Leetcode 3007. Maximum Number That Sum of the Prices Is Less Than or Equal to K

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  • Leetcode 3007. Maximum Number That Sum of the Prices Is Less Than or Equal to K
    • 1. 解题思路
    • 2. 代码实现
  • 题目链接:3007. Maximum Number That Sum of the Prices Is Less Than or Equal to K

1. 解题思路

这一题我的思路上就是一个二分的思路,先确定一个上下界,然后不断通过二分来找到最大的price不超过k的值。

因此,剩下的问题就在于对于任何一个给定的 n n n,如果确定 ∑ i = 1 n p ( i ) \sum\limits_{i=1}^{n}p(i) i=1np(i)的结果。

这里,我们使用的是一个迭代的结果,我们将所有数用二进制进行表示,考察 n n n的最大一位(不妨设为第 k k k位),如果这个位刚好是 x x x的整数倍且为 1 1 1,那么考察 2 k − 1 2^{k-1} 2k1 n n n的这段区间,其贡献的price就是 n − 2 k − 1 + 1 n-2^{k-1}+1 n2k1+1联合上 ∑ i = 2 k − 1 n p ( i − 2 2 k − 1 ) \sum\limits_{i=2^{k-1}}^{n} p(i - 2^{2^{k-1}}) i=2k1np(i22k1)的部分,以及剩下的 1 1 1 2 k − 1 − 1 2^{k-1}-1 2k11的部分。

同样的,如果最高位不为 x x x的整倍数,那么直接忽略掉最高位,结果就是 ∑ i = 2 k − 1 n p ( i − 2 2 k − 1 ) \sum\limits_{i=2^{k-1}}^{n} p(i - 2^{2^{k-1}}) i=2k1np(i22k1)的部分与剩下的 1 1 1 2 k − 1 − 1 2^{k-1}-1 2k11的部分之和。

我们将其翻译为代码语言即可。

2. 代码实现

给出python代码实现如下:

class Solution:
    def findMaximumNumber(self, k: int, x: int) -> int:
        
        @lru_cache(None)
        def dp(num):
            s = bin(num)[2:]
            n = len(s)
            if n < x or num == 0:
                return 0
            a, b = num ^ (1 << (n-1)), 1<<(n-1)
            if n % x == 0:
                return a+1 + dp(num-b) + dp(b-1)
            else:
                return dp(num-b) + dp(b-1)
            
        i, j = 0, 10**16
        while j - i > 1:
            m = (i+j) // 2
            if dp(m) > k:
                j = m
            else:
                i = m
        return i

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