图的基础理论及networkx简介
图的基本概念
- 无向图和有向图
- 简单图和完全图：重边、环、孤立点
- 赋权图/网络
- 顶点的度
- 子图与生成子图
- 路与回路、迹、path、圈
- 连通图与非连通图
图的表示及Networkx简介
图的表示
考虑简单图
-
关联矩阵表示
-
邻接矩阵表示
对于赋权图而言，邻接矩阵中的数值改为对应边的权值就得到对应的无向/有向赋权图
NetworkX简介
python语言
图论与复杂网络建模工具
内置常用图与复杂网络分析算法
绘图布局
图形布局共五种
- circular_layout：顶点在一个圆环上均匀分布；
- random_layout：顶点随机分布；
- shell_layout：顶点在同心圆上分布；
- spring_layout： 用Fruchterman-Reingold算法排列顶点；
- spectral_layout：根据图的拉普拉斯特征向量排列顶点
最短路算法及其Python实现
Dijkstra（迪克斯特拉）标号算法和Floyd（弗洛伊德）算法
Dijkstra标号算法只适用于边权是非负的情形
最短路问题也可以归结为一个0-1整数规划模型
固定起点到其余各点的最短路算法
Dijkstra（迪克斯特拉）标号算法
赋权图
G
(
V
,
E
,
W
)
G(V,E,W)
G(V,E,W)，其中顶点集
V
=
{
v
1
,
.
.
.
,
v
n
}
V=\{v_1, ..., v_n\}
V={v1,...,vn}， 边集
E
E
E，邻接矩阵
W
=
(
w
i
j
)
n
x
n
W=(w_{ij})_{n x n}
W=(wij)nxn，且
w
i
j
w_{ij}
wij满足
记号确定
d
(
u
0
,
v
0
)
d(u_0, v_0)
d(u0,v0) ：顶点
u
0
u_0
u0到顶点
v
0
v_0
v0的最短距离
l
(
v
)
l(v)
l(v)：起点
u
0
u_0
u0到
v
v
v的当前路长度
z
(
v
)
z(v)
z(v)：顶点
v
v
v的父顶点标号
S
i
S_i
Si：具有永久标号的顶点集
每对顶点间的最短路算法
Floyd（弗洛伊德）算法
动态规划算法，递推产生矩阵序列
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
A
k
,
.
.
.
,
A
n
A_1, A_2, ..., A_k, ..., A_n
A1,A2,...,Ak,...,An，矩阵
A
k
=
(
a
k
(
i
,
j
)
)
n
x
n
A_k=(a_k(i,j))nxn
Ak=(ak(i,j))nxn，第
i
i
i行第
j
j
j列元素
a
k
(
i
,
j
)
a_k(i,j)
ak(i,j)表示从顶点
v
i
v_i
vi到顶点
v
j
v_j
vj路径上顶点数不大于
k
k
k的最短路径长度
迭代公式
networkx求所有顶点对之间最短路径的函数为shortest_path(G, source=None, target=None, weight=None, method='dijkstra')，返回值是可迭代类型，其中method可以取值dijkstra，bellman-ford
最短路应用
设备更新问题
转化为最短路问题
赋权有向图
D
=
(
V
,
A
,
W
)
D=(V, A, W)
D=(V,A,W)，顶点集
V
=
{
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
5
}
V=\{v_1, v_2, ..., v_5\}
V={v1,v2,...,v5}，
v
i
v_i
vi（
i
=
1
,
2
,
3
,
4
i=1, 2, 3, 4
i=1,2,3,4）表示第
i
i
i年年初，
v
5
v_5
v5表示第4年年末，A为边集，W为邻接矩阵，
w
i
j
w_{ij}
wij为第
i
i
i年年初到第
j
j
j年年初/第
j
−
1
j-1
j−1年年末所支付的费用，计算公式为
w
i
j
=
p
i
+
∑
i
j
−
1
a
k
−
r
j
w_{ij} = p_i+\sum_i^{j-1}a_k-r_j
wij=pi+i∑j−1ak−rj
说明：
p
i
p_i
pi为第
i
i
i年年初机器的购置费用，
a
k
a_k
ak为第
k
k
k年的机器维护费用，
r
i
r_i
ri为第
i
i
i年末机器的出售价格
根据这个公式计算得到邻接矩阵
W
W
W，并且原问题转化为求解
v
1
v_1
v1到
v
5
v_5
v5的费用最短路
结果
重心问题/选址问题
问题转化：求出各个顶点对之间的最短距离，然后得到某一顶点到其他各个顶点的（最短重量·距离）和最小，这个顶点即为所求
计算结果展示
最小生成树算法及其networkx实现
基本概念
- 树：连通的五圈图
- 树的判定定理：n个顶点m条边的图
- 生成树、最小生成树
最小生成树算法
Kruskal算法和Prim算法
Kruskal算法
贪心，每次选择权值最小的边加入子图T，并保证不形成环，直到子图中包含
n
−
1
n-1
n−1条边为止
Prim算法
使用两个集合
P
P
P和
Q
Q
Q，从任意
p
∈
P
p \in P
p∈P，
v
∈
V
−
P
v \in V-P
v∈V−P，选择最小权值的边
p
v
pv
pv，将
v
v
v加入
P
P
P，
p
v
pv
pv加入Q，直到
P
=
V
P=V
P=V为止
说明：对比Kruskal算法和Prim算法，Kruskal算法是显式地说明了不能在生成子图中出现环，Prim算法则是通过设定选定新边的一个顶点在
P
P
P集合，一个顶点在
V
−
P
V-P
V−P集合这样隐式保证的
NetworkX提供接口T=minimum_spanning_tree(G, weight='weight', algorithm='kruskal')
G为输入图
algorithm的取值有三种字符串：‘kruskal’，‘prim’，或’boruvka’，缺省值为’kruskal’
返回值T为所求得的最小生成树的可迭代对象
示例
最小生成树应用
说明：从这个题看出最小生成树和最短路算法的区别，最短路在找的是各个节点到某个节点的最短，而最小生成树在找的是一条通过全部节点的最短路
结果
匹配问题
问题转化：赋权图
G
=
(
V
,
E
,
W
^
)
G=(V, E, \hat{W})
G=(V,E,W^) ，顶点集
V
=
{
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
10
}
V=\{v_1, v_2, ..., v_{10}\}
V={v1,v2,...,v10}，
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
5
v_1, v_2, ..., v_5
v1,v2,...,v5表示5个人，
v
6
,
v
7
,
v
8
,
v
9
,
v
10
v_6, v_7, v_8, v_9, v_{10}
v6,v7,v8,v9,v10表示5项工作，邻接矩阵
W
^
\hat{W}
W^满足
代码：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-796667.html
import numpy as np
import networkx as nx
from networkx.algorithms.matching import max_weight_matching
a=np.array([[3,5,5,4,1],[2,2,0,2,2],[2,4,4,1,0],
[0,2,2,1,0],[1,2,1,3,3]])
b=np.zeros((10,10)); b[0:5,5:]=a; G=nx.Graph(b)
#返回值为（人员，工作）的集合
s0=max_weight_matching(G)
s=[sorted(w) for w in s0]
L1=[x[0] for x in s]; L1=np.array(L1)+1 #人员编号
L2=[x[1] for x in s]; L2=np.array(L2)-4 #工作编号
c=a[L1-1,L2-1] #提取对应的效益
d=c.sum() #计算总的效益
print("工作分配对应关系为：\n人员编号：",L1)
print("工作编号：", L2); print("总的效益为：",d)
最大流最小费用问题
网络流问题——如何安排使流量最大，即最大流问题，如公路系统中有车辆流、物资调配系统中有物资流、金融系统中有现金流等
基本概念
- 有向图 D ( V , A ) D(V, A) D(V,A)、源点 v s v_s vs、汇点 v t v_t vt、弧容量 c ( v i , v j ) ≥ 0 c(v_i, v_j) \geq 0 c(vi,vj)≥0 、网络流 f ( v i , v j ) f(v_i, v_j) f(vi,vj)
- 可行流的条件
- 增广路
最大流问题可写为这样一个线性规划问题
Ford-Fulkerson算法寻求最大流
使用NetworkX求解网络最大流
最小费用流问题
标号说明
f
i
j
f_{ij}
fij为弧
(
v
i
,
v
j
)
(v_i, v_j)
(vi,vj)上的流量，
b
i
j
b_{ij}
bij为弧
(
v
i
,
v
j
)
(v_i, v_j)
(vi,vj)上的单位费用，
c
i
j
c_{ij}
cij为弧
(
v
i
,
v
j
)
(v_i, v_j)
(vi,vj)上的容量，问题转化为下面的线性规划问题
当
v
=
v
m
a
x
v=v_{max}
v=vmax时，问题有解；当
v
>
v
m
a
x
v > v_{max}
v>vmax时，问题无解
使用NetworkX求解问题
代码：
import numpy as np
import networkx as nx
L=[(1,2,5,3),(1,3,3,6),(2,4,2,8),(3,2,1,2),(3,5,4,2),
(4,3,1,1),(4,5,3,4),(4,6,2,10),(5,6,5,2)]
G=nx.DiGraph()
for k in range(len(L)):
G.add_edge(L[k][0]-1,L[k][1]-1, capacity=L[k][2], weight=L[k][3])
mincostFlow=nx.max_flow_min_cost(G,0,5)
print("所求流为：",mincostFlow)
mincost=nx.cost_of_flow(G, mincostFlow)
print("最小费用为：", mincost)
flow_mat=np.zeros((6,6),dtype=int)
for i,adj in mincostFlow.items():
for j,f in adj.items():
flow_mat[i,j]=f
print("最小费用最大流的邻接矩阵为：\n",flow_mat)
PageRank算法
引文分析思想
当网页甲有一个链接指向网页乙，就认为乙获得了甲对它贡献的分值，该值的多少取决于网页甲本身的重要程度，即网页甲的重要性越大，网页乙获得的贡献值就越高。
由于网络中网页链接的相互指向，pagerank分值计算为一个迭代过程，最终网页根据所得分值进行排序
假设
我们在上网时浏览页面并选择下一个页面的过程，与过去浏览过哪些页面无关，而仅依赖于当前所在的页面。
这一选择过程可以认为是一个有限状态、离散时间的随机过程，其状态转移规律用Markov链描述
说明：
a
i
j
a_{ij}
aij表示从页面
i
i
i转移到页面
j
j
j的概率，
1
−
d
N
\frac{1-d}{N}
N1−d为随机跳转时到页面
j
j
j的概率，
d
b
i
j
r
i
d \frac{b_{ij}}{r_i}
dribij为根据连接进行跳转到页面
j
j
j的概率
再根据正则Markov的平稳分布，得到各个网页被访问的概率分布，这个概率就被定义为各个网页的PageRank值
使用NetworkX求解
复杂网络简介
重点关注复杂网络的统计性质，并使用NetworkX计算
复杂网络概况
复杂网络：具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络
特征：结构复杂、网络进化、连接多样性、动力学复杂性、节点多样性
研究内容：网络的几何性质，网络的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模型性质，以及网络的结构稳定性，网络的演化动力学机制等问题
基本测度：度（degree）及其分布特征，度的相关性，集聚程度及其分布特征，最短距离及其分布特征，介数(betweenness)及其分布特征，连通集团的规模分布
- 节点的度和度分布：度分布一般用直方图展示， A 2 A^2 A2的对角元素 a i i 2 a_{ii}^2 aii2即为节点 v i v_i vi的度，平均度 < k > = t r ( A 2 ) / N <k> = tr(A^2)/N <k>=tr(A2)/N
- 平均路径长度，网络直径
- 聚类系数
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-796667.html
代码：
import numpy as np
import networkx as nx
L=[(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),
(4,5),(4,6)]
G=nx.Graph() #构造无向图
G.add_nodes_from(range(1,7)) #添加顶点集
G.add_edges_from(L)
D=nx.diameter(G) #求网络直径
LH=nx.average_shortest_path_length(G) #求平均路径长度
Ci=nx.clustering(G) #求各顶点的聚类系数
C=nx.average_clustering(G) #求整个网络的聚类系数
print("网络直径为：",D,"\n平均路径长度为：",LH)
print("各顶点的聚类系数为：")
for index,value in enumerate(Ci.values()):
print("(顶点v{:d}: {:.4f})；".format(index+1,value),end=' ')
print("\n整个网络的聚类系数为：{:.4f}".format(C))
到了这里，关于【数学建模】图论模型的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
