【学习笔记】2、逻辑代数与硬件描述语言基础-Toy模板网

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2.1 逻辑代数

（1）逻辑代数的基本定律和恒等式

基本定律	或 “+”	与 “·”	非 “—”
0-1律	A+0=A A+1=1 A+A=A A+ $\overline{A}$ =1(互补律)	A·0=0 A·1=A A·A=A A· $\overline{A}$ =0	$\overline{\overline{A}}$ =A
结合律	(A+B)+C = A+(B+C)	(AB)C=A(BC)=ABC
交换律	A+B = B+A	AB=BA
分配律	A(B+C) = AB+AC	A+BC = (A+B)(A+C)
反演律（摩根定理）	$\overline{A·B·C·...}$ = $\overline{A}$ + $\overline{B}$ + $\overline{C}$ +… $\overline{A·B}$ = $\overline{A}$ + $\overline{B}$	$\overline{A+B+C+...}$ = $\overline{A}$ · $\overline{B}$ · $\overline{C}$ ·… $\overline{A+B}$ = $\overline{A}$ · $\overline{B}$
吸收律	A + A · B = A A · (A + B) = A A + $\overline{A}$ · B = A + B (A + B) · (A + C) = A + BC
常用恒等式	AB + $\overline{A}$ C + BC = AB + $\overline{A}$ C	AB+ $\overline{A}$ C+BCD = AB + $\overline{A}$ C

反演律，被称为“摩根定理”。（1）用于求一个原函数的非函数（2）对逻辑函数进行变换。
可以通过列出真值表的方式证明等式的成立。
常用恒等式 AB + $\overline{A}$ C + BC = AB + $\overline{A}$ C 的证明过程如下：
AB + $\overline{A}$ C + BC = AB + $\overline{A}$ C + (A + $\overline{A}$ )BC =AB + $\overline{A}$ C + ABC + $\overline{A}$ BC = AB(1+C) + $\overline{A}$ C(1+B) = AB+ $\overline{A}$ C
上述常用恒等式说明：若两个乘积项中分别包含A和 $\overline{A}$ ，而这两个乘积项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。

（2）逻辑代数的基本规则

代入规则

等式两边存在某变量A，可以用一个函数代替A，代入等式。
代入规则适合所有基本定律或定理的应用范围。

原等式 L	代入的函数	代入后
B (A+C) = BA +BC	E+F	B( (E+F) +C) = B(E+F)+BC
$\overline{AB}$ = $\overline{A}$ + $\overline{B}$	L = CD	$\overline{(CD)B}$ = $\overline{CD}$ + $\overline{B}$ = $\overline{C}$ + $\overline{D}$ + $\overline{B}$

反演规则

原函数L
将原函数中的 与（·） 换成 或（+）
将原函数中的 或（+） 换成 与（·）
将原函数中的原变量A 换成非变量 $\overline{A}$
将原函数中的非变量 $\overline{A}$ 换成原变量A
得到非函数 $\overline{L}$

原函数L	非函数 $\overline{L}$
L = $\overline{AB}$ + CD + 0	$\overline{L}$ = (A+B)·（ $\overline{C}$ + $\overline{D}$ ）· 1 = (A+B)·（ $\overline{C}$ + $\overline{D}$ ）
L = A + $\overline{B\overline{C} + \overline{D + \overline{E}}}$	$\overline{L}$ = $\overline{A}$ · $\overline{(\overline{B}+C) + \overline{\overline{D} · E}}$ )

对偶规则

与反演规则不同，无需将变量A 变为非变量 $\overline{A}$
变换时，注意保持 “先括号，然后与，最后或”的运算顺序。
原函数L
将原函数中的 与（·） 换成 或（+）
将原函数中的 或（+） 换成 与（·）
1换成0
0换成1
对偶式L’

原函数L	对偶式L’
L = (A+ $\overline{B}$ )(A+C)	L’ = A $\overline{B}$ +AC
吸收律 A+ $\overline{A}$ B = A+B	A·( $\overline{A}$ +B) = A·B

（3）逻辑函数的代数化简法

化简逻辑函数，节省逻辑电路的器件。

最简与-或表达式（积之和）

与（逻辑乘），把变量连接起来。与项，乘积项。
或运算，将乘积项连接起来。
定义：若干个逻辑关系相同的“与-或表达式”中，包含的与项数最少，每个与项中变量最少的表达式，称为“最简与-或表达式”。

与-或表达式	与非-与非表达式	或 - 与表达式	或非-或非表达式	与-或非表达式
L = AC + $\overline{C}$ D	L = $\overline{\overline{AC} · \overline{\overline{C}D}}$	L = (A+ $\overline{C}$ )(C+D)	L = $\overline{\overline{ (A+\overline{C}) }+\overline{( C + D )}}$	L = $\overline{ \overline{A}C + \overline{C}·\overline{D}}$

L = AC + $\overline{C}$ D
= $\overline{\overline{ AC + \overline{C}D}}$
= 反演律 $\overline{\overline{AC} · \overline{\overline{C}D}}$

L = AC+ $\overline{C}$ D
= 吸收律 (AC + ACD) + 吸收律( $\overline{C}$ D + $\overline{C}$ DA)
= 交换结合律/常用恒等式 AC+ $\overline{C}$ D + AD· （C+ $\overline{C}$ ）
= 0-1律 AC+ $\overline{C}$ D + AD· 1
= 0-1律 AC + $\overline{C}$ D +AD +0
= 0-1律 AC + $\overline{C}$ D +AD + $\overline{C}$ C
=结合律 (A+ $\overline{C}$ ) ( C + D )

L = AC + $\overline{C}$ D = (A+ $\overline{C}$ ) ( C + D )
= $\overline{\overline{ (A+\overline{C}) ( C + D )}}$
= 反演律 $\overline{\overline{ (A+\overline{C}) }+\overline{( C + D )}}$
= 反演律 $\overline{ \overline{A}C + \overline{C}·\overline{D}}$

逻辑函数的化简方法

代数法。运用逻辑代数的基本定律和恒等式对逻辑函数进行化简
代数法 - 并项法
利用 A+ $\overline{A}$ = 1。
$L_1 = ABC + AB\overline{C} = AB(C+\overline{C}) = AB$
代数法 - 吸收法
利用A+AB=A。
L = $\overline{A}$ B + $\overline{A}$ BCDE+ $\overline{A}$ BCDF = $\overline{A}$ B
代数法 - 消去法
利用A+ $\overline{A}$ B = A+B。
L = AB + $\overline{A}$ C + $\overline{B}$ C
= AB + ( $\overline{A}$ + $\overline{B}$ )C
= AB + $\overline{AB}$ C
= AB + C
代数法 - 配项法(要有一定的经验，否则越配越繁)
利用A=A(B+ $\overline{B}$ )
L= AB+ $\overline{A}$ · $\overline{C}$ + B · $\overline{C}$
= AB + $\overline{A}$ · $\overline{C}$ + (A+ $\overline{A}$ ·)B · $\overline{C}$
= AB + $\overline{A}$ · $\overline{C}$ + AB $\overline{C}$ + $\overline{A}$ B $\overline{C}$
= (AB+AB $\overline{C}$ ) + ( $\overline{A}$ · $\overline{C}$ + $\overline{A}$ · $\overline{C}$ B)
= AB + $\overline{A}$ · $\overline{C}$

2.2 逻辑函数的卡诺图化简法

利用卡诺图法，得到最简的逻辑表达式。

（1）最小项的定义以及性质

定义：
（1）n个变量的最小项，是n个因子的乘积。每个变量因子都以原变量或者非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。
（2）A，B，C三个变量的最小项有 $2^3=8$ 个，(0 = 0b000) $\overline{A}$ · $\overline{B}$ · $\overline{C}$ ，(1 = 0b001) $\overline{A}$ · $\overline{B}$ ·C，(2 = 0b010) $\overline{A}$ ·B· $\overline{C}$ ，(3 = 0b011) $\overline{A}$ ·BC，(4 = 0b100)A· $\overline{B}$ · $\overline{C}$ ，(5 = 0b101)A· $\overline{B}$ ·C，(6 = 0b110)AB· $\overline{C}$ ，(7 = 0b111)ABC

A	B	C	$\overline{A}$ · $\overline{B}$ · $\overline{C}$	$\overline{A}$ · $\overline{B}$ ·C	$\overline{A}$ ·B· $\overline{C}$	$\overline{A}$ ·BC	A· $\overline{B}$ · $\overline{C}$	A· $\overline{B}$ ·C	AB· $\overline{C}$	ABC
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	1	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0
1	0	1	1	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	0	0	0	0	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	1

性质：
（1）输入变量取一组值，在所有的最小项中，只会有一组最小项值为1。
（2）不同的最小项，使它值为1的输入变量的取值是不同的。
（3）输入变量取一组值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）输入变量取一组值，所有最小项之和为1。
最小项的编号：
（1） $m_0$ : (0 = 0b000) $\overline{A}$ · $\overline{B}$ · $\overline{C}$
（2） $m_1$ : (1 = 0b001) $\overline{A}$ · $\overline{B}$ ·C
（3） $m_2$ : (2 = 0b010) $\overline{A}$ ·B· $\overline{C}$
（4） $m_3$ : (3 = 0b011) $\overline{A}$ ·BC
（5） $m_4$ : (4 = 0b100)A· $\overline{B}$ · $\overline{C}$
（6） $m_5$ : (5 = 0b101)A· $\overline{B}$ ·C
（7） $m_6$ : (6 = 0b110)AB· $\overline{C}$
（8） $m_7$ : (7 = 0b111)ABC

（2）逻辑函数的最小项表达式

最小项表达式：逻辑函数L = 若干个最小项之和
L(A,B,C) = AB + $\overline{A}$ C 不是最小项表达式
L(A,B,C) = AB + $\overline{A}$ C = AB（C+ $\overline{C}$ ） + $\overline{A}$ (B+ $\overline{B}$ )C = ABC + AB $\overline{C}$ + $\overline{A}$ BC + $\overline{A}$ · $\overline{B}$ C
L(A,B,C) = $m_7$ + $m_6$ + $m_3$ + $m_1$ = $\sum m(1,3,6,7)$
任意一个逻辑函数，经过变换，都能表示成唯一的最小项表达式。

（3）用卡诺图表示逻辑函数

将逻辑函数的最小项表达式中的各个最小项，对应地填入特定的方格中。
卡诺图是逻辑函数的图形表示。

1个变量D 的卡诺图

$2^1$ =2 个最小项（ $m_0$ = $\overline{D}$ 和 $m_1$ =D）。
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2个变量C和D 的卡诺图

“折叠展开” 法则，如下图所示。
$2^2$ =4 个最小项（ $m_0$ = $\overline{C}$ · $\overline{D}$ 和 $m_1$ = $\overline{C}$ ·D和 $m_2$ = C· $\overline{D}$ 和 $m_3$ = C·D）。

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3个变量B和C和D的卡诺图

“折叠展开” 法则，如下图所示。
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4个变量A和B和C和D的卡诺图

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卡诺图的特点：循环邻接
（1）各个小方格对应的各变量不同的组合。
（2）一个格子与上下左右相邻的格子只有一个因子的差异
（3）边界最上与最小，边界最左与最右，4个对角格子上下左右满足相邻（斜对角不相邻），一个因子的差异。
举例画卡诺图：
（1）L(A,B,C,D) = $\sum m(0,1,2,3,4,8,10,11,14,15)$ ，存在的最小项，在对应的卡诺图格子中填1，不存在的最小项，在格子中填0

（2）L(A,B,C,D) = ( $\overline{A}$ + $\overline{B}$ + $\overline{C}$ + $\overline{D}$ ) ( $\overline{A}$ + $\overline{B}$ +C+ $\overline{D}$ ) ( $\overline{A}$ +B+ $\overline{C}$ +D) (A+ $\overline{B}$ + $\overline{C}$ +D) (A+B+C+D)
反演律（摩根定理） $\overline{L}$ = ABCD + AB· $\overline{C}$ D + A $\overline{B}$ ·C· $\overline{D}$ + $\overline{A}$ ·BC· $\overline{D}$ + $\overline{A}$ · $\overline{B}$ · $\overline{C}$ · $\overline{D}$ = $\sum m(15,13,10,6,0)$

（4）用卡诺图化简逻辑函数

化简的依据

（1）根据“循环邻接”的特性（上下左右）。
（2）两个相邻的方格为1，他们的和将消去一个变量。如：（ $m_{15} =1111$ ）ABCD + （ $m_{14} = 1110$ ）ABC $\overline{D}$ = ABC
（3）四个相邻的方格为1，他们的和将消去两个变量。如 ( $m_{2} =0010$ ） $\overline{A}· \overline{B}· C· \overline{D}$ + ( $m_{3} =0011$ ） $\overline{A}· \overline{B}· C· D$ + ( $m_{6} =0110$ ） $\overline{A}· B· C· \overline{D}$ + ( $m_{7} =0111$ ） $\overline{A}· B· C· D$ = $\overline{A}· C$

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化简的步骤

（1）将逻辑函数"L" 写成最小项表达式。
（2）填写卡诺图，存在的最小项在表格中填写1，其余方格填0。
（3）合并最小项。相邻的1方格圈成一组（包围圈，虚线框）。每组包含 $2^n$ 个方格。每个包围圈写成一个新的乘积项。可重复包围。
（4）将所有的包围圈对应的乘积项相加。
L (A,B,C,D) = $\sum m(0,2,5,7,8,10,13,15)$ = B·D+ $\overline{B}$ · $\overline{D}$
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很多情况可以圈0，得到的是化简式的非，即“ $\overline{L}$ ”
$\overline{L}$ = $\overline{B}$ D+B $\overline{D}$
L = $\overline{\overline{B}D+B\overline{D}}$ =( B+ $\overline{D}$ ) ( $\overline{B}$ +D) = B·D+ $\overline{B}$ · $\overline{D}$
本章节最重要的注意点 – 将真值表转化为卡诺图，可以得到逻辑函数。
（1）实际应用中，可以确定输入变量的个数以及状态。可以确定输出的结果。
（2）列出真值表。
（3）根据真值表，填写卡诺图。
（4）进行卡诺图化简，得到逻辑函数（化简后的最小项表达式）。
（5）进行逻辑电路的设计与实现。

例如：真值表

$m_{0-15}$	A	B	C	D	L
$m_{0}$	0	0	0	0	1
$m_{1}$	0	0	0	1	0
$m_{2}$	0	0	1	0	0
$m_{3}$	0	0	1	1	0
$m_{4}$	0	1	0	0	1
$m_{5}$	0	1	0	1	1
$m_{6}$	0	1	1	0	0
$m_{7}$	0	1	1	1	0
$m_{8}$	1	0	0	0	1
$m_{9}$	1	0	0	1	0
$m_{10}$	1	0	1	0	1
$m_{11}$	1	0	1	1	0
$m_{12}$	1	1	0	0	1
$m_{13}$	1	1	0	1	0
$m_{14}$	1	1	1	0	0
$m_{15}$	1	1	1	1	1

卡诺图
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逻辑函数
L = $\overline{C}$ · $\overline{D}$ + A $\overline{B}$ · $\overline{D}$ + $\overline{A}$ B $\overline{C}$ + ABCD

具有无关项的化简

（1）在真值表内，对应于变量的某些取值下，函数L的值可以是任意的。或者这些变量的取值根本不会出现。这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。
（2）在卡诺图中，无关项的意义是，它的值X可以是0或者1。

对应十进制数	变量A	变量B	变量C	变量D	输出L （奇数1，偶数0）
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	1
2	0	0	1	0	0
3	0	0	1	1	1
4	0	1	0	0	0
5	0	1	0	1	1
6	0	1	1	0	0
7	0	1	1	1	1
8	1	0	0	0	0
9	1	0	0	1	1
无关项	1	0	1	0	X
无关项	1	0	1	1	X
无关项	1	1	0	0	X
无关项	1	1	0	1	X
无关项	1	1	1	0	X
无关项	1	1	1	1	X

根据卡诺图，可以得出 $L = D$
包围圈覆盖了正负A，正负B，正负C，正D。
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2.3 硬件描述语言 Verilog HDL 基础

硬件描述语言Verilog HDL 类似于高级程序设计语言（C语言等等）。
一种以文本形式来描述数字系统硬件的结构和行为的语言。
计算机对于HDL的处理包括：逻辑仿真和逻辑综合。
逻辑仿真：计算机软件对数字逻辑电路的结构和行为进行预测。以文本形式或者时序波形的形式给出电路的输出。
逻辑综合：从HDL描述的数字逻辑电路模型中，导出电路基本元器件列表以及元器件之间的连接关系（门级网表）。
硬件描述语言的发展：早期的ABEL -> 目前的 VHDL（美国国防部）和Verilog（Cadence收购的一家公司）。
Verilog 更容易学习和使用。

（1）Verlog的基本语法规则

间隔符

空格符 \b
Tab键  \t
换行符 \n

注释符

/* 注释1 */
//注释2

标识符和关键词

标志符：给对象取名。使用英文字母，数字，“$”和下划线“_”。必须以英文字母或者下划线开始。区分英文大小写。
关键字：通常为小写的英文字符串。不能作为标识符使用。

module
endmodule
input
output
wire
reg
and
等等

逻辑值集合

四种基本的逻辑值

值	含义
0	逻辑0，逻辑假
1	逻辑1，逻辑真
x 或 X	不确定的值（未知状态）
z 或 Z	高阻态

常量及其表示

程序运行过程中，不能改变数值的量，称为常量。
整数型常量

<+/-> <位宽> ' <基数符号> <数值>

（1）<+/-> 正负号，当常量为正整数时，可以省略正号不写。
（2）<位宽> 二进制数的宽度
（3）<基数符号> 后面数值的表示形式。b或者B表示后面的数值是二进制数。d或者D表示后面的数值是十进制数。h或者H表示后面的数值是十六进制数。o或者O表示后面的数值是八进制数。
（4）可以在数字之间增加下划线，增加可读性。

3'b101
5'o37
8'he3
-4'd10
4'b1x0x
8'b1001_0011

实数型常量
（1）两种表示方法，简单的十进制记数法；科学记数法。

0.01
2.0
4.56

23_5.1E2   = 23 510.0
3.6E2      = 360.0
5E-4       = 0.0005

使用标识符代表一个常量，称为符号常量

parameter 参数名1 = 常数表达式 , 参数名2 = 常量表达式2 ,  ... ;

parameter BIT = 1 , BYTE = 8 , PI = 3.14;
parameter DELAY = (BYTE + BIT)/2;

字符串

双引号" " 内部的字符序列。
不允许多行书写

"ab"  = 16'h5758

（2）变量的数据类型

与常量不同，程序运行过程中，值可以改变，称为变量。
verilog中有两种变量：线网类型，寄存器类型。

线网类型 net type

线网类型是硬件电路中元器件之间实际连线的抽象。
线网类型变量的值由驱动元件的值决定。
如下图所示，L就是一个线网类型的变量。

wire a,b; //声明两个线网变量a和b （上图中的a和b）， 默认是一位位宽
wrie L; //声明线网变量L ，默认是一位位宽

线网类型关键字包括

wire
wand
wor
tri
triand
trior
trireg
等等

线网类型变量被定义后，如果没有驱动元件驱动，则线网类型变量处于默认值，“高阻态”z。
线网trireg变量的默认值是x
线网类型的关键字是wire。默认是一位位宽。

wire[ n-1 : 0 ] 变量名1,变量名2,变量名3, ... ,变量名m ;

wire [7:0] databus;//声明定义一个 8位宽的 变量databus。（总线）
wire[32:1] busA,busB,busC;//3个位宽为32的线网变量（总线）

寄存器类型 register type

寄存器类型是数据存储单元的抽象。
寄存器类型变量具有状态保持的作用。
寄存器型变量只能在initial或always内部被赋值。
寄存器型变量在没有被赋值时默认值是x。

寄存器类型	功能说明
reg	用于行为描述中对寄存器型变量的说明（默认位宽为1）
integer	32位带符号的整数型变量
real	64位带符号的实数型变量，默认为0
time	64位无符号的时间型变量

reg[ n-1 :0 ] 变量名1, 变量名2, 变量名3, ... ,变量名n;

reg clock;//定义1位寄存器变量
reg[3:0] counter;//定义4位寄存器变量

integer、real、time 纯数学的抽象描述
initial是一个过程语句结构

integer counter;//定义一个整型变量
initial
counter = -1;//将-1以补码的形式存储在counter中

real型变量，用于对实数型常量进行存储和运算。实数不能定义范围，其默认值为0。实数值被赋值赋值给一个integer型变量时，只保留整数部分的值。

real delta;
initial
    begin
         delta = 4e10;//给delta赋值
         delta = 2.13;
    end
    
integer i;//定义一个整型变量i;
initial
     i = delta;//i 得到的值是2（只将实数2.13的整数部分赋值给i）

time型变量，存储仿真时间，无符号数。
调用$time可以得到当前的仿真时间。

time current_time;//定义一个时间类型的变量
initial
    current_time = $time;//保存当前的仿真时间到变量current_time中。

（3）Verilog程序的基本结构

verilog 包括大约100个关键字。
使用一个或者多个模块对数字电路进行建模。

模块module

模块名是模块唯一标识符。
端口类型说明必须明确。输入端口input、输出端口output、双向端口inout
参数定义将常量用符号常量代替。
数据类型定义，指定模块内使用的数据对象的类型。寄存器类型或者线网类型。

module 模块名(端口名1,端口名2,端口名3,...)
端口类型说明(input,output,inout)
参数定义（可选）
数据类型定义（wire，reg等）

实例化低层模块和基本门级元件;
连续赋值语句（assign）;
过程块结构（initial和always）
    行为描述语句;
endmodule

三种不同风格描述电路的功能。
（1）（结构描述方式）使用实例化低层模块的方法，调用其他已经写好的低层模块。或者直接调用verilog内部基本门级元件描述的电路电路接口。
（2）（数据流描述方式）使用连续赋值语句。适合组合逻辑电路建模。
（3）（行为描述方式）使用过程块语句结构（initial和always），使用比较抽象的高级程序语句。行为描述是学习的重点。
（4）附加一种描述方式（开关级描述方式），专门针对MOS管构成的逻辑电路进行建模。

示例

【学习笔记】2、逻辑代数与硬件描述语言基础,数字电路,学习,笔记文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-793598.html

//简单电路的门级描述
module mux2tol(a,b,sel,out)
    input a,b,sel;//定义输入信号
    output out;//定义输出信号
    wrie selnot,a1,b1;//定义内部节点信号数据类型
//下面对电路的逻辑功能进行描述
    not U1(selnot,sel);
    and U2(a1,a,selnot);
    and U3(b1,b,sel);
    or U4(out,a1,b1); //得到out输出信号 
endmodule