品的价格之和不能超过一个给定的整数。为了保证在尽量短的时间

    2024年02月14日
    浏览(46)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包