概率大揭秘：深度复习概率论，事半功倍的学霸秘籍！

第一章   概率论的基本概念

一、事件及其关系与运算  

 1、样本空间、样本点、随机事件、必然事件、不可 能事件、基本事件和复合事件的概念；

 2、事件的包含与相等：若事件A包含事件B，则B的发生必然导致A的发生。进而有P(AB)=P(B)，P(AUB)=P(A)    

3、和事件：A、B至少有一个发生的事件，即AUB    

4、积事件：A、B同时发生的事件，即AB    

5、互斥事件：A、B不能同时发生的事件，即满足AB=φ，也称互不相容事件。

 6、对立事件：满足条件AB=Φ而且A∪B=S，A的对立事件 用 A ̅  表示，A ̅  =S-A；对立事件一定是互不相容事件。    

7、差事件：A发生B不发生的事件称为A与B的差事件，表示为A-B或    

8、常用运算式：

二、事件的概率及其计算      

1、概率的公理化定义，规定了概率要满足的三 个条件：

（1）P(A)≥0，即非负性；

（2）P(S)=1，即规范性；

（3）两两互不相容事件的和的概率等于事件 的概率之和，即概率的可加性。

2、概率的性质

（1）对于任一事件A，有P(A ̅  )=1-P(A);

（2）P(Φ)=0;

（3）若B包含A，则有P(B-A)=P(B)-P(A)，而 且P(B)≥P(A)；

（4）对任一事件A，有P(A)≤1；

（5）对任意两个事件A、B有  P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)， 该式称为概率的加法公式。

（6）【概率减法公式】P(A-B)=P(A)-P(AB)

当B⊂A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B)。

 3、古典概率计算：P(A)=K/N=事件A包含的样本点数/样本空间S包含的样本点数

 4、条件概率的定义： 当P(B)>0时，有P(A/B)=P(AB)/P(B)

 5、乘法定理： 计算事件之积的概率公式 设P(A)>0，则有P(AB)=P(A)P(B/A)

 6、全概率公式：设S为试验E的样本空间，B1，B2，···Bn为S的一个划分，A为E的事件，且            P(Bi)>0(i=1,2,3···n)，则有    

7、贝叶斯公式：实质为一条件概率

设S为试验E的样本空间，B1，B2，···Bn为S的一个划分，A为E的事件，且P(Bi)>0(i=1,2,3···n)，P(A)>0，则有  

满足全概率公式和贝叶斯公式的前提是“完备事件群”。 
满足 ：BiBj=∅(i≠j)B1+B2+⋯=Ω

这样的一组事件称为一个“完备事件群”。简而言之，就是事件之间两两互斥，所有事件的并集是整个样本空间（必然事件）。

三、事件的独立性

1、独立性的定义：设A、B为两事件，如果有P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A和事件B相互独立。

2、推论

（1）若A与B独立，则有A ̅  与B，A与B ̅  ，A ̅  与B ̅  也相互独立；

（2）若A、B互斥，且P(A)>0，P(B)>0，则A与B不独立；

（3）若A、B独立，且P(A)>0，P(B)>0，则A与B不互斥；

（4）样本空间中，S与Φ既独立又互斥；

（5）Φ与任何事件都独立且互斥。

第二章 随机变量及其分布

一、随机变量的定义

设E的样本空间为S={e}，X=X{e}是定 义在样本空间上的实值单值函数，称X=X{e}为随机变量， 记为R.V。R.V一般用大写的字母X、Y、Z等表示，而小 写的x、y、z用来表示R.V所取的值。

二、离散型随机变量   

 1、离散型R.V的定义：R.V的全部可能取值是有限个 或可列无限多个。   

 2、离散型R.V的分布律：P{X=xk}=pk，k=1,2,3···     

3、分布律的性质：pk≥0，

三、三种重要的离散型随机变量的分布律

1、（0—1）分布，记为X～(0，1)     

，其中k=0,1，0<p<1。

2、二项分布，记为X～B(n,p)

（1）伯努利试验：试验E只有两种可能的结果，A和A ̅  。 令A发生的概率为p。

（2）n重伯努利试验：将试验E独立地重复进行n次。

（3）定义R.V X为N重伯努利试验中A发生的次数，则有   

3、泊松分布，记为X～π(λ)

（1）泊松分布的定义：，k=0,1,2···

（2）泊松定理：当二项分布中n很大，p很小时，可以用泊松分布来近似二项分布，泊松分布中的 参数λ=np。

  四、R.V的分布函数     

1、分布函数的定义：F(x)=P{X≤x}，其中X是随机变量，x是实数参变量.

由定义可P{a<X≤b}=F(b)-F(a)             

2、分布函数的性质：F（x）是一个不减函数，0≤F(x)≤1，F（x）右连续。

五、连续性随机变量

1、，其中f(x)为随机变量X的概率密度 函数。

2、概率密度的性质：f(x)≥0，，，

若f(x)在x处连续，则有f(x)=F′(x).

3、连续型随机变量X取任一指定值的概率为0，即  P{X=a}=0，其中a为任意实数。

4、对于连续性随机变量X，有P{a≤X≤b}=P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}.

六、三种重要的连续性随机变量

1、均匀分布，记为X～U（a,b），概率密度为 

2、指数分布，记为X～E(θ),概率密度为

 3、正态分布，也称为高斯分布，记为X～N(ｕ，σ2)

（1）正态分布的概率密度，-∞<x<∞， 其中u可取任意实数,σ取大于0的实数。

（2）正态曲线关于x=u对称。

（3）当x=u时，f(x)取到最大值，即f(u)=1/σ√2π。

（4）u决定了正态曲线的中心位置，称为位置参数；σ 决定了正态曲线的中峰陡峭程度，称为尺度参数。

（5）标准正态分布：            

 u=0，σ=1的正态分布称为标准正态分布， 即X～N(0，1).

（6）标准正态分布的密度函数为 标准正态分布的分布函数为

φ(x)可通过标准正态分布函数表查表得到。

（7）正态分布转化为标准正态分布的方法（必会）： 因此有F（x）=P（X≤x）=φ（x−u/σ）； P（x1<X≤x2）=φ（x_1−u/σ）-φ（x_2−u/σ）

（8）上α分位点：设X～N(0，1),若z_α满足条件  P{X>zα}=α,0<α<1，则称z_α为标准正态分布的上α 分位点。

七、随机变量的函数的分布    

1、离散型随机变量函数的分布 若X的分布律为，

则Y=g(X)的分布律为 ，

若g(xk)中有一些取值相同，则把它们的概率相加。

 2、连续型随机变量的函数的分布    

问题的提法：已知X的概率密度为f(x)，求Y=g(X)概率密度。    

做法1（针对g(X)为严格单调时）：设Y的分布函数为FY(y)，则有FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤h(y)}=FX(h(y))， 其中h(y)为y=g(x)的反函数。然后FY(y)对y求导，即得 Y的概率密度f(y)。    

定理：若函数g(x)处处可导且g(x)的倒数恒大与0或恒小于0，则有以下结论：               f(y)=fX[h(y)]|h/(y)|，其中h(y)为y=g(x)的反函数。

做法2（分布函数法）【必会】连续型随机变量函数的分布的求法，通常是采用分布函数的定义的方法。我们将分布函数变形，将它化成关于 的分布函数，然后对 y 求导，就得到了 Y 的概率密度。

第三章 多维随机变量及其分布

一、二维随机变量的定义        

设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X{e}和Y=Y{e}是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)称为二维随机变量。

二、二维R.V的分布函数        

1、定义：F（x,y）=P{X≤x,Y≤y}，也称为联合分布函数。           

 P{a<X≤b,c<Y≤d}=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)      

2、性质        

（1）F（x,y）是变量x和y的不减函数。

（2）0≤F（x,y）≤1，F(-∞,y)=0，F(x,-∞)=0，F(-∞,-∞)=0，F(∞,∞)=1        

（3）F（x,y）关于x和y右连续

三、离散型二维随机变量      

1、定义：二维R.V的所有可能取值是有限对或可 列无限多对。      

2、分布律：P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,3······也称联合分布律

四、连续型二维随机变量      

1、定义：存在非负函数f(x,y)，有， 其中f(x,y)称为二维随机变量（X,Y）的概率密度。

2、二维概率密度函数f(x,y)的性质

（1）f(x,y)≥0

（2）【必知】

（3）若f(x,y)在（x,y）处连续，则有

（4）设G是xoy平面上的一个区域，点（X,Y）落 在区域G内的概率为 ，积分区域为G。

五、边缘分布

1、边缘分布函数：已知联合分布函数F（x,y）

X的边缘分布函数为：FX(x)=P{X≤x}=P{ X≤x,Y≤∞}=F(x,∞)      

 Y的边缘分布函数为：FY(y)=P{Y≤y}=P{ X≤∞,Y≤y}=F(∞,y)

2、离散型二维R.V的边缘分布律：已知联合分布律pij X的边缘分布律为：     

Y的边缘分布律为：

3、连续型二维R.V的边缘概率密度：已知联合概率密度f(x,y)   【必会】 

X的边缘概率密度为：

Y的边缘概率密度为：

六、条件分布  

1、离散型R.V的条件分布分布律  

（1） 若P{Y=yi}>0，则在Y=yi 条件下X的条件分布律为

P{ X=xi| Y=yi}= P{X=xi,Y=yj}/ P{Y=yi}=pij/p.j，i=1,2···  

（2）若P{X=xi}>0，则在X=xi 条件下Y的条件分布律为

P{ Y=yi | X=xi }= P{X=xi,Y=yj}/ P{ X=xi }=pij/ pi.，j=1,2···  

2、连续型R.V的条件概率密度    

（1）若fY（y）>0，在Y=y条件下X的条件概率密度为    

（2）若fX（x）>0，在X=x条件下Y的条件概率密度为  

（3）综合来说，条件分布=联合分布/边缘分布

3、二维R.V的均匀分布的定义

设G是平面上的有界区域，其面积为A，若其联合概率密度为 ，

则称（X,Y）在G上服从均匀分布。

七、相互独立的随机变量  

1、定义：设F（x,y）及FX(x)、FY(y)分别是二维R.V(X,Y)的联合分布函数和边缘分布函数，若对于所有的x,y，有    

 F（x,y）= FX(x)·FY(y)，则称R.V X和Y是相互独立的。

 2、对于连续型随机变量，有f（x,y）= fX(x)·fY(y)

 3、对于离散型随机变量，有P{X=xi,Y=yj}= P{X=xi}·P{Y=yi}  

4、二维正态随机变量：       

 两个边缘分布为          

当ρ=0时，X和Y相互独立；若X和Y相互独立，则ρ=0.

八、两个随机变量函数的分布

1、Z=X+Y的分布 已知（X,Y）的联合概率密度为f(x,y)，则Z的概率密度为 ；

若X和Y相互独立，则Z的概率密度为

；

2、关于随机变量之和的分布的几个结论

（1）设X和Y相互独立，且X～N(ｕ1, σ12)，Y～N（ｕ2，σ22），则Z=X+Y仍服从正态分布， 且.

（2）若Xi～N(ｕi, σi2)，i=1,2···且它们相互独立，则它们的和服从正态分布，

且有

（3）设X和Y相互独立，且X～π(λ1)，Y～π(λ2)，则Z=X+Y～π(λ1+λ2).

（4）设X和Y相互独立，且X～b(n,p)，Y～b(n,p)，则 Z=X+Y～b(2n,p)

3、M=max(X,Y)和N=min(X,Y)的分布函数            

（1） 设X、Y相互独立，其分布函数分别为FX(x)、FY(y)，则【必知】

上述结论可以推广到n个相互独立的随机变量的情况。      

 （2）若 相互独立且均服从参数为θ的指数分布，定义，则Z服从参数为θ/n 的指数分布。

第四章 随机变量的数字特征

一、随机变量的数学期望的定义

1、离散型随机变量X，其分布律为P{X=xk}=pk，k=1,2,3···若级数绝对收敛，则称该级数的和为R.V X的数学期望，记为。

2、连续型随机变量X，其概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称该积分值为随机变量X的数学期望，记为。【必知】

二、随机变量的函数的数学期望

设Y为随机变量X的函数，Y=g(X)，其中g是连续函数    

1、已知离散型随机变量X，其分布律为P{X=xk}=pk， k=1,2,3···则Y的数学期望为

2、已知连续型随机变量X，其概率密度为f(x)，则Y的数学期望为

结论：不必知道Y的概率分布，可以通过X的概率分布求Y的 数学期望。

以上结论可以推广到求取二维随机变量的函数的数学期望， 已知条件为二维随机变量的联合概率分布。

三、数学期望的重要性质

1、设C是常数，则有E(C)=C。

2、设X是随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X).

3、设X、Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).

4、设X、Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y).          

第3、4条性质可以推广到n个随机变量。

四、随机变量的方差

1、方差的定义：设X是R.V，若E{[X-E(X)]2}存在，则称其 为X的方差，记为D(X)，即D(X)=E{[X-E(X)]2}。

2、方差的意义：方差表示随机变量X的取值与其数学期望E(X)的偏离程度。

3、方差的计算：由方差的定义可知，方差实质为一数学期 望，是随机变量的函数[X-E(X)]2的数学期望。

（1）离散情况：

（2）连续情况：

（3）计算方差的重要公式：D(X)=E(X2)-[E(X)]2【必会】

五、标准化随机变量的定义        

设R.V X的E(X)=ｕ，D(X)=σ2≠0，记X*=（X-ｕ）/σ，则称X*为X的标准化的随机变量。且E(X*)=0，D(X*)=1。

六、方差的性质

1、设C为常数，则D(C)=0。

2、设X是R.V，C是常数，则有【必知】

3、设X、Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

4、若X、Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)，此结论可以推广到n 个相互独立的随机变量的情况。

5、D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C，且C=E(X)。

七、六种重要的随机变量的数学期望和方差    

1、X～(0-1)，X=1的概率为p，则有E(X)=p，D(X)=p(1-p)    

2、X～B(n,p)，则有E(X)=np，D(X)=np(1-p)    

3、X～π(λ)，则有E(X)=λ，D(X)=λ    

4、X～U(a,b)，则有E(X)=(a+b)/2，

5、X～E(θ)，则有E(X)=θ， 

6、X～N(ｕ,σ2)，则有E(X)=ｕ,

八、切比雪夫不等式 【必会】   

定理：设随机变量X具有数学期望E(X)= ｕ，D(X)=σ2，则对于任意正数ε，不等式                     成立，该不等式称为切比雪夫不等式。    

切比雪夫不等式的另一种形式：

九、协方差及相关系数    

1、X、Y的协方差的定义：Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}    

2、X、Y的相关系数的定义：ρXY= Cov(X,Y)/√D(X)D(Y)    

3、跟协方差及相关系数有关的计算公式：

（1）D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)；D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)

（2）Cov(X,Y)= ρXY√D(X)D(Y)

（3）Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)【必会】

（4）Cov(X,X)=E(X2)-E(X)E(X)=D(X)

 4、协方差的性质    

（1）Cov(X,Y)= Cov(Y,X)    

（2）若a，b为常数，则Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)    

（3）Cov（X1+X2，Y）= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)  

5、相关系数的性质      

（1）|ρXY|≤1    

（2）|ρXY|=1的充要条件是：存在常数a，b，使 P{Y=a+bX}=1

 6、不相关的定义及性质      

（1）不相关的定义：如果ρXY=0，则称X和Y不相关      

（2）以下4条说法和不相关等价                    

①ρXY=0；                  ②Cov(X,Y)=0；                    

③E(XY)=E(X)E(Y)；④D(X+Y)=D(X)+D(Y)。      

（3）若X和Y相互独立，则X和Y不相关；反之不成立。  

 7、 二维正态分布X和Y不相关的充要条件为：ρ=0；              

结合二维正态分布X和Y相互独立的条件可知，              

二维正态分布X和Y不相关和独立是等价的，充 要条件均为ρ=0。

十、矩的概念  

1、X的k阶原点矩：E(Xk)，K=1,2,3······  

2、X的k阶中心距：E{[X-E(X)]k}，k=2,3······    

3、X和Y的k+l阶混合矩：E[XkYl]，k,l=1,2,3······  

4、X和Y的k+l阶混合中心矩：E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}，k,l=1,2,3······    

由矩的概念知，E(X)为X的一阶原点矩；D(X)为X的二阶中心矩；

Cov(X,Y)为X、Y的二阶混合中心矩。

十一、n维正态随机变量的性质

1、n维正态随机变量（X1，X2···Xn）的每一个分量Xi(i=1,2···n)都是正态随机变量；

反之，若X1，X2···Xn是相互独立的正态随机变量， 则（X1，X2···Xn）是n维正态随机变量。

2、n维随机变量（X1，X2···Xn）服从n维正态分布的条件是X1，X2···Xn的任意线性组合服从一维正态分布。

第五章 大数定律及中心极限定理

一、定理一：切比雪夫定理的特殊情况

设随机变量X1，X2···Xn···相互独立，且具有相同的数学期望和方差：，

做前n个随机变量的算术平均值，则对于任意的ε>0，有

实际意义：用n很大时的Yn来估计ｕ的值。

二、定理二：伯努利定理

设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是 事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的ε>0，有

实际意义：以严格的数学形式证明了频率的稳定性，从而可以用n很大时的频率来代替概率。

三、定理三：辛钦大数定理

设随机变量X1，X2···Xn···相互独立，服从同一分布且具有数学期望E(Xk)=u，则对于任意的ε>0，有

四、依概率收敛的定义

设X1，X2···Xn···是一个随机变量序列，a是一个常数，若 对于任意的ε>0，有

则称序列X1，X2···Xn···依概率收敛于a。记为

五、中心极限定理

1、定义：把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫 作中心极限定理。

2、独立同分布的中心极限定理： 设随机变量X1，X2···Xn···相互独立，服从同一分布 且具有数学期望，

定义随机 变量，则有，从而有

3、李雅普诺夫定理：

设随机变量X1，X2···Xn···相互独立，具有数学期望 和方差：，定义随机变量 ，则有，从而有

4、棣莫佛-拉普拉斯定理：

设随机变量Xn～B(n,p)，定义随机变量，则有，从而有

设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立，且服从相同的分布，他们的数学期望和方差均为µ和σ²(>0)。记:【理解清楚】

则有

 其中φ(z)是标准正态分布的分布函数。

独立同分布变量的和，近似服从于正态分布，期望和方差不变

第六章 样本及抽样分布

一、随机样本

1、总体：研究对象的某项数量指标的值得全体。一般用随机变量或随机变量的分布函数来表示总体。

2、个体：总体中的每个元素称为个体。

3、抽样：为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息 ，这一抽取过程称为抽样。

4、样本和样本值：抽样得到的个体称为样本，样本所取到的观察值称为样本值。

5、简单随机样本X1，X2···Xn的特点：独立同分布

（1）X1，X2···Xn是相互独立的随机变量；

（2）X1，X2···Xn中的每一个个体与所考察的总体有相同的分布。

二、统计量

1、统计量的定义： 不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。

2、常用统计量： 设X1，X2···Xn是来自总体的样本，则有以下常用统计量

（1）样本均值：

（2）样本方差：

（3）样本标准差：

（4）样本k阶原点矩：

（5）样本k阶中心矩：

三、抽样分布

1、抽样分布的定义：统计量的分布称为抽样分布。

2、常用抽样分布

（1）    分布的定义及性质 （2）t分布的定义 （3）F分布的定义

 3、正态总体的样本均值和样本方差的分布  

（1）样本均值和样本方差的数字特征          

设总体X的均值为ｕ，方差为σ2，X1，X2···Xn是总体X的 一个样本，则总有        （2）正态总体样本均值的分布          

设X1，X2···Xn是总体N(ｕ,σ2)的一个样本，则有  

（3）正态总体样本方差的分布 （卡方分布） 【必会】 

设X1，X2···Xn是总体N(ｕ,σ2)的一个样本，则有 a: （主要结论）         

b：样本均值与样本方差相互独立  

（4）与样本均值和样本方差有关的一个分布  （t分布）            

设X1，X2···Xn是总体N(ｕ,σ2)的一个样本，则有

（5）F分布
F分布是由两个卡方分布与其自由度比值的比值确定的分布，记作

必背公式：

第七章 参数估计

一、点估计

1、点估计问题        

设总体X的分布函数为F(x;θ)，θ为待估计的参数。X1，X2···Xn是总体X的一个样本，x1，x2，···xn是相应的一个样本值。点估计问题就是构造一个适当的统计量  ，用它的观察值来估计参数θ。统计量称为估计量，观察值称为估计值。 

2、矩估计法        

理论依据：样本矩Ak依概率收敛于相应的总体矩ｕk          

具体做法：令Ak=ｕk，有几个未知参数就列几个等式，求解方程或方程组即可得到未知参数的矩估计量，代入样本值，即可得到相应的矩估计值。

求解：求出期望，令其=x的绝对值，求得未知参数的^

3、最大似然估计法

对于离散总体，已知其分布律；对于连续总体，已知其概率密度。

由总体的分布律或概率密度写出样本似然函数L(θ)

求样本似然函数的最大值，最大值所对应的θ即为参数θ的最大似然估计值

最大似然估计的性质：设θ的函数ｕ=ｕ（θ）具有单值反函数     θ=θ（ｕ），

若 是θ的最大似然估计，则是ｕ（θ）的 最大似然估计。  

求解：对L(θ)取对数，两边分别对θ求导，令其为0，求得

二、估计量的评选标准

1、无偏性：如果，则称是θ的无偏估计量。              

结论：Ak是ｕk的无偏估计；样本均值是总体均值的无偏估计；样本方差是总体方差的无偏估计。

无偏估计量：若a为b的无偏估计量，则E(a)=b;

2、有效性（可能考的机率小）：

设和是θ的无偏估计，若有 ，则称比有效。

3、相合性（几乎不考）：

设 （X1，X2…Xn）是θ的估计量，当n趋于 无穷大时，若（X1，X2…Xn）依概率收敛于θ，则称  （X1，X2…Xn）为θ的相合估计量。

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