目录
1 函数与 向量/矩阵
2 初等数学的函数
2.1 函数
2.2 函数的定义：定义域 →映射→ 值域
3 高等数学里的函数：定义域和陪域/到达域（非值域）的映射关系
3.1 函数
3.2 单射，满射，双射等都是针对定义域 和 陪域的
3.3 易错地方：值域较小且是被决定的
3.4 单射，满射，双射
4 函数和反函数 → 矩阵和逆矩阵
4.1 函数和反函数
4.2 矩阵和逆矩阵 （待完善）
1 函数与 向量/矩阵
下面两者形式类似，本质也类似
- 函数的： ax=y ，常规函数里，a,x,y 一般都是单个数
- 矩阵： AX=Y ， 矩阵乘法，这里 A,x,y 一般都是向量/矩阵
- 线性代数，就是处理 数组和矩阵（数组的数组）的学科
2 初等数学的函数
2.1 函数
形如 ax=y=f(x)的就是函数
- 自变量 input：x ，原像
- 因变量 output：y=f(x) ，像
- 函数/变化规则/映射法则 function ：f
- 定义域domain： 自变量x的取值范围就是定义域，集合x
- 值域 range： 因变量f(x)=y 的取值范围就是值域, 所有x的像的集合？
2.2 函数的定义：定义域 →映射→ 值域
从映射的角度来看，定义域，值域
- 函数定义域里的每个值x，必须有且只有一个值y与之对应
- 每个x不能是0个y对应
- 每个x都必须对应1个y
- 每个x不能对应多个y
- 函数值域里的每个值y，必须有一个定义域的x与之对应
- 每个y都有1个x对应
- 有的y可能都多个x对应到它
如果从图形上来说
- 函数f(x) 是从定义域 → 值域
- 下面定义域里打叉×的点都是错的
- 下面值域里打叉×的点都是错的
3 高等数学里的函数：定义域和陪域/到达域（非值域）的映射关系
3.1 函数
形如 ax=y=f(x)的就是函数
- 自变量 input：x ，原像
- 因变量 output：y=f(x) ，像
- 函数/变化规则/映射法则 function ：f
- 定义域domain： 自变量x的取值范围就是定义域，集合x
- 值域 range： 因变量f(x)=y 的取值范围就是值域, 所有x的像的集合？
- 陪域/ 到达域codomain ：因变量f(x)=y 可能的范围，集合y
3.2 单射，满射，双射等都是针对定义域 和 陪域的
- 理清概念
- 这个只针对 定义域 → 陪域/到达域
- 不针对 定义域 → 值域
- 就这么简单粗暴
- 前面的函数的映射定义，可能算初等数学的把
- 这个加入了 陪域/到达域的映射定义，可能算高等函数的把
3.3 易错地方：值域较小且是被决定的
- 定义域，值域取值范围都选 R 或者 R+
- 而值域，一般不存在选范围的问题，因为是同感 y=f(x) 一一映射决定的，一般肯定都是R的一个较小的子集！！
比如提前一个例题
- 为什么y=x^2 不是满射，因为都是针对 定义域 R→ 陪域/到达域R，而值域是R+，因此不是满射
3.4 单射，满射，双射
- 非函数： 定义域里有的x对应了多个y，这种情况还是非函数
- 单射： 定义域里的每个x 都有唯一的y对应。（但是有的y可能没有x对应）
- 非单射： 定义域里的每个x 都有y对应，但是可能对应相同的y
- 满射： 到达域里（非值域）的每个y 都有x对应 （但是有的y可能对应的2个x）
- 非满射： 到达域里（非值域）不是每个y 都有x对应，有些y值没有x映射
- 特例
- 双射： 定义域中的x 和值域中y 分别一一对应
- 双射的意义，只有满秩的双射矩阵，一定可逆矩阵(见下面)
- 单射非满射： 普通单射，只单射，不满射
- 单射&满射： 双射
- 非单射&满射：
- 非单射&非满射：
4 函数和反函数 → 矩阵和逆矩阵
双射的意义，只有满秩的双射矩阵，一定可逆矩阵(见下面)
- 普通函数，直接让y 映射到x，很可能就不是函数
- 下面图可以看到，直接让y 映射到x，很可能1个y会映射多个x，这样就不是函数
4.1 函数和反函数
如果一个函数 y=f(x)=ax 反过来 x=f(y)文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-806823.html
- 如果x和y调换，如果不是满射，反过来就不是单射，函数就不存在反函数
- 所以 函数必须是 双射，这个函数才会有反函数。
- 双射的函数，一定有反函数，见下图
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-806823.html
4.2 矩阵和逆矩阵 （待完善）
- 同理，矩阵必须是满秩的，才会有逆矩阵
- 详细的需要写
到了这里，关于线性代数的学习和整理13: 定义域，值域，到达域 和单射，满射，双射，反函数，逆矩阵的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
