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目录 第一章 行列式 1.1 行列式的几何意义 1.2 什么是线性相关，线性无关 1.3 行列式几何意义 1.4 行列式求和 1.5 行列式其他性质 1.6 余子式 1.7 对角线行列式 1.8 分块行列式 1.9 范德蒙德行列式 1.10 爪形行列式的计算 第二章 矩阵 2.1 初识矩阵 2.1.1 矩阵的概念 1.1.2 矩阵的运算规
前置定义 1（基变换公式、过渡矩阵） 设 α 1 , ⋯ , α n boldsymbol{alpha}_1,cdots,boldsymbol{alpha}_n α 1 , ⋯ , α n 及 β 1 , ⋯ , β n boldsymbol{beta}_1,cdots,boldsymbol{beta}_n β 1 , ⋯ , β n 是线性空间 V n V_n V n 中的两个基， { β 1 = p 11 α 1 + p 21 α 2 + ⋯ + p n 1 α n β 2
性质 1 设 n n n 阶矩阵 A = ( a i j ) boldsymbol{A} = (a_{ij}) A = ( a ij ) 的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ，则 λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ∣ A ∣ lambda_1 lambda_2 cdots lambda_n = |boldsymbol{A}| λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ∣ A ∣ 。 证明 不妨设
性质 1 若 λ lambda λ 是 A boldsymbol{A} A 的特征值，当 A boldsymbol{A} A 可逆时， 1 λ frac{1}{lambda} λ 1 是 A − 1 boldsymbol{A}^{-1} A − 1 的特征值。 证明 因为 λ lambda λ 是 A boldsymbol{A} A 的特征值，所以有 p ≠ 0 boldsymbol{p} ne 0 p = 0 使 A p = λ p boldsymbol{A} boldsymbol{p} = lambda
定理 1 设 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ m lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_m λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ m 是方阵 A boldsymbol{A} A 的 m m m 个特征值， p 1 , p 2 , ⋯ , p m boldsymbol{p}_1,boldsymbol{p}_2,cdots,boldsymbol{p}_m p 1 , p 2 , ⋯ , p m 依次是与之对应的特征向量，如果 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ
性质 1 设 n n n 阶矩阵 A = ( a i j ) boldsymbol{A} = (a_{ij}) A = ( a ij ) 的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ，则 λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n lambda_1 + lambda_2 + cdots + lambda_n = a_{11} + a_{22} + cdots + a_{nn} λ 1 + λ 2
继向量的学习后，一鼓作气，把线性方程组也解决了去。O.O 方程组 称为 n n n 元齐次线性方程组。 方程组 称为 n n n 元非齐次线性方程组。 方程组（I）又称为方程组（II）对应的齐次线性方程组或导出方程组。 方程组（I）和方程组（II）分别称为齐次线性方程组和非齐次线
承接前文，继续学习线性方程组的内容，从方程组的通解开始。 （1）基础解系 —— 设 r ( A ) = r n r(A)=rn r ( A ) = r n ，则 A X = 0 pmb{AX=0} A X = 0 所有解构成的解向量组的极大线性无关组称为方程组 A X = 0 pmb{AX=0} A X = 0 的一个基础解系。基础解系中所含有的线性无关的解向量的个
了解了关于二次型的基本概念以及梳理了矩阵三大关系后，我们继续往后学习二次型的内容。 定理 1 —— （标准型定理）任何二次型 X T A X pmb{X}^Tpmb{AX} X T A X 总可以经过可逆的线性变换 X = P Y pmb{X=PY} X = P Y ，即 P pmb{P} P 为可逆矩阵，把二次型 f ( X ) f(pmb{X}) f ( X ) 化为标准
参考视频：https://www.bilibili.com/video/BV1Vg41197ew/?vd_source=7a1a0bc74158c6993c7355c5490fc600 参考资料(半正定矩阵的定义)：https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%8A%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5/2152711?fr=ge_ala 看看半正定矩阵的定义： 正定矩阵是 0，半正定矩阵是 = 0 根据定义来看，半正定矩阵也有 “实
