6.1 二次型与对称矩阵
6.1.1 二次型及其矩阵
定义：n个变量的二次齐次函数
称为的一个n元二次型，简称为二次型
二次型转换为矩阵表达式：
1）平方项的系数直接作为主对角元素
2）交叉项的系数除以2放两个对称的相应位置上
二次型的矩阵一定是对称的
二次型的标准形对应的矩阵是一个对角形矩阵，其秩为主对角线上非零元的个数
矩阵表达式写为二次型：
1）主对角线元素直接作为平方项的系数
2）取主线右上角元素乘以2作为交叉项系数
定义：称形成为
的二次型为标准形
6.1.2 线性替换
定理：二次型经过线性替换后，得到以为矩阵的新二次型
6.1.3 矩阵的合同
定义：设A和B是两个n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵C，使得，则称矩阵A合同于矩阵B，或A与B合同，记作
性质：
1）反身性：
2）对称性：若,则
3）传递性：若,则
4）若，则
5）若，则的充要条件是
6）若，则当A，B可逆时，有
7) 若，则
6.2 化二次型为标准型
6.2.1 化二次型为标准形的方法
1. 配方法
定理：任意一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形
定理：任意一个对称矩阵都与一个对角形矩阵合同
2. 初等变换法
注：1）对A、E做同样的初等列变换
2）只对A左相应的初等行变换
3）A化成对角矩之时，E化成的就是C
3. 正交替换法
定理：对于n元二次型，必存在正交矩阵Q，使得经正交替换化为标准形：
其中是二次型f(X)的矩阵A的全部特征值。
6.2.2 二次型的规范形
定义：如果一个n元二次型的标准形为
6.3 二次型与对称矩阵的有定性
6.3.1 二次型与对称举证有定性的概念
正定：
半正定：
负定：
半负定：
6.3.2 二次型与对称矩阵有定性的判别法
定理：正定二次型经过任一非退化线性替换仍化为正定二次型
定理： n元二次型正定的充要条件是它的标准形为，其中
推论：n元二次型正定的充要条件是它的正惯性指数为n
推论：若A为正定矩阵，则
定理：n阶对称矩阵A正定的充要条件是A的n个特征值都大于零
定理：对称矩阵正定的充要条件是A的各阶顺序主子式
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