GAN的损失函数-Toy模板网

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1.GAN

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在训练过程中，生成器和判别器的目标是相矛盾的，并且这种矛盾可以体现在判别器的判断准确性上。生成器的目标是生成尽量真实的数据，最好能够以假乱真、让判别器判断不出来，因此生成器的学习目标是让判别器上的判断准确性越来越低；相反，判别器的目标是尽量判别出真伪，因此判别器的学习目标是让自己的判别准确性越来越高。

当生成器生成的数据越来越真时，判别器为维持住自己的准确性，就必须向辨别能力越来越强的方向迭代。当判别器越来越强大时，生成器为了降低判别器的判断准确性，就必须生成越来越真的数据。在这个奇妙的关系中，判别器判断的准确性由GAN论文中定义的特殊交叉熵 $V$ 来衡量，判别器与生成器共同影响交叉熵 $V$ ，同时训练、相互内卷，对该交叉熵的控制时此消彼长的，这是真正的零和博弈。

2. 特殊交叉熵 V V V

在生成器与判别器的内卷关系中，GAN的特殊交叉熵公式如下：
$V(D,G)=\frac1m\sum_{i=1}^{m}[\log D(x_i) +\log(1-D(G(z_i)))]$
其中，字母 $V$ 是原始GAN论文中指定用来表示该交叉熵的字母，对数 $\log$ 的底数为自然底数 $e$ ， $m$ 表示共有 $m$ 个样本，因此以上表达式是全部样本交叉的均值表达式。
除此之外， $x_i$ 表示任意真实数据， $z_i$ 与真实数据相同结构的任意随机数据， $G(z_i)$ 表示在生成器中基于 $z_i$ 生成的假数据，而 $D(x_i)$ 表示判别器在真实数据 $x_i$ 上判断出的结果， $D(G(z_i))$ 表示判别器在假数据 $G(z_i)$ 上判断出的结果，其中 $D(x_i)$ 与 $D(G(z_i))$ 都是样本为“真”的概率，即标签为 $1$ 的概率。

在原始论文中，这一交叉熵被认为是一种“损失”，但它有两个特殊之处：

不同于二分类交叉熵等常见的损失函数，损失 $V$ 上不存在最小值，反而存在最大值。具体来看， $D(x_i)$ 与 $D(G(z_i))$ 都是概率，因此这两个值的范围都在 $(0, 1)$ 之间。对于底数为 $e$ 的对数函数来说，在定义域为 $(0, 1)$ 之间意味着函数的值为 $(-\infty,0)$ 。因此理论上来说，损失 $V$ 的值域也在 $(-\infty,0)$ 。
损失 $V$ 在判别器的判别能力最强时达到最大值，这就是说判别器判断得越准确时，损失反而越大，这违背我们对普通二分类网络中的损失函数的期待。但我们从判别器和生成器角度分别来看待公式 $V$ ，则可以很快理解这一点。

不难发现，在 $V$ 的表达式中，两部分对数都与判别器 $D$ 有关，而只有后半部分的对数与生成器 $G$ 有关。因此我们可以按如下方式分割损失函数：
对判别器：
$Loss_D=\frac1m\sum_{i=1}^m[\log D(x_i) +\log(1-D(G(z_i)))]$
从判别器的角度来看，由于判别器希望自己尽量能够判断正确，而输出概率又是“数据为真”的概率，所以最佳情况就是所有的真实样本上的输出 $D(x_i)$ 都无比接近 $1$ ，而所有的假样本上的输出 $D(G(z_i))$ 都无比接近 $0$ 。因此对判别器来说，最佳损失值是：
$Loss_D=\frac1m\sum_{i=1}^m[\log D(x_i) +\log(1-D(G(z_i)))]= \frac1m\sum_{i=1}^m[\log 1+\log (1-0)]= 0$
这说明判别器希望以上损失 $Loss_D$ 越大越好，且最大值理论上可达 $0$ ，且判别器追求大 $Loss_D$ 的本质是令 $D (x)$ 接近 $1$ ，令 $D (G (z))$ 接近 $0$ 。不难发现，对判别器而言， $V$ 更像是一个存在上限的积极的指标（比如准确率）。

而从生成器的角度来看，生成器无法影响 $D(x_i)$ ，只能影响 $D(G(z_i))$ ，因此只有损失的后半段与生成器相关。因此对生成器：
$Loss_G=\frac1m\sum_{i=1}^m[常数+\log(1-D(G(z_i)))]$
生成器的目标是令输出的数据越真越好，最好让判别器完全判断不出，因此生成器希望 $D(G(z_i))$ 越接近 $1$ 越好。因此对生成器来说，最佳损失是（去掉常数项）：
$Loss_G=\frac1m\sum_{i=1}^m\log(1-D(G(z_i)))= \log(1-1)= -\infty$
这说明生成器希望以上损失 $Loss_G$ 越小越好，且最小理论值可达负无穷，且生成器追求小 $Loss_G$ 的本质是令 $D (G (z))$ 接近 $1$ 。对生成器而言， $V$ 更像是一个损失，即算法表现越好，该指标的值越低。从整个生成对抗网络的角度来看，我们（使用者）的目标与生成器的目标相一致，因此对我们而言， $V$ 被定义为损失，它应该越低越好。

在原始论文当中，该损失 $V$ 被表示为如下形式：
$\min \limits_G \max \limits_D V(D, G)=\mathbb{E}_{x \sim{P_{data}} (x)} [\log D(x)] + \mathbb{E}_{z \sim{P _{z}}(z)}[\log (1 - D(G(z)))]$
即先从判别器的角度令损失最大化，又从生成器的角度令损失最小化，即可让判别器和生成器在共享损失的情况下实现对抗。其中 $\mathbb{E}$ 表示期望，第一个期望 $\mathbb{E}_{x \sim{P_{data}} (x)} [\log D(x)]$ 是所有 $x$ 都是真实数据时 $\log D(x)$ 的期望；第二个期望 $\mathbb{E}_{z \sim{P _{z}}(z)}[\log (1 - D(G(z)))]$ 是所有数据都是生成数据时 $\log (1 - D(G(z)))$ 的期望。当真实数据、生成数据的样本点固定时，期望就等于均值。
如此，通过共享以上损失函数，生成器与判别器实现了在训练过程中互相对抗， $\min \limits_G \max \limits_D V(D, G)$ 的本质就是最小化 $Loss_G$ 的同时最大化 $Loss_D$ 。并且，在最开始训练时，由于生成器生成的数据与真实数据差异很大，因此 $D(x_i)$ 应该接近 $1$ ， $D(G(z_i))$ 应该接近 $0$ 。理论上来说，只要训练顺利，最终 $D(x_i)$ 和 $D(G(z_i))$ 都应该非常接近 $0.5$ ，但实际上这样的情况并不常见。