数学建模——排队论(一）
基本概念
排队论是一门研究排队系统的概率学科，主要研究顾客到达、等待和服务的规律性，以及如何优化排队系统的性能。排队论模型是排队论研究的基础，它可以用来描述和分析排队系统的运行过程和性能指标。常见的排队论模型有 M/M/N/N 模型、M/D/1/K 模型、M/G/1 模型等。这些模型可以用来分析和优化排队系统的性能，评估系统的服务质量，确定系统的优参数，并研究其改进的措施。它研究的内容有三部分：
- 形态问题：各种排队系统的概率规律性，如队长分布、等待时间分布、忙期分布等；
- 优化问题：分静态最优 (最优设计) 和动态最优 (最优运营)；
- 排队系统的统计推断：判断一个给定的排队系统符合于哪种模型。
整体流程
- 图中虚线所包含的部分为排队系统。各个顾客从顾客源出发，随机地来到服务机构，按 一定的排队规则等待服务，直到按一定的服务规则接受完服务后离开排队系统。
- 凡要求服务的对象统称为顾客，为顾客服务的人或物称为服务员，由顾客和服务员组成服务系统。
- 顾客希望服务机构越多越好，以避免产生拥挤现象；但是，如果服务机构过大，人力和物力方面的开支也就相应增加。因此研究排队模型的目的就是要在顾客需要和服务机构的规模之间进行权衡决策，使其达到合理的平衡。
基本组成
一般的排队过程都由输入过程、排队规则、服务过程三部分组成。
输入过程
- 顾客总体（顾客源）数量：有限/无限
- 顾客到来的方式：单个/成批
- 顾客到达过程：相关/不相关
- 输入过程：平稳/非平稳（数学期望、方差等与时间有关）
排队规则
排队规则指到达排队系统的顾客按怎样的规则排队等待，可分为损失制，等待制和 混合制三种。
-
损失制（消失制）。当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客随即离去。
-
等待制。当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客就排队等待，直到接受完服务才离去。
-
混合制。介于损失制和等待制之间的是混合制，即既有等待又有损失。有 队列长度有限和排队等待时间有限两种情况，在限度以内就排队等待，超过一定限度就离去。
排队方式还分为单列、多列和循环队列。
服务过程
服务机构
主要有以下几种类型：单服务台；多服务台并联（每个服务台同 时为不同顾客服务）；多服务台串联（多服务台依次为同一顾客服务）；混合型。
服务规则
按为顾客服务的次序采用以下几种规则：
-
先到先服务，这是通常的情形。
-
后到先服务，如情报系统中，最后到的情报信息往往最有价值，因而常被优先处 理。
-
随机服务，服务台从等待的顾客中随机地取其一进行服务，而不管到达的先后。
-
优先服务，如医疗系统对病情严重的病人给予优先治疗。
表示方法
数量指标
-
队长： L s L_s Ls
排队系统中的顾客数（n）期望值记为 L s L_s Ls（排队中以及服务中）
-
排队长: L q L_q Lq
排队系统中排队等待服务的顾客数，期望值为 L q L_q Lq
-
逗留时间: W s W_s Ws
一个顾客在系统中停留的总时间，期望为 W s W_s Ws
-
等待时间: W q W_q Wq
一个顾客在系统中的排队等待时间，期望为 W q W_q Wq
于是有: W s = W q + W 服务 W_s=W_q+W_{服务} Ws=Wq+W服务
-
忙期:从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空闲的时间长度
-
忙期服务量:一个忙期内系统平均完成服务的顾客数
-
损失率：顾客到达排队系统，未接受服务而离开的概率
-
服务强度：
λ 指单位时间到达排队系统的人数， s指服务台的数量，μ 指单位时间能够服务的顾客数
ρ = λ / μ s \rho=\lambda/{\mu s} ρ=λ/μs
- 稳态顾客数： P n P_n Pn ,表示当稳定时有 n n n 位顾客的概率。
符号表示
排队模型用六个符号表示，在符号之间用斜线隔开，即 X /Y / Z / A/ B /C 。
- 第一个符号 X 表示顾客到达流或顾客到达间隔时间的分布；
- 第二个符号Y 表示服务时间的 分布；
- 第三个符号 Z 表示服务台数目；
- 第四个符号 A 是系统容量限制；
- 第五个符号 B 是 顾客源数目；
- 第六个符号C 是服务规则;
表示顾客到达间隔时间和服务时间的分布的约定符号为：
-
M — 指数分布（ M 是 Markov 的字头，因为指数分布具有无记忆性，即 Markov 性）；
-
D — 确定型（Deterministic）；
-
Ek — k 阶爱尔朗(Erlang)分布；
-
G — 一般（general）服务时间的分布；
-
GI — 一般相互独立（General Independent）的时间间隔的分布。
例如， M / M /1表示相继到达间隔时间为指数分布、服务时间为指数分布、单服 务台、等待制系统。
D / M / c 表示确定的到达时间、服务时间为指数分布、 c 个平行 服务台（但顾客是一队）的模型。
排队系统的常见分布
泊松分布
设
N
(
t
)
N(t)
N(t) 表示在时间区间
[
0
,
t
)
[0, t)
[0,t) 内到达的顾客数
(
t
>
0
)
(t>0)
(t>0), 令
P
n
(
t
1
,
t
2
)
P_n\left(t_1, t_2\right)
Pn(t1,t2) 表示在时间区 间
[
t
1
,
t
2
)
(
t
2
>
t
1
)
\left[t_1, t_2\right)\left(t_2>t_1\right)
[t1,t2)(t2>t1) 内有
n
(
≥
0
)
n(\geq 0)
n(≥0) 个顾客到达的概率, 即
P
n
(
t
1
,
t
2
)
=
P
{
N
(
t
2
)
−
N
(
t
1
)
=
n
}
(
t
2
>
t
1
,
n
≥
0
)
P_n\left(t_1, t_2\right)=P\left\{N\left(t_2\right)-N\left(t_1\right)=n\right\} \quad\left(t_2>t_1, n \geq 0\right)
Pn(t1,t2)=P{N(t2)−N(t1)=n}(t2>t1,n≥0)
当
P
n
(
t
1
,
t
2
)
P_n\left(t_1, t_2\right)
Pn(t1,t2) 合于下列三个条件时, 我们说顾客的到达形成泊松流。这三个条件是:
1
∘
1^{\circ}
1∘ 在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的, 我们称这性质为无后效性。
2
∘
2^{\circ}
2∘ 对充分小的
Δ
t
\Delta t
Δt, 在时间区间
[
t
,
t
+
Δ
t
)
[t, t+\Delta t)
[t,t+Δt) 内有一个顾客到达的概率与
t
t
t 无关, 而约与区间长
Δ
t
\Delta t
Δt 成正比, 即
P
1
(
t
,
t
+
Δ
t
)
=
λ
Δ
t
+
o
(
Δ
t
)
P_1(t, t+\Delta t)=\lambda \Delta t+o(\Delta t)
P1(t,t+Δt)=λΔt+o(Δt)
其中
o
(
Δ
t
)
o(\Delta t)
o(Δt), 当
Δ
t
→
0
\Delta t \rightarrow 0
Δt→0 时, 是关于
Δ
t
\Delta t
Δt 的高阶无穷小。
λ
>
0
\lambda>0
λ>0 是常数, 它表示单位时间 有一个顾客到达的概率, 称为概率强度。
3
∘
3^{\circ}
3∘ 对于充分小的
Δ
t
\Delta t
Δt, 在时间区间
[
t
,
t
+
Δ
t
)
[t, t+\Delta t)
[t,t+Δt) 内有两个或两个以上顾客到达的概率 极小, 以致可以忽略, 即
∑
n
=
2
∞
P
n
(
t
,
t
+
Δ
t
)
=
o
(
Δ
t
)
\sum_{n=2}^{\infty} P_n(t, t+\Delta t)=o(\Delta t)
n=2∑∞Pn(t,t+Δt)=o(Δt)
在上述条件下，我们研究顾客到达数n 的概率分布。
由条件
2
∘
2^{\circ}
2∘, 我们总可以取时间由 0 算起, 并简记
P
n
(
0
,
t
)
=
P
n
(
t
)
P_n(0, t)=P_n(t)
Pn(0,t)=Pn(t) 。
由条件
1
∘
1^{\circ}
1∘ 和
2
∘
2^{\circ}
2∘, 有
P
0
(
t
+
Δ
t
)
=
P
0
(
t
)
P
0
(
Δ
t
)
P
n
(
t
+
Δ
t
)
=
∑
k
=
0
n
P
n
−
k
(
t
)
P
k
(
Δ
t
)
,
n
=
1
,
2
,
⋯
\begin{aligned} & P_0(t+\Delta t)=P_0(t) P_0(\Delta t) \\ & P_n(t+\Delta t)=\sum_{k=0}^n P_{n-k}(t) P_k(\Delta t), \quad n=1,2, \cdots \end{aligned}
P0(t+Δt)=P0(t)P0(Δt)Pn(t+Δt)=k=0∑nPn−k(t)Pk(Δt),n=1,2,⋯
由条件
2
∘
2^{\circ}
2∘ 和
3
∘
3^{\circ}
3∘ 得
P
0
(
Δ
t
)
=
1
−
λ
Δ
t
+
o
(
Δ
t
)
P_0(\Delta t)=1-\lambda \Delta t+o(\Delta t)
P0(Δt)=1−λΔt+o(Δt)
因而有
P
0
(
t
+
Δ
t
)
−
P
0
(
t
)
Δ
t
=
−
λ
P
0
(
t
)
+
o
(
Δ
t
)
Δ
t
,
P
n
(
t
+
Δ
t
)
−
P
n
(
t
)
Δ
t
=
−
λ
P
n
(
t
)
+
λ
P
n
−
1
(
t
)
+
o
(
Δ
t
)
Δ
t
.
\begin{aligned} \frac{P_0(t+\Delta t)-P_0(t)}{\Delta t} & =-\lambda P_0(t)+\frac{o(\Delta t)}{\Delta t}, \\ \frac{P_n(t+\Delta t)-P_n(t)}{\Delta t} & =-\lambda P_n(t)+\lambda P_{n-1}(t)+\frac{o(\Delta t)}{\Delta t} . \end{aligned}
ΔtP0(t+Δt)−P0(t)ΔtPn(t+Δt)−Pn(t)=−λP0(t)+Δto(Δt),=−λPn(t)+λPn−1(t)+Δto(Δt).
在以上两式中, 取
Δ
t
\Delta t
Δt 趋于零的极限, 当假设所涉及的函数可导时, 得到以下微分方程 组:
d
P
0
(
t
)
d
t
=
−
λ
P
0
(
t
)
,
d
P
n
(
t
)
d
t
=
−
λ
P
n
(
t
)
+
λ
P
n
−
1
(
t
)
,
n
=
1
,
2
,
⋯
.
\begin{aligned} & \frac{d P_0(t)}{d t}=-\lambda P_0(t), \\ & \frac{d P_n(t)}{d t}=-\lambda P_n(t)+\lambda P_{n-1}(t), \quad n=1,2, \cdots . \end{aligned}
dtdP0(t)=−λP0(t),dtdPn(t)=−λPn(t)+λPn−1(t),n=1,2,⋯.
取 初 值
P
0
(
0
)
=
1
,
P
n
(
0
)
=
0
(
n
=
1
,
2
,
⋯
)
P_0(0)=1, P_n(0)=0(n=1,2, \cdots)
P0(0)=1,Pn(0)=0(n=1,2,⋯), 容易解出
P
0
(
t
)
=
e
−
λ
t
P_0(t)=e^{-\lambda t}
P0(t)=e−λt; 再 令
P
n
(
t
)
=
U
n
(
t
)
e
−
λ
t
P_n(t)=U_n(t) e^{-\lambda t}
Pn(t)=Un(t)e−λt, 可以得到
U
0
(
t
)
U_0(t)
U0(t) 及其它
U
n
(
t
)
U_n(t)
Un(t) 所满足的微分方程组, 即
d
U
n
(
t
)
d
t
=
λ
U
n
−
1
(
t
)
,
n
=
1
,
2
,
⋯
,
U
0
(
t
)
=
1
,
U
n
(
t
)
=
0.
\begin{aligned} & \frac{d U_n(t)}{d t}=\lambda U_{n-1}(t), \quad n=1,2, \cdots, \\ & U_0(t)=1, \quad U_n(t)=0 . \end{aligned}
dtdUn(t)=λUn−1(t),n=1,2,⋯,U0(t)=1,Un(t)=0.
由此容易解得
P
n
(
t
)
=
(
λ
t
)
n
n
!
e
−
λ
t
,
n
=
1
,
2
,
⋯
P_n(t)=\frac{(\lambda t)^n}{n !} e^{-\lambda t}, \quad n=1,2, \cdots
Pn(t)=n!(λt)ne−λt,n=1,2,⋯
正如在概率论中所学过的, 我们说随机变量
{
N
(
t
)
=
N
(
s
+
t
)
−
N
(
s
)
}
\{N(t)=N(s+t)-N(s)\}
{N(t)=N(s+t)−N(s)} 服从泊松分 布。它的数学期望和方差分别是
E
[
N
(
t
)
]
=
λ
t
;
Var
[
N
(
t
)
]
=
λ
t
。
E[N(t)]=\lambda t ; \operatorname{Var}[N(t)]=\lambda t 。
E[N(t)]=λt;Var[N(t)]=λt。
当输入过程是泊松流时, 那么顾客相继到达的时间间隔
T
T
T 必服从指数分布。这是 由于
P
{
T
>
t
}
=
P
{
[
0
,
t
)
内呼叫次数为零
}
=
P
0
(
t
)
=
e
−
λ
t
P\{T>t\}=P\{[0, t) \text { 内呼叫次数为零 }\}=P_0(t)=e^{-\lambda t}
P{T>t}=P{[0,t) 内呼叫次数为零 }=P0(t)=e−λt
那么, 以
F
(
t
)
F(t)
F(t) 表示
T
T
T 的分布函数, 则有
P
{
T
≤
t
}
=
F
(
t
)
=
{
1
−
e
−
λ
t
,
t
≥
0
0
,
t
<
0
P\{T \leq t\}=F(t)= \begin{cases}1-e^{-\lambda t}, & t \geq 0 \\ 0, & t<0\end{cases}
P{T≤t}=F(t)={1−e−λt,0,t≥0t<0
而分布密度函数为
f
(
t
)
=
λ
e
−
λ
t
,
t
>
0.
f(t)=\lambda e^{-\lambda t}, \quad t>0 .
f(t)=λe−λt,t>0.
对于泊松流,
λ
\lambda
λ 表示单位时间平均到达的顾客数,所以
1
λ
\frac{1}{\lambda}
λ1 就表示相继顾客到达平均间隔时间，而这正和 ET 的意义相符。对一顾客的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间，有时也服从 指数分 布。这时设它的分布函数和密度函数分别是
G
(
t
)
=
1
−
e
−
μ
t
,
g
(
t
)
=
μ
e
−
μ
t
G(t)=1-e^{-\mu t}, \quad g(t)=\mu e^{-\mu t}
G(t)=1−e−μt,g(t)=μe−μt
我们得到
lim
Δ
t
→
0
P
{
T
≤
t
+
Δ
t
∣
T
>
t
}
Δ
t
=
lim
Δ
t
→
0
P
{
t
<
T
≤
t
+
Δ
t
}
Δ
t
P
{
T
>
t
}
=
μ
\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P\{T \leq t+\Delta t \mid T>t\}}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P\{t<T \leq t+\Delta t\}}{\Delta t P\{T>t\}}=\mu
Δt→0limΔtP{T≤t+Δt∣T>t}=Δt→0limΔtP{T>t}P{t<T≤t+Δt}=μ
这表明, 在任何小的时间间隔
[
t
,
t
+
Δ
t
)
[t, t+\Delta t)
[t,t+Δt) 内一个顾客被服务完了（离去）的概率是
μ
Δ
t
+
o
(
Δ
t
)
\mu \Delta t+o(\Delta t)
μΔt+o(Δt) 。
μ
\mu
μ 表示单位时间能被服务完成的顾客数, 称为平均服务率, 而
1
μ
\frac{1}{\mu}
μ1 表示 一个顾客的平均服务时间。
总结：
N
(
t
)
N(t)
N(t) : 在时间
[
0
,
t
]
[0, t]
[0,t] 内到达的顾客数
P
n
(
t
1
,
t
2
)
P_n\left(t_1, t_2\right)
Pn(t1,t2) : 在时间
[
t
1
,
t
2
]
\left[t_1, t_2\right]
[t1,t2] 内有
n
\mathrm{n}
n 个顾客到达的概率
P
n
(
t
1
,
t
2
)
=
P
{
N
(
t
2
)
−
N
(
t
1
)
=
n
}
=
λ
(
t
2
−
t
1
)
n
n
!
e
−
λ
(
t
2
−
t
1
)
P_n\left(t_1, t_2\right)=P\left\{N\left(t_2\right)-N\left(t_1\right)=n\right\}=\frac{\lambda\left(\mathrm{t}_2-\mathrm{t}_1\right)^{\mathrm{n}}}{n !} e^{-\lambda\left(t_2-t_1\right)}
Pn(t1,t2)=P{N(t2)−N(t1)=n}=n!λ(t2−t1)ne−λ(t2−t1)
若满足以下的三个条件，称顾客到达形成参数
λ
\lambda
λ 的泊松流
在 [ t , t + Δ t ] [t, t+\Delta t] [t,t+Δt] 内有:
- 有一个顾客到达的概率为 λ Δ t + o ( Δ t ) \lambda \Delta t+o(\Delta t) λΔt+o(Δt);
- 没有一个顾客到达的概率 1 − λ Δ t + o ( Δ t ) 1-\lambda \Delta t+o(\Delta t) 1−λΔt+o(Δt)
- 多于一个顾客到达的概率为 o ( Δ t ) − − \mathrm{o}(\Delta \mathrm{t})-- o(Δt)−− 表示几乎不可能
即在这个很短的时间内，要么没有顾客来，要么只有一个顾客，多于一个顾客到达的概率几乎为0
负指数分布
当顾客流为泊松流（即满足上述泊松分布的三个条件）时，相邻两个顾客到达的时间间隔 T \mathrm{T} T 满足负指数分布（直接记住）
同理，系统中一个顾客的服务时间
V
\mathrm{V}
V 也满足负指数分布分布函数:
P
(
T
≤
t
)
=
1
−
e
−
λ
t
…
…
相邻两个顾客的到达时间间隔
T
P(T \leq t)=1-e^{-\lambda t} \ldots \ldots \text { 相邻两个顾客的到达时间间隔 } \mathrm{T}
P(T≤t)=1−e−λt…… 相邻两个顾客的到达时间间隔 T
P
(
V
≤
t
)
=
1
−
e
−
μ
t
…
…
个顾客的服务时间
V
P(V \leq t)=1-e^{-\mu t} \ldots \ldots \text { 个顾客的服务时间 } \mathrm{V}
P(V≤t)=1−e−μt…… 个顾客的服务时间 V
期望（均值）：
E
(
T
)
=
1
λ
⋯
⋯
相邻两个顾客的到达时间间隔
T
E(T)=\frac{1}{\lambda} \cdots \cdots 相邻两个顾客的到达时间间隔 \mathrm{T}
E(T)=λ1⋯⋯相邻两个顾客的到达时间间隔T
E
(
V
)
=
1
μ
⋯
⋯
⋯
一个顾客的服务时间
V
E(V)=\frac{1}{\mu} \cdots \cdots \cdots \text {一个顾客的服务时间 } \mathrm{V}
E(V)=μ1⋯⋯⋯一个顾客的服务时间 V
若顾客流满足泊松分布，服务时间服从参数
μ
\mu
μ 的负指数分布，则在时间
[
t
,
t
+
Δ
t
]
[\mathrm{t}, \mathrm{t}+\Delta \mathrm{t}]
[t,t+Δt] 内文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-795235.html
- 有一个顾客被完全服务的概率是 μ Δ t + o ( Δ t ) \mu \Delta t+o(\Delta t) μΔt+o(Δt);
- 没有一个顾客被完全服务的概率是 1 − λ Δ t + o ( Δ t ) 1-\lambda \Delta t+o(\Delta t) 1−λΔt+o(Δt);
- 多于一个顾客被完全服务的概率是 o ( Δ t ) \mathrm{o}(\Delta \mathrm{t}) o(Δt);
埃尔朗分布——多服务台
记
k
\mathrm{k}
k 个顾客到达系统的时间间隔为
v
1
,
v
2
,
…
,
v
k
v_1, v_2, \ldots, v_k
v1,v2,…,vk, 独立服从于参数为
k
μ
\mathrm{k} \mu
kμ 的负指数分布 则
T
=
∑
i
=
1
k
v
k
T=\sum_{i=1}^k v_k
T=∑i=1kvk
服从
k
\mathrm{k}
k 阶埃尔朗分布
f
k
(
t
)
=
μ
k
(
μ
k
t
)
k
−
1
(
k
−
1
)
!
e
−
μ
k
t
E
(
T
)
=
1
μ
D
(
T
)
=
1
k
μ
2
\begin{aligned} & f_k(t)=\frac{\mu k(\mu k t)^{k-1}}{(k-1) !} e^{-\mu k t} \\ & E(T)=\frac{1}{\mu} \\ & D(T)=\frac{1}{k \mu^2} \\ & \end{aligned}
fk(t)=(k−1)!μk(μkt)k−1e−μktE(T)=μ1D(T)=kμ21文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-795235.html
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