层次分析法简介
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种多准则决策方法，用于解决复杂的决策问题。它是由美国数学家托马斯·萨亚基（Thomas L. Saaty）于20世纪70年代提出的。其基本思想是将复杂的决策问题分解为层次结构，通过对准则和方案进行定量和定性的比较，最终得出最佳决策。层次结构由准则层、子准则层和方案层组成，准则层表示决策问题的目标和标准，子准则层表示实现目标的具体要素，方案层表示可选的决策方案。在AHP中，通过构建判断矩阵来比较准则和方案之间的重要性。判断矩阵是一个方阵，其中每个元素表示两个准则或方案之间的比较结果。通过对准则和方案进行两两比较，可以得到判断矩阵。然后，通过计算判断矩阵的特征向量，可以得出准则和方案的权重，用于进行综合决策。在进行判断矩阵的构建和权重计算时，AHP还考虑了一致性的问题。一致性是指比较结果的合理性和稳定性。AHP通过计算一致性指标和一致性比率来检验判断矩阵的一致性，确保比较结果的可靠性。AHP可以应用于各种决策问题，例如项目选择、投资决策、供应商选择、产品评估等。它提供了一种系统化和结构化的方法，帮助决策者在面对复杂的决策问题时做出明智的选择。
题目举例
请为大学毕业的青年建立一个选择志愿的层次结构模型.
解题步骤
Ⅰ、建立层次结构
首先对题目进行问题分析并搜索多方面资料对问题进行回答。
1.为什么要选择志愿？（目标层）
为同学选择最合适的发展路线。
2.有什么因素影响志愿选择？（准则层）
经济情况、学习情况、兴趣情况、性格情况、家庭情况。
3.选择的志愿类型有哪些？（方案层）
工作、考公、读研、创业。
建立层次结构图如下：
图1-1 层次结构图
Ⅱ、构造判断矩阵
我们的解题目标为填写出权重表格。
假设各准则之间相互独立。
图2-1 权重表格
通过进行各准则与各方案的关系判断矩阵求出权重比例。构造空白目标判断矩阵如下：
图2-2 判断矩阵O-C
空白处为各准则之间的比例关系。通过简单的分治策略可以轻松求出。这里以经济和学习进行举例。
eg:
重要程度表如下:
图2-3 重要程度表
根据重要程度表进行专家判断得出判断矩阵如下：
图2-4 判断矩阵O-C
图2-5 判断矩阵C-P
Ⅲ、一致性检验
对所有判断矩阵进行一致性检验通过后才能进行求权重。
首先需要了解两个概念：
①矩阵中的所有元素均大于0且满足Aij*Aji=1,即正互反矩阵。
②在正互反矩阵中满足Aij*Ajk=Aik,即一致矩阵。
以图2-5中C1-P举例，当i=1,j=2,k=4时：
图3-1 判断矩阵C1-P
即①条件满足。
*一致矩有一个特征值为n,其余为0。
即②条件满足。
接下来进行一致性检验：
1.计算一致性指标CI
其中：n为矩阵的阶，λmax为矩阵最大特征值。
clear;clc
disp('判断矩阵A： ')
A = [1 1/2 2 1 2;
2 1 4 2 1;
1/2 1/4 1 1/2 1/4;
1 1/2 2 1 1/2;
1/2 1 4 2 1]
[row,col] = size(A);
[V,D] = eig(A);
% 求最大特征值
MAX_D = max(max(D));
CI = (MAX_D - row) / (row - 1)CI = 0.0613
2.查找对应的平均随机一致性指标RI
平常n大多小于10,如果超过10可以考虑建立二级指标体系。
3.计算一致性比例CR
如果CR<0.1,则可认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要对判断矩阵进行修正。
clear;clc
disp('判断矩阵A： ')
A = [1 1/2 2 1 2;
2 1 4 2 1;
1/2 1/4 1 1/2 1/4;
1 1/2 2 1 1/2;
1/2 1 4 2 1]
[row,col] = size(A);
[V,D] = eig(A);
% 求最大特征值
MAX_D = max(max(D));
CI = (MAX_D - row) / (row - 1);
CR = CI / 1.12
if CR < 0.1
disp('True')
else
disp('False')
endCR = 0.0548 True
Ⅳ、合成权重
权重合成方法有三种：算数平均值法、几何平均值法、特征值法。
1.算数平均值法
clear;clc
disp('判断矩阵A： ')
A = [1 1/2 2 1 2;
2 1 4 2 1;
1/2 1/4 1 1/2 1/4;
1 1/2 2 1 1/2;
1/2 1 4 2 1]
%% 方法1：算术平均法求权重
% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
Sum_col_A = sum(A);
% 求出A的行列大小
[row,col] = size(A);
% 构造出中间矩阵
Temp_A = repmat(Sum_col_A,row,1);
clc;
% 得出答案
Stand_A = A ./ Temp_A;
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可
% 第二步：将归一化的各列相加
Stand_SUM_A = sum(Stand_A,2);
% 第三步：将得到的向量点除阶数得到权重
ans_A = Stand_SUM_A ./ row;
ans_A.'
% 检验求出的矩阵和是否为一，为一表示正确
if sum(ans_A) == 1
disp("True")
else
disp("False")
end// 得出权重 ans_A.' = [0.2165 0.3067 0.0767 0.1534 0.2467]
2.几何平均值法
clear;clc
disp('判断矩阵A： ')
A = [1 1/2 2 1 2;
2 1 4 2 1;
1/2 1/4 1 1/2 1/4;
1 1/2 2 1 1/2;
1/2 1 4 2 1]
%% 方法2：几何平均法求权重
% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
Prduct_A = prod(A,2)
% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
% 求出A的行列大小
[row,col] = size(A);
Prduct_row_A = Prduct_A .^ (1/row)
% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 即将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和
ans_A = Prduct_row_A ./ sum(Prduct_row_A)
% 检验求出的矩阵和是否为一，为一表示正确
if sum(ans_A) == 1
disp("True")
else
disp("False")
end// 得出权重 ans_A.' = [0.2083 0.3157 0.0789 0.1578 0.2393]
3.特征值法
clear;clc
disp('判断矩阵A： ')
A = [1 1/2 2 1 2;
2 1 4 2 1;
1/2 1/4 1 1/2 1/4;
1 1/2 2 1 1/2;
1/2 1 4 2 1]
%% 方法3：特征值法
% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
[V,D] = eig(A);
MAX_D = max(max(D));
[r,c] = find(D == MAX_D,1);
% 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
ans_A = V(:,1) ./ sum(V(:,1))
% 检验求出的矩阵和是否为一，为一表示正确
if sum(ans_A) == 1
disp("True")
else
disp("False")
end// 得出权重 ans_A.' = [0.2223 0.3059 0.0765 0.1530 0.2424]
Ⅴ、得出权重表
根据判断矩阵和准则权重得出答案。
clear;clc;
% 三种方法得出的权重矩阵
weight_1 = [0.2165 0.3067 0.0767 0.1534 0.2467];
weight_2 = [0.2083 0.3157 0.0789 0.1578 0.2393];
weight_3 = [0.2223 0.3059 0.0765 0.1530 0.2424];
% C-P矩阵
C1 = [1 1/2 1 1/2;
2 1 2 1;
1 1/2 1 1/2;
2 1 2 1;];
C2 = [1 1/2 1/2 1/2;
2 1 1 1/2;
2 1 1 1/2;
2 2 2 1;];
C3 = [1 4 4 4;
1/4 1 1 1;
1/4 1 1 1;
1/4 1 1 1;];
C4 = [1 1/2 2 2;
2 1 4 4;
1/2 1/4 1 1;
1/2 1/4 1 1;];
C5 = [1 1 1/2 1/4;
1 1 1/2 1/4;
2 2 1 1/2;
4 4 2 1;];
% 求权重
disp('算数平均值求解答案：')
C1_weight = C1(:,1) .* weight_1;
C1_weight = C1_weight(:,1)
C2_weight = C2(:,1) .* weight_1;
C2_weight = C2_weight(:,1)
C3_weight = C3(:,1) .* weight_1;
C3_weight = C3_weight(:,1)
C4_weight = C4(:,1) .* weight_1;
C4_weight = C4_weight(:,1)
C5_weight = C5(:,1) .* weight_1;
C5_weight = C5_weight(:,1)
disp('几何平均值求解答案：')
C1_weight = C1(:,1) .* weight_2;
C1_weight = C1_weight(:,1)
C2_weight = C2(:,1) .* weight_2;
C2_weight = C2_weight(:,1)
C3_weight = C3(:,1) .* weight_2;
C3_weight = C3_weight(:,1)
C4_weight = C4(:,1) .* weight_2;
C4_weight = C4_weight(:,1)
C5_weight = C5(:,1) .* weight_2;
C5_weight = C5_weight(:,1)
disp('特征值求解答案：')
C1_weight = C1(:,1) .* weight_3;
C1_weight = C1_weight(:,1)
C2_weight = C2(:,1) .* weight_3;
C2_weight = C2_weight(:,1)
C3_weight = C3(:,1) .* weight_3;
C3_weight = C3_weight(:,1)
C4_weight = C4(:,1) .* weight_3;
C4_weight = C4_weight(:,1)
C5_weight = C5(:,1) .* weight_3;
C5_weight = C5_weight(:,1)根据答案填写权重表。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-799137.html
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