矩阵的模和内积

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了矩阵的模和内积。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

模和内积

向量

设存在一个向量 X = { x 1 , x 2 , x 3 … x n } T X=\{x_1,x_2,x_3\dots x_n\}^T X={x1,x2,x3xn}T

P范数
∣ ∣ X ∣ ∣ P = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p p ||X||_P=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}{|x_i|}^p} ∣∣XP=pi=1nxip
1范数(曼哈顿距离)
∣ ∣ X ∣ ∣ 1 = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ ||X||_1=\sum_{i=1}^n|x_i| ∣∣X1=i=1nxi
2范数(欧式距离)
∣ ∣ X ∣ ∣ = ∑ i = 1 n x i 2 ||X||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x_i}^2} ∣∣X∣∣=i=1nxi2
同时2范数记为向量的模,即 ∣ ∣ X ∣ ∣ ||X|| ∣∣X∣∣

正无穷范数
∣ ∣ X ∣ ∣ + ∞ = max ⁡ ( ∣ x i ∣ ) ||X||_{+\infty}=\max(|x_i|) ∣∣X+=max(xi)
负无穷范数
∣ ∣ X ∣ ∣ − ∞ = min ⁡ ( x i ) ||X||_{-\infty}=\min(x_i) ∣∣X=min(xi)
内积

设存在两个向量 X = { x 1 , x 2 , x 3 … x n } T , Y = { y 1 , y 2 , y 3 … y n } T X=\{x_1,x_2,x_3\dots x_n\}^T,Y=\{y_1,y_2,y_3\dots y_n\}^T X={x1,x2,x3xn}T,Y={y1,y2,y3yn}T,则向量 X , Y X,Y X,Y的内积记为 < X , Y > = X T Y <X,Y>=X^TY <X,Y>=XTY

其中 < X , a Y > = a < X , Y > , < X , Y + Z > = < X , Y > + < X , Z > <X,aY>=a<X,Y>,<X,Y+Z>=<X,Y>+<X,Z> <X,aY>=a<X,Y>,<X,Y+Z>=<X,Y>+<X,Z>

矩阵

设存在一个矩阵 A A A
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 m a 21 a 22 ⋯ a 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n m ] A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots& a_{1m}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm} \end{bmatrix} A= a11a21an1a12a22an2a1ma2manm

F范数
∣ ∣ A ∣ ∣ F = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∣ a i j ∣ 2 ||A||_F=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}{|a_{ij}|}^2} ∣∣AF=i=1nj=1maij2
1范数(曼哈顿距离)
∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = max ⁡ j ∑ i = 1 n ∣ a i j ∣ ||A||_1=\max_j\sum_{i=1}^n|a_{ij}| ∣∣A1=jmaxi=1naij
2范数(欧式距离)
∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = λ m a x ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ 2 = 1 λ m i n \begin{aligned} ||A||_2&=\sqrt{\lambda_{max}}\\ ||A^{-1}||_2&=\frac{1}{\sqrt{\lambda_{min}}} \end{aligned} ∣∣A2∣∣A12=λmax =λmin 1
其中 λ m a x \lambda_{max} λmax为矩阵 A T A A^TA ATA的最大的特征值

无穷范数
∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ = max ⁡ i ∑ j = 1 m ( ∣ a i j ∣ ) ||A||_{\infty}=\max_i\sum_{j=1}^{m}(|a_{ij}|) ∣∣A=imaxj=1m(aij)
内积

设存在两个矩阵 A n m , B n t A_{nm},B_{nt} Anm,Bnt,则矩阵 A , B A,B AB的内积记为 < A , B > = A T B <A,B>=A^TB <A,B>=ATB

满足以下条件的集合称为正交集
⟨ u i ∣ u j ⟩ = { 1 when  i = j , 0 when  i ≠ j . \left.\langle\mathbf{u}_i|\mathbf{u}_j\rangle=\left\{\begin{matrix}1&\text{when }i=j,\\0&\text{when }i\neq j.\end{matrix}\right.\right. uiuj={10when i=j,when i=j.
其中来自n维空间含有n个向量的正交集一定是该n纬空间的基,正交集一定是线性无关的

傅里叶表示

B = { u 1 , u 2 , … , u n } \mathcal{B}=\{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\ldots,\mathbf{u}_{n}\} B={u1,u2,,un}是内积空间 V V V 的一个正交基,对每一个 x x x都可以表示为
x = ⟨ u 1 ∣ x ⟩ u 1 + ⟨ u 2 ∣ x ⟩ u 2 + ⋯ + ⟨ u n ∣ x ⟩ u n . \mathbf{x}=\left\langle\mathbf{u}_1|\mathbf{x}\right\rangle\mathbf{u}_1+\left\langle\mathbf{u}_2|\mathbf{x}\right\rangle\mathbf{u}_2+\cdots+\left\langle\mathbf{u}_n|\mathbf{x}\right\rangle\mathbf{u}_n. x=u1xu1+u2xu2++unxun.
这被称为 X X X的傅里叶表示,其 ξ i = ⟨ u i ∣ x ⟩ \xi_i=\left\langle\mathbf{u}_i|\mathbf{x}\right\rangle ξi=uix被称为 X X X B \mathfrak B B下的坐标,他们是傅立叶系数文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-805899.html

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