数学模型与数学建模（急救版80+）常考知识点(二)

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马尔可夫预测模型（与过去无关）

一、定义

设有随机过程，其中状态空间为

若对任意的正整数，任意 $数学模型与数学建模（急救版80+）常考知识点(二),Matlab必备学习笔记,数学建模,矩阵,线性代数$ 及任意非负整数 $数学模型与数学建模（急救版80+）常考知识点(二),Matlab必备学习笔记,数学建模,矩阵,线性代数$ ，有

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则称为离散时间的马尔可夫链，简称马尔可夫链或马氏链.其中上式表示的性质为马尔可夫性或无后效性. 无后效性的直观意义是：如果把时刻看作现在，那么 $数学模型与数学建模（急救版80+）常考知识点(二),Matlab必备学习笔记,数学建模,矩阵,线性代数$ 是将来的时刻，而 $数学模型与数学建模（急救版80+）常考知识点(二),Matlab必备学习笔记,数学建模,矩阵,线性代数$ 则是以前的时刻，马尔可夫性表示在确切知道系统现在状态的条件下，系统将来状态的概率分布只与现在的状态有关，与之前的状态无关。

二、C-K方程

对于任意的正整数及有：

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根据定理(1.1)C-K方程也可以写成矩阵形式为 $数学模型与数学建模（急救版80+）常考知识点(二),Matlab必备学习笔记,数学建模,矩阵,线性代数$ . 因此，我们有 $数学模型与数学建模（急救版80+）常考知识点(二),Matlab必备学习笔记,数学建模,矩阵,线性代数$ 步转移概率与一步转移概率之间的关系为 $数学模型与数学建模（急救版80+）常考知识点(二),Matlab必备学习笔记,数学建模,矩阵,线性代数$

步转移概率矩阵与一步转移概率矩阵的关系为

三、转移概率

条件概率 $数学模型与数学建模（急救版80+）常考知识点(二),Matlab必备学习笔记,数学建模,矩阵,线性代数$ 称为在时刻系统从状态经过步，转移到状态的步转移概率，记为 $数学模型与数学建模（急救版80+）常考知识点(二),Matlab必备学习笔记,数学建模,矩阵,线性代数$

一般地，转移概率不仅与状态和有关，而且与时刻有关，当与无关时，表明马尔可夫链具有平稳的转移概率，此时称马尔可夫链为（时间）齐次的马尔可夫链，并把记为. 以下以仅讨论齐次的马尔可夫链，通常将“齐次”两字省略. 当时，把记为，称为马尔可夫链的一步转移概率. 若用表示马尔可夫链的步转移概率所组成的矩阵，则称为步转移概率矩阵. 此外，特别地，规定

进一步，当时，一步转移概率组成的矩阵. 显然，转移概率矩阵具有如下性质：

即每个元素为非负

即矩阵每行的元素和为1