点云配准--gicp原理与其在pcl中的使用-Toy模板网

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总结：gicp引入了概率信息（使用协方差阵），提出了icp的统一模型，既可以解释点到点和点到面的icp，也在新模型理论的基础上，提出了一种面到面的icp。
论文原文：《Generalized-ICP》

gicp统一模型（Generalized-ICP）

在概率模型中假设存在配准中两个点集, $\hat{A}=\left\{\hat{a_{i}}\right\}$ and $\hat{B}=\left\{\hat{b_{i}}\right\}$ ,并且假设 $A$ and $B$ 分别服从 $a_{i} \sim \mathcal{N}\left(\hat{a_{i}}, C_{i}^{A}\right)$ and $b_{i} \sim \mathcal{N}\left(\hat{b}_{i}, C_{i}^{B}\right)$ 正态分布. $\left\{C_{i}^{A}\right\}$ and $\left\{C_{i}^{B}\right\}$ 分别是点对应的协方差阵. 我们假设以及匹配完成，假设变换矩阵为 $\mathbf{T}^{*}$ , 因此：
$\hat{b}_{i}=\mathbf{T}^{*} \hat{a}_{i}\tag{1}$
对于变换矩阵, $\mathbf{T}$ , 定义误差量 $d_{i}^{(\mathbf{T})}= b_{i}-\mathbf{T} a_{i}$ , 因为假设 $a_{i}$ and $b_{i}$ 服从正态分布（NDT也是假设服从正态分布），因此 $d_{i}^{\left(\mathrm{T}^{*}\right)}$ 也服从正态分布：
$\begin{aligned} d_{i}^{\left(\mathbf{T}^{*}\right)} & \sim \mathcal{N}\left(\hat{b}_{i}-\left(\mathbf{T}^{*}\right) \hat{a}_{i}, C_{i}^{B}+\left(\mathbf{T}^{*}\right) C_{i}^{A}\left(\mathbf{T}^{*}\right)^{T}\right) \\ &=\mathcal{N}\left(0, C_{i}^{B}+\left(\mathbf{T}^{*}\right) C_{i}^{A}\left(\mathbf{T}^{*}\right)^{T}\right) \end{aligned}\tag{2}$

使用最大似然估计（ MLE）计算 $\mathbf{T}$ ：
$\mathbf{T}=\underset{\mathbf{T}}{\operatorname{argmax}} \prod_{i} p\left(d_{i}^{(\mathrm{T})}\right)=\underset{\mathbf{T}}{\operatorname{argmax}} \sum_{i} \log \left(p\left(d_{i}^{(\mathrm{T})}\right)\right)\tag{3}$

进一步简化为：（这里从最大似然估计推导，具体过程需要研究）
$\mathbf{T}=\underset{\mathrm{T}}{\operatorname{argmin}} \sum_{i} d_{i}^{(\mathbf{T})^{T}}\left(C_{i}^{B}+\mathbf{T} C_{i}^{A} \mathbf{T}^{T}\right)^{-1} d_{i}^{(\mathbf{T})}\tag{4}$

当：
$C_{i}^{B} = I \\ C_{i}^{A} = 0\tag{5}$
就得到标准ICP:
$\begin{aligned} \mathbf{T} &=\underset{\mathbf{T}}{\operatorname{argmin}} \sum_{i} d_{i}^{(\mathrm{T})^{T}} d_{i}^{(\mathrm{T})} \\ &=\underset{\mathbf{T}}{\operatorname{argmin}} \sum_{i}\left\|d_{i}^{(\mathrm{T})}\right\|^{2} \end{aligned}\tag{6}$
当：
$\begin{aligned} C_{i}^{B} &=\mathbf{P}_{\mathbf{i}}^{-1} \\ C_{i}^{A} &=0 \end{aligned}\tag{7}$
得到点到面的ICP:
$\mathbf{T}=\underset{\mathbf{T}}{\operatorname{argmin}}\left\{\sum_{i}\left\|\mathbf{P}_{\mathbf{i}} \cdot d_{i}\right\|^{2}\right\}\tag{8}$

plane to plane ICP(gicp：相对于点到点和点到面加入概率模型（协方差阵）)

点到平面算法的做法是，假设点云具有平面特征，这意味着在3D空间处理采样2D流形。
由于现实世界的曲面至少是分段可微的，我们可以假设我们的数据集是局部平面的。此外，由于我们从两个不同的角度对流形进行采样，因此通常不会对完全相同的点进行采样（即，对应关系永远不会是精确的）。
本质上，每个测量点仅提供沿其曲面法线的约束。为了对这种结构进行建模，我们考虑每个采样点沿其局部平面以高协方差分布，而在曲面法线方向（垂直于平面方向）以极低协方差分布（即点云分布在局部平面上）。假设局部拟合平面上某一点的法向量e1是沿X轴的,链接1，则该点协方差矩阵变为：
$\left(\begin{array}{lll} \epsilon & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\tag{9}$
$\epsilon$ 是沿着法线方向极小的常数。

因为实际上法向量并不一定是沿x轴方向，所以需要进行坐标转换。假设 $b_i,a_i$ 对应的法向量分别为 $u_i,v_i$ ,则它们对应的协方差阵为：
$\begin{array}{l} C_{i}^{B}=\mathbf{R}_{\mu_{i}} \cdot\left(\begin{array}{ccc} \epsilon & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot \mathbf{R}_{\mu_{i}}^{T} \\ C_{i}^{A}=\mathbf{R}_{\nu_{i}} \cdot\left(\begin{array}{ccc} \epsilon & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot \mathbf{R}_{\nu_{i}}^{T} \end{array}$
$\mathbf{R}_{\nu_{i}}$ 为e1到vi旋转矩阵。
上述协方差计算过程可以表述如下图,链接2：
gicp,点云,点云配准,pcl,概率论,机器学习,人工智能

确定协方差阵后利用公式（4）即为plane to plane ICP或者叫GICP。
这里其实就是怎么确定协方差阵。
显然可以通过pca计算协方差阵（代替上述求解过程）：
$C=\frac{1}{N} \cdot \sum_{i=1}^{N} \cdot\left(p_{i}-\bar{p}\right) \cdot\left(p_{i}-\bar{p}\right)^{T}$
pca求解时要注意公式（4）对协方差有个求逆过程，需要注意当协方差阵奇异时，用微小量替代0值（类似NDT中处理方式）。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-803385.html

PCL中GICP代码应用

#include <pcl/point_types.h>
#include <pcl/point_cloud.h>
#include <pcl/registration/gicp.h>
int gicp(const pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr src_cloud, 
	const pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr tgt_cloud, 
	 pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr transformed_source)
{

	pcl::GeneralizedIterativeClosestPoint<pcl::PointXYZ, pcl::PointXYZ> gicp;
	gicp.setInputSource(src_cloud);
	gicp.setInputTarget(tgt_cloud);
	//gicp.setMaximumIterations(max_iter);
	gicp.align(*transformed_source);
	return 1;
}