【矩阵论】3. 矩阵函数——谱公式,幂0与泰勒计算矩阵函数

矩阵论的所有文章，主要内容参考北航赵迪老师的课件

[注]由于矩阵论对计算机比较重要，所以选修了这门课，但不是专业搞数学的，所以存在很多口语化描述，而且对很多东西理解不是很正确与透彻，欢迎大家指正。我可能间歇性忙，但有空一定会回复修改的。

矩阵论
1. 准备知识——复数域上矩阵,Hermite变换
1.准备知识——复数域上的内积域正交阵
1.准备知识——Hermite阵，二次型，矩阵合同，正定阵，幂0阵，幂等阵，矩阵的秩
2. 矩阵分解——SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——正定阵分解
2. 矩阵分解——单阵谱分解
2. 矩阵分解——正规分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规谱分解
2. 矩阵分解——高低分解
3. 矩阵函数——常见解析函数
3. 矩阵函数——谱公式,幂0与泰勒计算矩阵函数
3. 矩阵函数——矩阵函数求导
4. 矩阵运算——观察法求矩阵特征值特征向量
4. 矩阵运算——张量积
4. 矩阵运算——矩阵拉直
4.矩阵运算——广义逆——加号逆定义性质与特殊矩阵的加号逆
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆的计算
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用
4. 矩阵运算——广义逆——减号逆
5. 线性空间与线性变换——线性空间
5. 线性空间与线性变换——生成子空间
5. 线性空间与线性变换——线性映射与自然基分解,线性变换
6. 正规方程与矩阵方程求解
7. 范数理论——基本概念——向量范数与矩阵范数
7.范数理论——基本概念——矩阵范数生成向量范数&谱范不等式
7. 矩阵理论——算子范数
7.范数理论——范数估计——许尔估计&谱估计
7. 范数理论——非负/正矩阵
8. 常用矩阵总结——秩1矩阵，优阵(单位正交阵)，Hermite阵
8. 常用矩阵总结——镜面阵，正定阵
8. 常用矩阵总结——单阵，正规阵，幂0阵，幂等阵，循环阵

3.4 谱公式计算矩阵函数

3.4.1 前置知识

a. 根遗传公式

设 $n$ 阶方阵 $A$ 特根 λ ( A ) = { λ 1 , ⋯   , λ n } \lambda(A)=\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\} λ(A)={λ1​,⋯,λn​} ，则 $f(A)$ 的特根为 λ ( f ( A ) ) = { f ( λ 1 ) , ⋯   , f ( λ n ) } \lambda(f(A))=\{f(\lambda_1),\cdots,f(\lambda_n)\} λ(f(A))={f(λ1​),⋯,f(λn​)} ，其中 λ ( f ( A ) ) = { f ( λ 1 ) , ⋯   , f ( λ n ) } \lambda(f(A))=\{f(\lambda_1),\cdots,f(\lambda_n)\} λ(f(A))={f(λ1​),⋯,f(λn​)} 为任意多项式函数，满足 $f(A)=c_{0}I+c_{1}A+c_2{A}^2+\cdots +c_k{A}^k$

b. 0化式、特根与幂0阵

0化式：若多项式 $f(x)$ 使 $f(A)=0$ ,称 $f(x)$ 为 $A$ 的0化式

• A的全体特根是任意0化式 $f(x)$ 的根 或 A的0化式 $f(x)$ 含有A的全体不同根
• sp ：若A为单阵，则0化式 $f(x)$ 不含重复根，即不含大于2的幂次项

设 f ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ，且有 ( A − I ) ( A − 2 I ) = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 2 ) ( − 1 0 0 0 − 1 0 0 0 0 ) = 0 , ∴ ( x − 1 ) ( x − 2 ) 为 A 的 0 化式 \begin{aligned} &设f(x)=(x-1)(x-2)，且有 (A-I)(A-2I)=\left( \begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0 \end{matrix} \right)=0,\\ &\therefore (x-1)(x-2)为A的0化式 \end{aligned} ​设f(x)=(x−1)(x−2)，且有(A−I)(A−2I)= ​000​000​002​ ​ ​−100​0−10​000​ ​=0,∴(x−1)(x−2)为A的0化式​

若 $A^k=0(k\ge 2)$ 为幂0阵，则A的全体特根为 λ ( A ) = { 0 , ⋯   , 0 } \lambda(A)=\{0,\cdots,0\} λ(A)={0,⋯,0}

若 $(A-aI{)}^k=0(k\ge 2)$ 为平移幂0阵，则A的全体根为 λ ( A ) = { a , ⋯   , a } \lambda(A)=\{a,\cdots,a\} λ(A)={a,⋯,a}

3.4.2 单阵谱公式

$$单阵A有谱分解A={\lambda }_1{G}_1+{\lambda }_2{G}_2+\cdots +{\lambda }_k{G}_k,且f(A)=f({\lambda }_1)G_1+\cdots +f({\lambda }_k)G_k$$

3.4.3 广谱公式(非单阵2根2重)

$$\begin{array}{rl}& 若A满足(A-aI{)}^2(A-bI)=0,且a\ne b，即A有0化式(x-a{)}^2(x-b),则有广谱公式：\\ & f(A)=f(a)G_1+f(b)G_2+f^{\prime }(a)D_1,其中G_1+G_2=I,D_1为固定矩阵\end{array}$$

解： ∣ A − λ A ∣ = ∣ − 1 − λ 0 1 1 2 − λ 0 − 4 0 3 − λ ∣ = ( λ − 1 ) 2 ( λ − 2 ) = 0 ⇒ λ ( A ) = { 1 , 1 , 2 } 由于 ( A − I ) ( A − 2 I ) ≠ 0 , 0 化式有重根，所以 A 不是单阵 或 r ( A − I ) = r ( − 2 0 1 1 1 0 − 4 0 2 ) = 2 ≠ 3 − 2 = 1 , ∴ A 不是单阵 ∵ ( A − I ) 2 ( A − I ) = 0 , ∴ 对任一解析函数 f ( x ) 有广谱公式： f ( A ) = f ( 1 ) G 1 + f ( 2 ) G 2 + f ′ ( 1 ) D 1 取不同的多项式求 G 1 , G 2 , D 1 ( 1 ) 令 f ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) , f ′ ( x ) = ( x − 1 ) + ( x − 2 ) = 2 x − 3 , 有 f ( 1 ) = f ( 2 ) = 0 , f ′ ( 1 ) = − 1 代入公式后得， ( A − I ) ( A − 2 I ) = − D 1 ⇒ D 1 = − ( − 2 0 1 1 1 0 − 4 0 2 ) ( − 3 0 1 1 0 0 − 4 0 1 ) = ( − 2 0 1 2 0 − 1 − 4 0 2 ) ( 2 ) 令 f ( x ) = ( x − 1 ) 2 , f ( 1 ) = 0 , f ( 2 ) = 1 , f ′ ( x ) = 2 ( x − 1 ) , f ′ ( 1 ) = 0 ( A − I ) 2 = G 2 = ( 0 0 0 − 1 1 1 0 0 0 ) G 1 = I − G 2 = ( 1 0 0 1 0 − 1 0 0 1 ) ( 2 ) ′ 若令 f ( x ) = ( x − 2 ) 2 , f ( 2 ) = f ′ ( 2 ) = 0 , f ( 1 ) = − 1 , 可求 G 1 令 f ( x ) = e t x , f ′ ( x ) = t e t x , f ( A ) = e t A = f ( 1 ) G 1 + f ( 2 ) G 2 + f ′ ( 1 ) D 1 = e t G 1 + e 2 t G 2 + t e t D 1 即 e t A = e t ( 1 0 0 1 0 − 1 0 0 1 ) + e 2 t ( 0 0 0 − 1 1 1 0 0 0 ) + t e t ( − 2 0 1 2 0 − 1 − 4 0 2 ) = ( e t − 2 t e t 0 t e t e t − e 2 t + 2 t e t e 2 t e 2 t − e t − t e t − 4 t e t 0 e t + 2 t e t ) \begin{aligned} &解：\vert A-\lambda A\vert=\left | \begin{matrix} -1-\lambda & 0 &1\\1 & 2-\lambda &0\\-4&0&3-\lambda \end{matrix} \right |= (\lambda-1)^2(\lambda-2)=0\Rightarrow \lambda(A)=\{1,1,2\}\\ &由于(A-I)(A-2I)\neq 0,0化式有重根，所以A不是单阵\\ &或r(A-I)=r\left( \begin{matrix} -2&0&1\\1&1&0\\-4&0&2 \end{matrix} \right)=2\neq 3-2=1,\therefore A不是单阵\\ &\because (A-I)^2(A-I)=0,\therefore 对任一解析函数f(x)有广谱公式：\\ &f(A)=f(1)G_1+f(2)G_2+f'(1)D_1\\ &取不同的多项式求G_1,G_2,D_1\\ &\quad(1)令f(x)=(x-1)(x-2),f'(x)=(x-1)+(x-2)=2x-3,有f(1)=f(2)=0,f'(1)=-1\\ &\quad \quad代入公式后得，(A-I)(A-2I)=-D_1\Rightarrow D_1=-\left( \begin{matrix} -2&0&1\\1&1&0\\-4&0&2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -3&0&1\\1&0&0\\-4&0&1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -2&0&1\\2&0&-1\\-4&0&2 \end{matrix} \right)\\ &\quad (2)令f(x)=(x-1)^2,f(1)=0,f(2)=1,f'(x)=2(x-1),f'(1)=0\\ &\quad \quad(A-I)^2=G_2=\left( \begin{matrix} 0&0&0\\-1&1&1\\0&0&0 \end{matrix} \right)\\ &\quad \quad G_1=I-G_2=\left( \begin{matrix} 1&0&0\\1&0&-1\\0&0&1 \end{matrix} \right)\\ &\quad (2)'若令f(x)=(x-2)^2,f(2)=f'(2)=0,f(1)=-1,可求G_1\\ &令f(x)=e^{tx},f'(x)=te^{tx},f(A)=e^{tA}=f(1)G_1+f(2)G_2+f'(1)D_1=e^tG_1+e^{2t}G_2+te^{t}D_1\\ &即e^{tA}=e^t\left( \begin{matrix} 1&0&0\\1&0&-1\\0&0&1 \end{matrix} \right)+e^{2t}\left( \begin{matrix} 0&0&0\\-1&1&1\\0&0&0 \end{matrix} \right)+te^t\left( \begin{matrix} -2&0&1\\2&0&-1\\-4&0&2 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} e^t-2te^t&0&te^t\\e^t-e^{2t}+2te^t&e^{2t}&e^{2t}-e^t-te^t\\-4te^t&0&e^t+2te^t \end{matrix} \right) \end{aligned} ​解：∣A−λA∣= ​−1−λ1−4​02−λ0​103−λ​ ​=(λ−1)2(λ−2)=0⇒λ(A)={1,1,2}由于(A−I)(A−2I)=0,0化式有重根，所以A不是单阵或r(A−I)=r ​−21−4​010​102​ ​=2=3−2=1,∴A不是单阵∵(A−I)2(A−I)=0,∴对任一解析函数f(x)有广谱公式：f(A)=f(1)G1​+f(2)G2​+f′(1)D1​取不同的多项式求G1​,G2​,D1​(1)令f(x)=(x−1)(x−2),f′(x)=(x−1)+(x−2)=2x−3,有f(1)=f(2)=0,f′(1)=−1代入公式后得，(A−I)(A−2I)=−D1​⇒D1​=− ​−21−4​010​102​ ​ ​−31−4​000​101​ ​= ​−22−4​000​1−12​ ​(2)令f(x)=(x−1)2,f(1)=0,f(2)=1,f′(x)=2(x−1),f′(1)=0(A−I)2=G2​= ​0−10​010​010​ ​G1​=I−G2​= ​110​000​0−11​ ​(2)′若令f(x)=(x−2)2,f(2)=f′(2)=0,f(1)=−1,可求G1​令f(x)=etx,f′(x)=tetx,f(A)=etA=f(1)G1​+f(2)G2​+f′(1)D1​=etG1​+e2tG2​+tetD1​即etA=et ​110​000​0−11​ ​+e2t ​0−10​010​010​ ​+tet ​−22−4​000​1−12​ ​= ​et−2tetet−e2t+2tet−4tet​0e2t0​tete2t−et−tetet+2tet​ ​​

λ ( A ) = { 1 , 1 , 2 } , 由于 ( A − I ) ( A − 2 I ) ≠ 0 , ∴ A 不是单阵， ( A − I ) 2 ( A − 2 I ) = 0 有广谱公式 f ( A ) = f ( 1 ) G 1 + f ( 2 ) G 2 + f ′ ( 1 ) D 1 取不同多项式求 G 1 , G 2 , D 1 ( 1 ) 令 f ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) , f ′ ( x ) = ( x − 1 ) + ( x − 2 ) , f ( 1 ) = f ( 2 ) = 0 , f ′ ( 1 ) = − 1 ( A − I ) ( A − 2 I ) = − D 1 ⇒ D 1 = − ( A − I ) ( A − 2 I ) = ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 2 ) 令 f ( x ) = ( x − 1 ) 2 , f ( 1 ) = f ′ ( 1 ) = 0 , f ( 2 ) = 1 , 代入解析式得： ( A − I ) 2 = G 2 = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) , G 1 = I − G 2 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ) ∴ f ( A ) = f ( 1 ) G 1 + f ( 2 ) G 2 + f ′ ( 1 ) D 1 = f ( 1 ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ) + f ( 2 ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) + f ′ ( 1 ) ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) f ( x ) = e t x , f ( 1 ) = e t , f ( 2 ) = e 2 t , f ′ ( 1 ) = t e t 可得 e t A = ( e t t e t e t e 2 t ) \begin{aligned} &\lambda(A)=\{1,1,2\},由于(A-I)(A-2I)\neq 0,\therefore A不是单阵，(A-I)^2(A-2I)=0\\ &有广谱公式 f(A)=f(1)G_1+f(2)G_2+f'(1)D_1\\ &取不同多项式求G_1,G_2,D_1\\ & \quad (1)令f(x)=(x-1)(x-2),f'(x)=(x-1)+(x-2),f(1)=f(2)=0,f'(1)=-1\\ &\quad \quad (A-I)(A-2I)=-D_1\Rightarrow D_1=-(A-I)(A-2I)=\left( \begin{matrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \right)\\ &\quad (2)令f(x)=(x-1)^2,f(1)=f'(1)=0,f(2)=1,代入解析式得：\\ &\quad \quad (A-I)^2=G_2=\left( \begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{matrix} \right),G_1=I-G_2=\left( \begin{matrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{matrix} \right)\\ &\therefore f(A)=f(1)G_1+f(2)G_2+f'(1)D_1=f(1)\left( \begin{matrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{matrix} \right)+f(2)\left( \begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{matrix} \right)+f'(1)\left( \begin{matrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \right)\\ &f(x)=e^{tx},f(1)=e^t,f(2)=e^{2t},f'(1)=te^{t}\\ &可得e^{tA}=\left( \begin{matrix} e^t&te^t&\\&e^t&\\&&e^{2t} \end{matrix} \right) \end{aligned} ​λ(A)={1,1,2},由于(A−I)(A−2I)=0,∴A不是单阵，(A−I)2(A−2I)=0有广谱公式f(A)=f(1)G1​+f(2)G2​+f′(1)D1​取不同多项式求G1​,G2​,D1​(1)令f(x)=(x−1)(x−2),f′(x)=(x−1)+(x−2),f(1)=f(2)=0,f′(1)=−1(A−I)(A−2I)=−D1​⇒D1​=−(A−I)(A−2I)= ​000​100​000​ ​(2)令f(x)=(x−1)2,f(1)=f′(1)=0,f(2)=1,代入解析式得：(A−I)2=G2​= ​000​000​001​ ​,G1​=I−G2​= ​100​010​000​ ​∴f(A)=f(1)G1​+f(2)G2​+f′(1)D1​=f(1) ​100​010​000​ ​+f(2) ​000​000​001​ ​+f′(1) ​000​100​000​ ​f(x)=etx,f(1)=et,f(2)=e2t,f′(1)=tet可得etA= ​et​tetet​e2t​ ​​

3.5 幂0与Taylor求解f(A)(最一般化求解)

若有 $A^k=0(k\ge 2)$ ，则 $f(x)$ 为任一解析式，则有
$$\begin{array}{r}f(A)=f(0)+f^{\prime }(0)A+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{A}^2+\cdots +\frac{f^{k-1}(0)}{(k-1)!}{A}^{k-1}\end{array}$$

• 对于平移幂0阵 $(A-aI{)}^k=0(k\ge 2)$ ，$f(x)$ 为任一解析函数，则有公式 $f(A)=f(a)I+f^{\prime }(a)(A-aI)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(A-aI{)}^2+\cdots +\frac{f(a{)}^{k-1}}{(k-1)!}(A-aI{)}^{k-1}$

eg

A 为行和矩阵， λ ( A ) = { 0 , t r ( A ) − 0 } = { 0 , 0 } , 则 ( A − λ 1 I ) ( A − λ 2 I ) = A 2 = 0 f ( A ) = f ( 0 ) I + f ′ ( 0 ) A 令 f ( x ) = e t x , 则 f ( 0 ) = 1 , f ′ ( 0 ) = t , ⇒ f ( A ) = I + t A = ( 1 + t − t t 1 − t ) 令 f ( x ) = c o s ( t x ) , 则 f ( 0 ) = 1 , f ( 0 ) = − t s i n ( t x ) = 0 , ⇒ f ( A ) = I = ( 1 0 0 1 ) \begin{aligned} &A为行和矩阵，\lambda(A)=\{0,tr(A)-0\}=\{0,0\},则(A-\lambda_1I)(A-\lambda_2I)=A^2=0\\ &f(A)=f(0)I+f'(0)A\\ &令f(x)=e^{tx},则f(0)=1,f'(0)=t,\Rightarrow f(A)=I+tA=\left( \begin{matrix} 1+t&-t\\t&1-t \end{matrix} \right)\\ &令f(x)=cos(tx),则f(0)=1,f(0)=-tsin(tx)=0,\Rightarrow f(A)=I=\left( \begin{matrix} 1&0\\0&1 \end{matrix} \right) \end{aligned} ​A为行和矩阵，λ(A)={0,tr(A)−0}={0,0},则(A−λ1​I)(A−λ2​I)=A2=0f(A)=f(0)I+f′(0)A令f(x)=etx,则f(0)=1,f′(0)=t,⇒f(A)=I+tA=(1+tt​−t1−t​)令f(x)=cos(tx),则f(0)=1,f(0)=−tsin(tx)=0,⇒f(A)=I=(10​01​)​

λ ( A ) = { 2 , 2 , 2 } , r ( A − 2 I ) = 2 ≠ 3 − 3 = 0 , A 不是单阵，由 C a y l e y 公式， ( x − 2 ) 3 = 0 ⇒ ( A − 2 I ) 3 = 0 由幂 0 公式与泰勒公式， f ( A ) = f ( 2 ) I + f ′ ( 2 ) ( A − 2 I ) + f ′ ′ ( 2 ) 2 ! ( A − 2 I ) 2 令 f ( x ) = e t x , f ( 2 ) = e 2 t , f ′ ( 2 ) = t e 2 t , f ′ ′ ( 2 ) = t 2 e 2 t ∴ e t A = e 2 t I + t e 2 t ( A − 2 I ) + t 2 e 2 t 2 ( A − 2 I ) 2 = e 2 t [ I + t ( 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ) + t 2 2 ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) ] = e 2 t ( 1 t t 2 2 0 1 t 0 0 1 ) 令 f ( x ) = s i n ( t x ) , f ( 2 ) = s i n 2 t , f ′ ( 2 ) = t c o s ( 2 t ) , f ′ ′ ( 2 ) = − t 2 s i n ( 2 t ) ∴ s i n ( t A ) = s i n ( 2 t ) I + t c o s ( 2 t ) ( A − 2 I ) − t 2 s i n ( 2 t ) ( A − 2 I ) 2 = = s i n ( 2 t ) ( 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ) + t c o s ( 2 t ) ( 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ) − t 2 ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) = ( s i n ( 2 t ) t c o s ( 2 t ) − t 2 2 s i n ( 2 t ) 0 s i n ( 2 t ) t c o s ( 2 t ) 0 0 s i n ( 2 t ) ) \begin{aligned} &\lambda(A)=\{2,2,2\},r(A-2I)=2\neq 3-3=0,A不是单阵，由Cayley公式，(x-2)^3=0\Rightarrow (A-2I)^3=0\\ &由幂0公式与泰勒公式，f(A)=f(2)I+f'(2)(A-2I)+\frac{f''(2)}{2!}(A-2I)^2\\ &令f(x)=e^{tx},f(2)=e^{2t},f'(2)=te^{2t},f''(2)=t^{2}e^{2t}\\ &\quad \therefore e^{tA}=e^{2t}I+te^{2t}(A-2I)+\frac{t^2e^{2t}}{2}(A-2I)^2=e^{2t}\left[I+t\left( \begin{matrix} 0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{matrix} \right)+\frac{t^2}{2}\left( \begin{matrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \right)\right]\\ &\quad \quad \quad =e^{2t}\left( \begin{matrix} 1&t&\frac{t^2}{2}\\0&1&t\\0&0&1 \end{matrix} \right)\\ &令f(x)=sin(tx),f(2)=sin2t,f'(2)=tcos(2t),f''(2)=-t^2sin(2t)\\ &\quad \therefore sin(tA)=sin(2t)I+tcos(2t)(A-2I)-t^2sin(2t)(A-2I)^2=\\ &\quad \quad \quad =sin(2t)\left( \begin{matrix} 1&0&0\\0&1&1\\0&0&1 \end{matrix} \right)+tcos(2t)\left( \begin{matrix} 0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{matrix} \right)-t^2\left( \begin{matrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} sin(2t)&tcos(2t)&-\frac{t^2}{2}sin(2t)\\ 0&sin(2t)&tcos(2t)\\ 0&0&sin(2t) \end{matrix} \right) \end{aligned} ​λ(A)={2,2,2},r(A−2I)=2=3−3=0,A不是单阵，由Cayley公式，(x−2)3=0⇒(A−2I)3=0由幂0公式与泰勒公式，f(A)=f(2)I+f′(2)(A−2I)+2!f′′(2)​(A−2I)2令f(x)=etx,f(2)=e2t,f′(2)=te2t,f′′(2)=t2e2t∴etA=e2tI+te2t(A−2I)+2t2e2t​(A−2I)2=e2t ​I+t ​000​100​010​ ​+2t2​ ​000​000​100​ ​ ​=e2t ​100​t10​2t2​t1​ ​令f(x)=sin(tx),f(2)=sin2t,f′(2)=tcos(2t),f′′(2)=−t2sin(2t)∴sin(tA)=sin(2t)I+tcos(2t)(A−2I)−t2sin(2t)(A−2I)2==sin(2t) ​100​010​011​ ​+tcos(2t) ​000​100​010​ ​−t2 ​000​000​100​ ​= ​sin(2t)00​tcos(2t)sin(2t)0​−2t2​sin(2t)tcos(2t)sin(2t)​ ​​

由特征方程计算得： λ ( A ) = { 2 , 2 , 2 } , ( A − 2 I ) ≠ 0 , 故 A 不是单阵， ( A − 2 I ) 2 = 0 故可用泰勒求解矩阵函数，解析式为 f ( x ) = f ( 2 ) + f ′ ( 2 ) ( x − 2 ) , 矩阵函数为 f ( A ) = f ( 2 ) I + f ′ ( 2 ) ( A − 2 I ) 令 f ( x ) = e t x , f ( 2 ) = e 2 t , f ′ ( 2 ) = t e 2 t , f ′ ( 2 ) = t 2 e 2 t ⇒ e t A = e 2 t I + t e 2 t ( A − 2 I ) = e 2 t [ I + t ( 0 0 0 1 − 1 1 1 − 1 1 ) ] = e 2 t [ 1 0 0 t 1 − t t t − t 1 + t ] 令 f ( x ) = s i n ( t x ) , f ( 2 ) = s i n ( 2 t ) , f ′ ( 2 ) = t c o s ( 2 t ) ⇒ s i n ( t A ) = s i n ( 2 t ) I + t c o s ( 2 t ) ( A − 2 I ) = ( s i n ( 2 t ) 0 0 0 s i n ( 2 t ) 0 0 0 s i n ( 2 t ) ) + ( 0 0 0 t c o s ( 2 t ) − t c o s ( 2 t ) t c o s ( 2 t ) t c o s ( 2 t ) − t c o s ( 2 t ) t c o s ( 2 t ) ) = ( s i n ( 2 t ) 0 0 t c o s ( 2 t ) s i n ( 2 t ) − t c o s ( 2 t ) t c o s ( 2 t ) t c o s ( 2 t ) t c o s ( 2 t ) s i n ( 2 t ) + t c o s ( 2 t ) ) \begin{aligned} &由特征方程计算得：\lambda(A)=\{2,2,2\},(A-2I)\neq 0,故A不是单阵，(A-2I)^2=0\\ &故可用泰勒求解矩阵函数，解析式为f(x)=f(2)+f'(2)(x-2),矩阵函数为f(A)=f(2)I+f'(2)(A-2I)\\ &令f(x)=e^{tx},f(2)=e^{2t},f'(2)=te^{2t},f'(2)=t^2e^{2t}\\ &\quad \Rightarrow e^{tA}=e^{2t}I+te^{2t}(A-2I)=e^{2t}\left[I+t\left( \begin{matrix} 0&0&0\\1&-1&1\\1&-1&1 \end{matrix} \right)\right]=e^{2t}\left[ \begin{matrix} 1&0&0\\t&1-t&t\\t&-t&1+t \end{matrix} \right]\\ &令f(x)=sin(tx),f(2)=sin(2t),f'(2)=tcos(2t)\\ &\quad \Rightarrow sin(tA)=sin(2t)I+tcos(2t)(A-2I)=\left( \begin{matrix} sin(2t)&0&0\\0&sin(2t)&0\\0&0&sin(2t) \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 0&0&0\\tcos(2t)&-tcos(2t)&tcos(2t)\\tcos(2t)&-tcos(2t)&tcos(2t) \end{matrix} \right)\\ &\quad \quad \quad \quad \quad \quad =\left( \begin{matrix} sin(2t)&0&0\\tcos(2t)&sin(2t)-tcos(2t)&tcos(2t)\\tcos(2t)&tcos(2t)&sin(2t)+tcos(2t) \end{matrix} \right) \end{aligned} ​由特征方程计算得：λ(A)={2,2,2},(A−2I)=0,故A不是单阵，(A−2I)2=0故可用泰勒求解矩阵函数，解析式为f(x)=f(2)+f′(2)(x−2),矩阵函数为f(A)=f(2)I+f′(2)(A−2I)令f(x)=etx,f(2)=e2t,f′(2)=te2t,f′(2)=t2e2t⇒etA=e2tI+te2t(A−2I)=e2t ​I+t ​011​0−1−1​011​ ​ ​=e2t ​1tt​01−t−t​0t1+t​ ​令f(x)=sin(tx),f(2)=sin(2t),f′(2)=tcos(2t)⇒sin(tA)=sin(2t)I+tcos(2t)(A−2I)= ​sin(2t)00​0sin(2t)0​00sin(2t)​ ​+ ​0tcos(2t)tcos(2t)​0−tcos(2t)−tcos(2t)​0tcos(2t)tcos(2t)​ ​= ​sin(2t)tcos(2t)tcos(2t)​0sin(2t)−tcos(2t)tcos(2t)​0tcos(2t)sin(2t)+tcos(2t)​ ​​