【数据结构与算法】1.时间复杂度和空间复杂度-Toy模板网

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时间和空间复杂度

1. 算法效率

算法效率分为两种：第一种是时间效率；第二种是空间效率。时间效率又称为时间复杂度，而空间效率又称为空间复杂度。时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度衡量一个算法所需要的额外空间。

在计算机的发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到很高的程度。所以我们如今不需要特别关注空间复杂度。

2. 时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间。应该算法所花费的时间与其中语句执行次数成正比。算法的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

2.2 大O渐进表示法

// 请计算一下func1基本操作执行了多少次？
void func1(int N){
     int count = 0;
     for (int i = 0; i < N ; i++) {
         for (int j = 0; j < N ; j++) {
                count++;
            }
     }
     for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
          count++;
     }
     int M = 10;
     while ((M--) > 0) {
          count++;
     }
     System.out.println(count);
}

Func1 执行的基本次数：F(N) = N² +2 * N + 10

N = 10, F(N) = 130;
N = 100, F(N) = 10210;
N = 1000, F(N) = 1002010;

在实际上我们计算机时间复杂度的，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么我们使用大O渐进表示法。

大O符号：是用于描述函数的渐进行为的数学符号。

2.3 推导大O阶方法

用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N²)

N = 10, F(N) = 100
N = 100 ,F(N) = 1000
N = 1000, F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大0渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项。简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况。

2.4 常见的时间复杂度

【例子1】：

// 计算func2的时间复杂度？
void func2(int N) {
   int count = 0;
   for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
       count++;
  }
   int M = 10;
   while ((M--) > 0) {
       count++;
  }
   System.out.println(count);
}
/*
	func2基本操作执行次数 2N + 10次
	时间复杂度：O(N)
*/

【例子2】：

// 计算func3的时间复杂度？
void func3(int N, int M) {
   int count = 0;
   for (int k = 0; k < M; k++) {
       count++;
  }
   for (int k = 0; k < N ; k++) {
       count++;
  }
   System.out.println(count);
}
/*	
	func3基本操作次数 M + N 次
	时间复杂度：0(M + N)
*/

【例子3】：

// 计算func4的时间复杂度？
void func4(int N) {
   int count = 0;
   for (int k = 0; k < 100; k++) {
       count++;
  }
   System.out.println(count);
}
/*
	func4基本操作次数 100次
	时间复杂度：O(1)
*/

【例子4】：

// 计算bubbleSort的时间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
   for (int end = array.length; end > 0; end--) {
       boolean sorted = true;
       for (int i = 1; i < end; i++) {
           if (array[i - 1] > array[i]) {
               Swap(array, i - 1, i);
               sorted = false;
          }
      }
   if (sorted == true) {
       break;
   }
 }
/*
	bubbleSort的最好情况为N次，最坏情况为(N * (N - 1) / 2)
	时间复杂度为：O(N ^ 2)
*/

【例子5】：

// 计算binarySearch的时间复杂度？
int binarySearch(int[] array, int value) {
   int begin = 0;
   int end = array.length - 1;
   while (begin <= end) {
       int mid = begin + ((end-begin) / 2);
       if (array[mid] < value)
           begin = mid + 1;
       else if (array[mid] > value)
           end = mid - 1;
       else
           return mid;
  }
   return -1;
}
/*
	binarySearch的时间复杂度:O(longN)
*/

【例子6】：

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
	return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}
/*
	factorial基本操作递归了N次
	时间复杂度为O(N)。
*/

【例子7】：

// 计算斐波那契递归ﬁbonacci的时间复杂度？
int ﬁbonacci(int N) {
	return N < 2 ? N : ﬁbonacci(N-1)+ﬁbonacci(N-2);
}
/*
	ﬁbonacci基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)
*/

3. 空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

【例子1】：

// 计算bubbleSort的空间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
   for (int end = array.length; end > 0; end--) {
       boolean sorted = true;
       for (int i = 1; i < end; i++) {
           if (array[i - 1] > array[i]) {
               Swap(array, i - 1, i);
               sorted = false;
          }
      }
      if (sorted == true) {
           break;
      }
  }
}
/*
	bubbleSort使用了常数个额外空间
	空间复杂度为 O(1)
*/

【例子2】：

// 计算ﬁbonacci的空间复杂度？
int[] ﬁbonacci(int n) {
   long[] ﬁbArray = new long[n + 1];
   ﬁbArray[0] = 0;
   ﬁbArray[1] = 1;
   for (int i = 2; i <= n ; i++) {
       ﬁbArray[i] = ﬁbArray[i - 1] + ﬁbArray [i - 2];
   }
   return ﬁbArray;
}
/*
	ﬁbonacci动态开辟了N个空间
	空间复杂度为 O(N)
*/

【例子3】：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-809504.html

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long factorial(int N) {
    return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}
/*
	factorial递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。
	空间复杂度为O(N)
*/