模和内积
向量
设存在一个向量 X = { x 1 , x 2 , x 3 … x n } T X=\{x_1,x_2,x_3\dots x_n\}^T X={x1,x2,x3…xn}T
P范数
∣
∣
X
∣
∣
P
=
∑
i
=
1
n
∣
x
i
∣
p
p
||X||_P=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}{|x_i|}^p}
∣∣X∣∣P=pi=1∑n∣xi∣p
1范数(曼哈顿距离)
∣
∣
X
∣
∣
1
=
∑
i
=
1
n
∣
x
i
∣
||X||_1=\sum_{i=1}^n|x_i|
∣∣X∣∣1=i=1∑n∣xi∣
2范数(欧式距离)
∣
∣
X
∣
∣
=
∑
i
=
1
n
x
i
2
||X||=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x_i}^2}
∣∣X∣∣=i=1∑nxi2
同时2范数记为向量的模,即
∣
∣
X
∣
∣
||X||
∣∣X∣∣
正无穷范数
∣
∣
X
∣
∣
+
∞
=
max
(
∣
x
i
∣
)
||X||_{+\infty}=\max(|x_i|)
∣∣X∣∣+∞=max(∣xi∣)
负无穷范数
∣
∣
X
∣
∣
−
∞
=
min
(
x
i
)
||X||_{-\infty}=\min(x_i)
∣∣X∣∣−∞=min(xi)
内积
设存在两个向量 X = { x 1 , x 2 , x 3 … x n } T , Y = { y 1 , y 2 , y 3 … y n } T X=\{x_1,x_2,x_3\dots x_n\}^T,Y=\{y_1,y_2,y_3\dots y_n\}^T X={x1,x2,x3…xn}T,Y={y1,y2,y3…yn}T,则向量 X , Y X,Y X,Y的内积记为 < X , Y > = X T Y <X,Y>=X^TY <X,Y>=XTY
其中 < X , a Y > = a < X , Y > , < X , Y + Z > = < X , Y > + < X , Z > <X,aY>=a<X,Y>,<X,Y+Z>=<X,Y>+<X,Z> <X,aY>=a<X,Y>,<X,Y+Z>=<X,Y>+<X,Z>
矩阵
设存在一个矩阵
A
A
A
A
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
m
a
21
a
22
⋯
a
2
m
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
m
]
A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots& a_{1m}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm} \end{bmatrix}
A=
a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1ma2m⋮anm
F范数
∣
∣
A
∣
∣
F
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
∣
a
i
j
∣
2
||A||_F=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}{|a_{ij}|}^2}
∣∣A∣∣F=i=1∑nj=1∑m∣aij∣2
1范数(曼哈顿距离)
∣
∣
A
∣
∣
1
=
max
j
∑
i
=
1
n
∣
a
i
j
∣
||A||_1=\max_j\sum_{i=1}^n|a_{ij}|
∣∣A∣∣1=jmaxi=1∑n∣aij∣
2范数(欧式距离)
∣
∣
A
∣
∣
2
=
λ
m
a
x
∣
∣
A
−
1
∣
∣
2
=
1
λ
m
i
n
\begin{aligned} ||A||_2&=\sqrt{\lambda_{max}}\\ ||A^{-1}||_2&=\frac{1}{\sqrt{\lambda_{min}}} \end{aligned}
∣∣A∣∣2∣∣A−1∣∣2=λmax=λmin1
其中
λ
m
a
x
\lambda_{max}
λmax为矩阵
A
T
A
A^TA
ATA的最大的特征值
无穷范数
∣
∣
A
∣
∣
∞
=
max
i
∑
j
=
1
m
(
∣
a
i
j
∣
)
||A||_{\infty}=\max_i\sum_{j=1}^{m}(|a_{ij}|)
∣∣A∣∣∞=imaxj=1∑m(∣aij∣)
内积
设存在两个矩阵 A n m , B n t A_{nm},B_{nt} Anm,Bnt,则矩阵 A , B A,B A,B的内积记为 < A , B > = A T B <A,B>=A^TB <A,B>=ATB
满足以下条件的集合称为正交集
⟨
u
i
∣
u
j
⟩
=
{
1
when
i
=
j
,
0
when
i
≠
j
.
\left.\langle\mathbf{u}_i|\mathbf{u}_j\rangle=\left\{\begin{matrix}1&\text{when }i=j,\\0&\text{when }i\neq j.\end{matrix}\right.\right.
⟨ui∣uj⟩={10when i=j,when i=j.
其中来自n维空间含有n个向量的正交集一定是该n纬空间的基,正交集一定是线性无关的
傅里叶表示文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-805899.html
若
B
=
{
u
1
,
u
2
,
…
,
u
n
}
\mathcal{B}=\{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\ldots,\mathbf{u}_{n}\}
B={u1,u2,…,un}是内积空间
V
V
V 的一个正交基,对每一个
x
x
x都可以表示为
x
=
⟨
u
1
∣
x
⟩
u
1
+
⟨
u
2
∣
x
⟩
u
2
+
⋯
+
⟨
u
n
∣
x
⟩
u
n
.
\mathbf{x}=\left\langle\mathbf{u}_1|\mathbf{x}\right\rangle\mathbf{u}_1+\left\langle\mathbf{u}_2|\mathbf{x}\right\rangle\mathbf{u}_2+\cdots+\left\langle\mathbf{u}_n|\mathbf{x}\right\rangle\mathbf{u}_n.
x=⟨u1∣x⟩u1+⟨u2∣x⟩u2+⋯+⟨un∣x⟩un.
这被称为
X
X
X的傅里叶表示,其
ξ
i
=
⟨
u
i
∣
x
⟩
\xi_i=\left\langle\mathbf{u}_i|\mathbf{x}\right\rangle
ξi=⟨ui∣x⟩被称为
X
X
X 在
B
\mathfrak B
B下的坐标,他们是傅立叶系数文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-805899.html
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