动态规划
动态规划就像是解决问题的一种策略，它可以帮助我们更高效地找到问题的解决方案。这个策略的核心思想就是将问题分解为一系列的小问题，并将每个小问题的解保存起来。这样，当我们需要解决原始问题的时候，我们就可以直接利用已经计算好的小问题的解，而不需要重复计算。
动态规划与数学归纳法思想上十分相似。
数学归纳法：
-
基础步骤（base case）：首先证明命题在最小的基础情况下成立。通常这是一个较简单的情况，可以直接验证命题是否成立。
-
归纳步骤（inductive step）：假设命题在某个情况下成立，然后证明在下一个情况下也成立。这个证明可以通过推理推断出结论或使用一些已知的规律来得到。
通过反复迭代归纳步骤，我们可以推导出命题在所有情况下成立的结论。
动态规划：
-
状态表示：
-
状态转移方程：
-
初始化：
-
填表顺序：
-
返回值：
数学归纳法的基础步骤相当于动态规划中初始化步骤。
数学归纳法的归纳步骤相当于动态规划中推导状态转移方程。
动态规划的思想和数学归纳法思想类似。
在动态规划中，首先得到状态在最小的基础情况下的值，然后通过状态转移方程，得到下一个状态的值，反复迭代，最终得到我们期望的状态下的值。
接下来我们通过三道例题，深入理解动态规划思想，以及实现动态规划的具体步骤。
879. 盈利计划 - 力扣（LeetCode）
题目解析
状态表示
这个问题本质上是，
-
挑选出一些工作作为一个集合，这个集合满足某些要求，解决某些问题。而背包问题就是挑选出一些物品作为一个集合，这个集合满足某些要求，解决某些问题。
-
挑选出来的工作不可以无限选取，所以属于二维01背包问题。
背包问题的状态表示是，
定义dp[i][j]表示从前i个物品中挑选，总体积不超过j，所有选法中，所能达到的最大价值。
定义dp[i][j]表示从前i个物品中挑选，总体积恰好为j，所有选法中，所能达到的最大价值。
我们根据背包问题的状态表示，定义出该问题的状态表示。
因此我们可以定义，dp[i][j][k]表示，从前i个工作中挑选，总需人数不超过j，总利润不少于k，总盈利计划个数。
状态转移方程
状态转移方程通常都是根据最后一个位置的具体状况进行分类讨论。
-
如果不选择第i个工作， 此时只能从前i-1个工作中挑选出集合，此时dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k]。
-
如果选择第i个工作， 此时第i个工作需要的人数为group[i-1]，产生的利润为profit[i-1]，本来总人数不能超过j，选取第i个工作后，总人数不能超过j-group[i-1]，本来总利润需要不少于k，选取第i个工作后，总利润需要不少于k-profit[i-1]，因此dp[i][j][k]=dp[i-1][j-group[i-1]][k-profit[i-1]]。表示在前i-1个工作中挑选集合的集合个数，每一个集合都加入第i个工作，此时的集合个数为dp[i][j][k]。此时还需要判断j-guoup[i-1],k-profit[i-1]是否小于0，的情况。小于0就越界了。
-
如果j-group[i-1]<0, 表示第i个工作需要的人数就大于了j，此时dp[i][j][k]=0。
-
如果j-group[i-1]>=0, 说明此时可以完成第i个工作，dp[i][j][k]=dp[i-1][j-group[i-1][k-profit[i-1]]，还需要考虑k-profit[i-1]的正负性。
-
如果k-profit[i-1]<0, 表示第i个工作产生的利润就可以满足最低需求利润，所以再从前面工作中挑选，不需要考虑它的利润条件，即产生的利润大于等于0即可。此时dp[i][j][k]=dp[i-1][j-group[i-1]][0]。
-
如果k-profit[i-1]>=0, 此时dp[i][j][k]=dp[i-1][j-group[i-1]][k-profit[i-1]]。
-
-
综上所述，将上述情况进行合并和简化，得到状态转移方程为，
dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
if (j - group[i - 1] >= 0)
dp[i][j][k] = (dp[i][j][k]+dp[i - 1][j - group[i - 1]]
[max(0, k - profit[i - 1])])%MOD;MOD=1e9+7，因为题目说得到的数可能很大，需要对MOD取余，所以两个数每相加，就对MOD取余。
初始化
根据状态转移方程，我们知道，推导（i，j，k）位置的状态需要用到（i-1，j，k）位置的状态，if判断保证j-group[i-1]一定不会小于0，dp[i - 1][j - group[i - 1]][max(0, k - profit[i - 1])]，所以这个状态中只需要考虑（i-1）。所以我们需要初始化第一行，推导第一行的时候会发生越界的情况，此时没有前驱状态。
i==0，表示不选工作，人数不超过j，集合利润不少于k，集合个数，此时只有dp[0][j][0]=1,其他都为0。
故初始化为，
for (int j = 0; j <= n; j++) {
dp[0][j][0] = 1;
}填表顺序
根据状态转移方程，我们在推导（i，j，k）位置的状态时，需要用到（i-1，j，k）（i-1，j-group[i-1],k-profit[i-1]）位置的状态。这些状态不会越界，初始化保证了他们不会越界。
-
固定i， i需要从小到大变化，当推导（i，j，k）位置状态时，（i-1，，）位置状态已经得到，所以j，k的变化可以从小到大，也可以从大到小。
-
固定j， j的变化需要从小到大，又因为需要用到（i-1，j，k）位置的状态，所以i的变化需要从小到大，此时k的变化可以从小到大也可以从大到小。
-
固定k， k的变化需要从小到大，又因为需要用到（i-1, j，k）位置的状态，所以i的变化需要从小到大，此时j的变化可以从小到大，也可以从大到小。
返回值
状态表示为dp[i][j][k]表示，从前i个工作中挑选，总需人数不超过j，总利润不少于k，总盈利计划个数。
结合题目意思，我们需要在前m个工作中挑选，总需人数不超过n，总利润不少于minProfit，总盈利计划个数。
返回dp[m][n][minProfit]
（m表示工作个数）
代码实现
class Solution {
public:
int profitableSchemes(int n, int minProfit, vector<int>& group,
vector<int>& profit) {
int m = group.size();
int MOD = 1e9 + 7;
vector<vector<vector<int>>> dp(
m + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(minProfit + 1)));
for (int j = 0; j <= n; j++) {
dp[0][j][0] = 1;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 0; j <= n; j++) {
for (int k = 0; k <= minProfit; k++) {
dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
if (j - group[i - 1] >= 0)
dp[i][j][k] = (dp[i][j][k]+dp[i - 1][j - group[i - 1]]
[max(0, k - profit[i - 1])])%MOD;
}
}
}
return dp[m][n][minProfit];
}
};377. 组合总和 Ⅳ - 力扣（LeetCode）
题目解析
因此我们应该换一种思路，尝试正向解决这道问题。
在正向推导过程我们发现了重复子问题，求元素和为target一共有多少种排列方法数，等价于求元素和为target-第一个位置上的元素值，一共有多少种排列方法数，然后再考虑第一个位置上所有情况即可。
因此我们可以定义状态表示为dp[i]元素和为i的所有排列方法数。
状态表示
定义dp[i]元素和为i的所有排列方法数。
状态转移方程
-
如果有排列，
-
第一个位置为nums[0], 此时dp[i]=dp[i-nums[0]]。
-
第一个位置为nums[1], 此时dp[i]=dp[i-nums[1]]。
-
第一个位置为nums[2], 此时dp[i]=dp[i-nums[2]]。
-
.......
-
-
如果没排列， dp[0]=1。
综上所述，状态转移方程为，dp[i]=dp[i-nums[0]]+dp[i-nums[1]]+..........
如果i-nums[0]<0，此时不存在。同时dp[0]=1。
for(auto j:nums){
if(j<=i){
dp[i]+=dp[i-j];
}
}初始化
根据状态转移方程，dp[i]+=，所以每个位置都需要初始化为0。而没有排列的时候，dp[0]=1。
填表顺序
根据状态转移方程，推导i位置状态需要用到i-j位置的状态，所以i的变化需要从小到大。
返回值
状态表示为，定义dp[i]元素和为i的所有排列方法数。
结合题目意思，我们需要返回dp[target]
代码实现
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
vector<double>dp(target+1);
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=target;i++){
for(auto j:nums){
if(j<=i){
dp[i]+=dp[i-j];
}
}
}
return dp[target];
}
};96. 不同的二叉搜索树 - 力扣（LeetCode）
题目解析
状态表示
定义dp[i]表示节点数为i，组成的二叉搜索树种类数。
状态转移方程
-
当节点数至少为3时，假设j作为根节点。 此时左边是1~(j-1)，一共有（j-1）-1+1=j-1 个数， 右边是（j+1）~i，一共有i-（j+1）+1=i-j 个数，
状态转移方程为，
for(int j=1;j<=i;j++){ dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j]; } -
当节点数为2时， dp[2]=2。
-
当节点数为1时， dp[1]=1。
-
当节点数为0时， dp[0]=1。此时表示没有节点，二叉搜索树的种类数，空也算是一种。表示左孩子为0时，种类数为右孩子种类数乘以1，或者右孩子为0时，种类数为左孩子种类数乘以1。
初始化
根据状态转移方程，dp[i]+=，所以每个状态先初始化为0。
填表顺序
根据状态转移方程，推导i位置状态时需要用到j-1，和i-j位置的状态，所以i的变化需要从小到大。
返回值
状态表示为，定义dp[i]表示节点数为i，组成的二叉搜索树种类数。
结合题目意思，我们需要返回dp[n]
代码实现
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int>dp(n+1);
if(n==0||n==1) return 1;
else if(n==2) return 2;
dp[0]=1;
dp[1]=1;
dp[2]=2;
for(int i=3;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
}
}
return dp[n];
}
};结尾
今天我们学习了动态规划的思想，动态规划思想和数学归纳法思想有一些类似，动态规划在模拟数学归纳法的过程，已知一个最简单的基础解，通过得到前项与后项的推导关系，由这个最简单的基础解，我们可以一步一步推导出我们希望得到的那个解，把我们得到的解依次存放在dp数组中，dp数组中对应的状态，就像是数列里面的每一项。最后感谢您阅读我的文章，对于动态规划系列，我会一直更新，如果您觉得内容有帮助，可以点赞加关注，以快速阅读最新文章。
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