31线性变换及其矩阵

一、线性变换的概念

线性变换是一种映射，映射前后向量空间满足：
$$T(c\mathbf{u}+d\mathbf{v})=cT(\mathbf{u})+dT(\mathbf{v})\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 是向量空间 $V$ 中的任意向量，而 $c$ 和 $d$ 分别是与它们相关的标量，$T(\mathbf{x})$表示向量$\mathbf{x}$变换后的新向量。公式（1）是判断映射关系是否为线性的评判依据。映射（变换）进行线性判别，基本思路是：

1. 确定变换。明确给定的变换是如何改变待映射向量的。
2. 验证加法性。$T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$
3. 验证（标量）乘法性。$T(\alpha \mathbf{u})=\alpha T(\mathbf{u})$

如果同时满足2和3，那么我们称这个变换为线性变换，反之则为非线性变换。下面我们通过一个具体的例子熟悉一下这个概念。

例子1：“平移变换（Shift transformation）”是否为线性变换？

答：平移变换不是一个线性变换。理由如下：

• 平移变换是对输入向量执行加法的变换（明确变换定义）
• 计算 $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$
• 再计算 $T(\alpha \mathbf{u})=\alpha T(\mathbf{u})$

因为$(1)$ 的左边：
$$T(c\mathbf{v}+d\mathbf{w})=c\mathbf{v}+d\mathbf{w}+{\mathbf{u}}_0$$
右边：
$$T(c\mathbf{v})+T(d\mathbf{w})=c\mathbf{w}+d\mathbf{v}+2{\mathbf{u}}_0$$
也就是：
$$T(c\mathbf{v}+d\mathbf{w})\ne T(c\mathbf{v})+T(d\mathbf{w})$$
当然如果${\mathbf{u}}_0=0$，也是一个线性变换，这种变换叫做单位变换（Identity transformation）。

例子2：“左乘矩阵”是否为线性变换？

答：左乘矩阵是一个线性变换。左乘矩阵表示对一个向量执行左乘矩阵的映射。
$$T(c\mathbf{v}+d\mathbf{w})=cA\mathbf{v}+dA\mathbf{w}=T(c\mathbf{v}+d\mathbf{w})$$

例子3：仿射变换(Affine transformation)是否为线性变换？

答：仿射变换绝大多数情况下都不是线性变换，仿射变换通常可以表示为一个线性变换加上一个平移变换：
$$T(v)=Av+u_0\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$T(c\mathbf{v}+d\mathbf{w})=A(c\mathbf{v}+d\mathbf{w})+{\mathbf{u}}_0\text{\hspace{1em}(2)}$$
$$T(c\mathbf{v})+T(d\mathbf{w})=Ac\mathbf{v}+Ad\mathbf{w}\text{\hspace{1em}(3)}$$
显然，$(2)(3)$不相等，除非这个线性平移量${\mathbf{u}}_0=0$

二、更多例子

2.1 点乘变换（Dot product transformation）

输入向量为 v = [ v 1 v 2 v 3 ] \bold v=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix} v= ​v1​v2​v3​​ ​，假设这个点乘变换向量为 a = [ 1 3 4 ] \bold a=\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix} a= ​134​ ​

答：它是一个线性变换。假设输入向量是 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)$。可以看出输入向量是一个属于 ${\mathbb{R}}^3$ 空间，但是其结果是一个数，也就是 ${\mathbb{R}}^1$ 空间，它相当于左乘了只有一行一个矩阵$A=[1,3,4]$，因为左乘一个矩阵是一个线性变换，所以点乘变换也是一个线性变换。

由上面的讨论可知：线性变换前后向量所处的向量可以属于不同维度

2.2 变换为取模 T ( v ) = ∣ ∣ v ∣ ∣ T(\bold v)=||v|| T(v)=∣∣v∣∣

答：它不是一个线性变换。因为既不满足 $||v+w||=||v||+||w||$ ，也不满足 $||-v||=-||v||$ 。

2.3 变换为 T ( v ) T(v) T(v) 每个向量都旋转 30 30 30 度

答：旋转可以用一个矩阵来表示，属于左乘一个矩阵的情况，故为线性变换。

2.4 线到线，三角到三角的线性变换在图形上的特点

如果我们把这些向量用图形表示出来，比如在直线上：

如果你有一个向量的线性组合，例如重心或质心，变换后的结果将是每个单独向量变换结果的相同线性组合，不仅适用于几何变换，也适用于函数空间和更广泛的数学概念。

2.5 T： R 3 → R 2 R^3\rightarrow R^2 R3→R2

$$T(v)=Av\text{\hspace{1em}(3)}$$
输入向量$v\in R^3$，也就是说矩阵 $A$ 必须为一个 $2\times 3$ 的矩阵，输出向量是一个在 $R^2$的矩阵。事实上，所有线性变换都可以用一个矩阵来表示。

2.6 极坐标到直角坐标的变换

$$\begin{gathered} x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{gathered}$$
输入向量是$(r,\theta )\in V$输出向量是$(x,y)\in W$。输入空间$V$任选两个向量$v_1$ $v_2$:
$$T(v_1+v_2)$$
因为$v_1$ $v_2$都是极坐标，没有直接定义加法运算（或者是没有意义的），如果沿用直角坐标的意义，那么 $T(v_1+v_2)$：
$$\begin{gathered} x_{r_1+r_2}=(r_1+r_2)\cos \theta \\ {y}_{r_1+r_2}=(r_1+r_2)\sin \theta \end{gathered}$$
其中$\theta$不确定，因为它是直角坐标下的加法。接着计算 $T(v_1)+T(v_2)$：
$$\begin{gathered} x_{r_1}+x_{r_2}=r_1\cos {\theta }_1+r_2\cos {\theta }_2 \\ {y}_{r_1}+y_{r_2}=r_1\sin {\theta }_1+r_2\sin {\theta }_2 \end{gathered}$$
可以看出这两个是不相等的。

三、线性变换的矩阵表达

接下来的内容是：如何利用一个线性变换矩阵完成对一个向量进行线性变换。

已知向量空间中的基便可以用数字序列将在其上的向量表示出来。有了基这个概念，我们就可以将向量划分属于在某个维度的空间上。

我们的目标：找到线性变换对应的找到一个矩阵 $A$ ，使得输入向量都能很轻松的通过左乘 $A$ 获得到输出向量。也就是
$$w=Av\text{\hspace{1em}(4)}$$
根据矩阵运算法则，矩阵 $A$ 的维度必须为$m\times n$，对输入输出空间的基选择是任意的，这就意味着我们的“线性转换”矩阵是与输入空间和输出空间相关的。假设输入向量 $v$ 所处向量空间的基有 $n$，那么有：
$$v=c_1{v}_1+c_2{v}_2+\cdots +c_n{v}_n\text{\hspace{1em}(5)}$$
因为是线性变换，所以有：
$$T(v)=c_{1}T(v_1)+c_{2}T(v_2)+\cdots +c_{n}T(v_n)\text{\hspace{1em}(6)}$$
写成矩阵形式，方便我们得到线性转换矩阵 $A$：
T ( v ) = w = [ T ( v 1 ) T ( v 2 ) ⋯ T ( v n ) ] [ c 1 c 2 ⋮ c n ] (7) T(v)=w=\begin{bmatrix}T(v_1)&T(v_2)&\cdots&T(v_n)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots c_n\end{bmatrix}\tag{7} T(v)=w=[T(v1​)​T(v2​)​⋯​T(vn​)​] ​c1​c2​⋮cn​​ ​(7)
这个矩阵就是我们需要的转换矩阵：
$$A=\left[\begin{array}{cccc}T(v_1)& T(v_2)& \cdots & T(v_n)\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(8)}$$
其中$T(v_i)(i=0,1,\cdots n)$ 不就是对输入向量基每一个进行的线性变换吗？显然的它的列与输入向量的维度有关，行与什么有关呢？当然是和输出向量基有关。也就是说，我们只要知道输入基的所有线性变换在新输出基下的表达，那么我们就可以完全确定这个线性变换。

例子1：假设已知输入基和输出基之间的线性映射结果，比如：
$$v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]v_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$
经过新的变换后的结果为： T ( v 1 ) = [ 2 3 4 ] T ( v 2 ) = [ 5 5 5 ] T(v_1)=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix} \quad T(v_2)=\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix} T(v1​)= ​234​ ​T(v2​)= ​555​ ​
对应的转换矩阵$A$ 应为：
A = [ T ( v 1 ) T ( v 2 ) ] = [ 2 5 3 5 4 5 ] A=\begin{bmatrix}T(v_1)&T(v_2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&5\\3&5\\4&5\end{bmatrix} A=[T(v1​)​T(v2​)​]= ​234​555​ ​
给定变换前的向量$x=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$，线性变换的结果就可以通过计算得到线性变换结果： y = A x = [ 7 8 9 ] y=Ax=\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix} y=Ax= ​789​ ​

上面这个例子是直接给出输入基在输出空间的表示，很多时候我们可能只知道对应的线性关系，和在同一坐标系下的输入基和输出基的表示。那么我们应该如何求得这个矩阵呢？

例子2 已知变换前向量空间为 $\mathbf{V}={\mathbf{R}}^2$，线性变换后的向量空间为$\mathbf{W}=R^2$，这个变换是 $T(v)=v$。假设变换前后向量空间的基都处于同一坐标系，那么：
$$V=\left[\begin{array}{cc}{v}_1& v_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 3& 8\end{array}\right]W=\left[\begin{array}{cc}{w}_1& w_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 2\end{array}\right]$$
因为$T(v)=v$ 是一个单位变换（Identity transformation），所以：
$$\begin{gathered} v_1=1w_1+1w_2 \\ {v}_2=2w_1+3w_2\text{\hspace{1em}(9)} \end{gathered}$$
注意上面成立的条件是线性变换是$T(v)=v$ 。，这样我们就知道变换后在新向量空间中的表达了：
$$T(v_1)=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]T(v_2)=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$$
所需要的矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right]$。如果换成矩阵形式求解这个矩阵，那应该是：
$$WA=VA=W^{-1}V$$
这就告诉我们，如果我们要求线性变换矩阵，那么只需要将输出向量的基矩阵的逆$W^{-1}$并且右乘输入基矩阵$V$。

OK！上面求得矩阵 $A$ 的关键找到了等式$(9)$，一般地[1]，对于$T(v)=v$：
$$\begin{gathered} u=c_1{v}_1+\cdots +c_n{v}_n \\ u=d_1{w}_1+\cdots +d_n{w}_n\text{\hspace{1em}(10)} \end{gathered}$$
用矩阵表达则为：
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cccc}T(v_1)& T(v_2)& \cdots & T(v_n)\end{array}\right]c& =\left[\begin{array}{ccc}{w}_1& w_2\cdots & w_m\end{array}\right]d\\ Vc& =Wd\end{array}$$
线性变换后的向量为：
$$d=W^{-1}Vc$$
如果输入向量基是单位正交基，那么有：
$$d=W^{-1}c$$

例子3：求多项式微分：$v=c_1+c_{2}x+c_3{x}^2+c_4{x}^3$ 的线性转换矩阵 $A$。

这次的例子不再是 $T(v)=v$ 这种单位线性变换，而微分变换，微分变换也是一种线性变换。可以看出变换前的基由四个部分组成，分别是 ：$1,x,x^2,x^3$ ，输出基是：$1,x,x^2$。分别输出基对他们进行线性变换 $T(v)=\frac{dv}{dx}$，结果用输出基表示。如第一个输入基是$1$，那么：
$$\begin{array}{rlr}{1}^{\prime }& =0& =0\times 1+0\times x+0\times x^2\\ x^{\prime }& =1& =1\times 1+0\times x+0\times x^2\\ (x^2{)}^{\prime }& =2x& =0\times 1+2\times x+0\times x^2\\ (x^3{)}^{\prime }& =3x^2& =0\times 1+0\times x+3\times x^2\end{array}$$
微分矩阵 $A$ 可以写成：
A = [ 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 ] A=\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{bmatrix} A= ​000​100​020​003​ ​

如果线性变换不是单位变换，比如说 $T(v)=3v$，应该对其做一些调整：
$$\begin{gathered} u=c_1{v}_1+\cdots +c_n{v}_n \\ 3u=d_1{w}_1+\cdots +d_n{w}_n \end{gathered}$$文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-798099.html

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