图论中的GLM模型

下面是我对GLM模型的理解：

数据编码的方式

在一般统计中，常用的coding方式有dummy，effect和cell.mean，这个在R和python中都可以实现。

dummy coding 举例

假设有4个组别A, B, C, D，它的自由度是4-1=3，因此它可以用3个不同位置的1来编码代表4个组（有一个组作为reference组，其编码全为0）.
假设如下的表格数据：

把g4组作为参考组，使用dummy coding转换后如下：

如此以后，进行F检验，得到的值，其截距就是参考组的平均值。而其他系数就是其均值差，例如-2=8-10，-7=3-10等等。

这个在python中就是独热编码过程。
R中就是如下：

effect coding 举例

还是考虑上述数据，使用effect coding转换后如下：

同样以g4组为参考组，所以能够看出，effect coding 和 dummy coding的区别在于，前者参考组为[-1, -1, -1]的矩阵，后者参考组为[0, 0, 0]的矩阵，其他就没有区别。

在effect coding后，算出来的截距是所有组平均值的平均值，即 $\overline{y}$ （等于5）。这个时候每组的coef，是其组的平均值和所有值的总平均值（constant值）的差值，即-3=2-5, -2=3-5。
不平衡的数据使用effect coding的注意事项


不平衡数据算出来的截距，是所有组平均值的平均值，而不是所有观察值的平均值。在这个数据中，一共有12个观察值，把12个值相加除以12，其平均值是5.5。而若把每一组进行组内平均，再把所有组的平均值进行平均，得到的值就是5.25，也就是F检验中的截距。
这个是需要注意和记住的地方。通过这个例子，也会对参数检验中对比均值的F检验有一个更为深刻的认识，即不管数据平衡与否，它只比较每组的平均值有无差异。很好用。
如何选择dummy coding和effect coding，两者区别？
如果模型中有多个分类变量，dummy coding 和 effect coding没有区别，只需要注意截距和系数的意义就行。
但是如果只有2种分类变量，dummy coding （编码0）和effect coding（编码-1）是有区别的，即effect coding的编码方式可以分析两个变量的交互效应。设想一下，当分类变量只有2个时，比如病人组和健康人组，那么使用dummy coding只有1和0，而使用effect coding 有1和-1，中间还有0态，所以effect coding可以分析交互作用，这样去记忆。因此这个时候使用effect coding可以获得对简单效应和交互效应的合理估计。
仔细回想一下，FSL的FEAT模块就是通过上述的方式去编码matrix design的。
R中如下:

fastLmBG (fast lm brain graph) solve the least squares problem to estimate model coefficients, residuals, etc. for brain network data.
fastLmBG_t and fastLmBG_f calculate contrast-based statistics for T or F contrasts, respectively. It accepts any number of contrasts (i.e., a multi-row contrast matrix).

cell means coding 举例

SPM里的2-nd-level comparison就是cell means coding方法，这个方法只用于组别为2的数据。
因为只有2个组，所以不需要设置参考组，所以就是用[1, 0]和[0, 1]来表示两个组，然后design matrix对应着就是1-0=1和0-1=-1。
与上述两个方法相比，这个是对比均值差异，没有设置参考组，较为简单。

1. 单元格均值模型仅用于使估计语句中的对比更易于编写的目的。唯一考虑的输出部分是与对比度估计相关的部分（这通常位于输出的底部）。
2. 用单元格编写估计语句意味着模型更容易，因为它只包含一个向量（用于最高阶交互）。使用分析模型，同一对比度的估计语句可能包含多个向量和/或矩阵，因此更难以正确指定。
   在R中的实现：
   
   model.matrix是R自带的base函数，可以实现dummy和cell means coding，前者就是常规的 $y——group$，后者是 $y——group+0$。
   brainGraph_GLM_design是brainGraph包的函数，其中coding方式可以选择dummy，cell meaning 和 effects三种方式。

图论中的常用指标

图的常用指标

顶点的常用指标

边的常用指标

以上这些指标还可以加入.wt来查看weighted值和非weighted值（binary）。

GLM实例

我们在创建图的时候，常规会使用50个阈值【0.10，0.11.。。0.49，0.50】去生成图，DPABI和GRETNA设置的阈值参数会有些许差异，但是过程都是一样。
在GLM分析中，我们只能在单一阈值下去使用GLM模型去比对单一指标。在使用GLM比较时，一共有2步需要做。第一是创建design matrix，第二是根据design matrix进行GLM统计分析。（整个过程跟FSL的FEAT一模一样，可以相互参考）

以我现在手头的数据为例，我的数据是34：37的数量，healthy group和patient group。

两组比较-不考虑混淆因素

（1）首先是基础组别信息

（2）根据组别信息创建design matrix

CompareMatrix <- matrix(c(0, -2), nrow = 1, dimnames = list('Control > Patient'))

（3）根据design matrix，进行GLM分析

上面是单侧的分析。其实双侧的分析与上面同理，比较简单，双侧分析如下：

比较好的一点是，它会告诉FDR校正的结果。

两组比较-考虑混淆因素

值得注意的是，有多少变量，CompareMatrix就要有多少列，函数会自动把group放到最后作为对比。

两组比较-考虑交互效应

如果要考虑交互效应，那么在design matrix时就与上述描述有点区别

计算group与连续变量交互的效应

连续变量大家应该清楚，分类变量是变量没有大小意义，连续变量是变量呈现连续表现，有大小意义。
以年龄举例，假如要做年龄和组别的交互效应：
（1）Base Information

（2）design matrix

这里用的cellmeans编码方法，所以分为了两组，如果是effect编码，就是一组变量。
数据的标准化有好几种，常用的有：中心化，标准化和归一化。

1. 归一化：$x=(x-min)/(max-min)$
2. 标准化：$x=(x-mean)/standarddeviation$
3. 中心化：$x=x-mean$
   R语言中自带scale函数，中心化使用scale (x, center=T, scale=F)，标准化使用scale (x, center=T, scale=T)，归一化没有现成的函数，因为太简单了，自己编写+lappy批量处理就行。
   这里的mean…center就是中心化处理，并且是cross group。如果要限定组内，就要center.how=‘within-group’，但是一般不建议这样处理，除非你有特殊需求。因为介绍到这里了，所以把附带的知识点也提了下。
   然后int就是interaction，交互的变量，这里我做的就是group 和 age。
   （3）compare matrix
   
   （4）GLM拟合
   

计算group与分类变量交互的效应

（1）Base Information


（2）Design Matrix

（3）compare matrix
（4）GLM

GLM中的置换检验实例

GLM的实现底层还是T检验（默认是T检验，所以结果中有T值，也可以自己选择F检验），这种其实还是有一种正态性假设在里面，属于参数检验。与GLM对应的，有一种不假设的非参数方法，就是GLM结合置换检验。
上述使用的GLM模型属于传统的GLM，即使用最小二乘法去求解方差系数（求导）。还有一种方法就是GLM模型结合置换检验，即使用置换检验法去求解方程系数。这种有3个方式：Freedman-Lane (the default), Smith, and Ter Braak。具体区别见（doi:10.1016/j.neuroimage.2014.01.060.），中文也有介绍：

（1）选择需要纳入分析的混淆变量

（2）进行编码

这里如果有多个混淆的分类变量，可以binarize = c(‘X’, ‘X’)。
（3）对比的方式

health group是-1，patient group是1，所以control > patient 就是 -2。
（4）GLM分析

（5）可视化
下面是单个ROI：

grid.arrange(plot(diffs.perm, region='lG_Ins_lg_and_S_cent_ins', which=1:6)[[1]])

如果是全部ROI都画，就：

glmPlots <- plot(diffs.perm, which=1:6) 
ml <- marrangeGrob(glmPlots, nrow=1, ncol=1) 
ggsave('glmPlots.pdf', ml, width=8.5, height=11)

glmPlots会循环的画出所有ROI。

multi-threshold permutation correction MTPC 多阈值置换校正

2015年Mark Drakesmith提出了这种 multi-threshold permutation correction MTPC的方法（doi:10.1016/j.neuroimage.2015.05.011）来克服图论方法的假阳性率。

1. 误报 (FP) 对图论 (GT) 分析具有深远影响。
2. 阈值可以减少 FP 的影响，但会引入其自身的偏差。
3. GT 指标的统计数据在阈值之间变化很大。
4. 使用新的排列方法 (MTPC) 可以可靠地检测群体效应。
5. MTPC 比现有的曲线下面积 (AUC) 方法更灵敏和稳健。

由于在计算脑连接的时候，有一些虚假连接（如纤维束中的虚假追踪和功能连接中的虚假连接），会导致一些不符合实际的过于高估的密度（density），所以需要用阈值网络。网络的连接方式有FA均值、纤维束流线、FC等，都不相同，所以没有一个准则去决定使用哪一种阈值序列。但是使用了阈值网络和MTPC整体而言结果的假阳性会小很多。所谓的阈值，就是说在该阈值上的连接被丢弃，只计算该阈值下的网络属性。

MTPC的使用过程：

1. 定义一个阈值序列，在每个阈值下计算所有被试的网络属性
2. 对所有阈值下的所有被试网络进行MTPC统计，配合GLM模型
3. 在每一个阈值下进行置换检验，比较组群差异$S_{obs}$
4. 在每个阈值下的每次置换检验中，使用最大统计数的零分布统计值（null distribution）作为是否显著的衡量标准
5. 根据null distribution值的衡量结果，取前百分之α的统计值，作为critical value，$S_{crit}$
6. 比较cluster中，$S_{obs}$ 和 $S_{crit}$ 的大小，并且计算AUC值（这个AUC其实就是MTPC的AUC值）
7. 计算critical AUC值 $A_{crit}$
8. 比较$A_{crit}$ 和 $A_{MTPC}$的大小，然后决定是否接受零假设。
   边指标计算和节点指标计算都是一样的流程，只不过节点计算时，需要更大的多重校正。

多指标MTPC计算的实例：
（1）创建要分析的表格。

（1-2）假如要修改数据框，可以使用data.table的函数，即：=代表赋值。我不太熟悉这个，我用tidyverse比较多一些。

（2）为每一个设置permutation次数。

（3）设置置换矩阵

nrow(covars)就是有多少行数据，一般都返回的是受试者数量。然后nset是生成了1-N的顺序矩阵整数数字，然后再用shuffleSet函数把矩阵打乱。这样就得到了所有被试的置换矩阵。
（4）生成设计矩阵

（5）循环的在每一个被试水平进行指标的计算

mtpc.diffs.list <- sapply(mtpcVars[, unique(level)], function(x) NULL)
for (x in names(mtpc.diffs.list)) { # Loop across 'level' 
  # The 2nd-level is for each network metric (for the given level 'x') 
  mtpc.diffs.list[[x]] <- sapply(mtpcVars[x, unique(outcome)], function(x) NULL) 
  for (y in mtpcVars[x, outcome]) { 
    # Print some timing info in the terminal; optional 
    print(paste('Level:', x, '; Outcome:', y, ';', format(Sys.time(), '%H:%M:%S'))) 
    
    mtpc.diffs.list[[x]][[y]] <- 
      mtpc(g, thresholds, covars=covars.dti, measure=y, contrasts=mtpcContrast, 
           con.type='t', level=x, N=mtpcVars[.(x, y), N], perms=mtpcPerms[[x]], 
           alt=mtpcVars[.(x, y), alt]) 
  } 
}

1. 创建list，里面为NULL，作为后面储存数据的容器
2. names(mtpc.diffs.list)是vertex和graph，即在level水平进行循环
3. outcome是具体指标，从y开始就是循环进行指标的计算
4. mtpc就是函数主体，其参数和用法与GLM相同，很简单。
   运行起来还算挺快的，10000次的置换检验只花了7秒钟，我是笔记本i7-9700的cpu，睿频很低。
   
   （6）将这么多结果中，显著的结果单独提取出来，形成data.table

mtpc.diffs.sig.dt <- 
  rbindlist(lapply(mtpc.diffs.list, function(x) 
                   rbindlist(lapply(x, function(y) 
                                    y$DT[A.mtpc > A.crit, .SD[1], by=region]))))

DT就是data.table。
（7）

NBS network-based analysis

基于网络的NBS分析，也是一种常用的网络校正方法，DPABINet中有这个方法，matlab也有单独的包。这里也可以使用NBS方法。
在brain network中，以AAL模板举例，它有90个nodes，它里面的connections最大有4005个连接，所以某一个连接是否具有显著性，存在大量的假阳性。
由于边的数量这么多，如果选择FWE校正就会导致结果过小，丢失很多阳性结果。因此会倾向于使用FDR校正。而考虑到这些节点连接其实是有相互影响的，即不是独立分布的，因为FDR也不太合适。NBS就会成为一般通用选择。




res.nbs的结果有2个，其实是permutation之后，排名靠前的cluster。然后我这个数据算的最大的cluster是3个点2个边，P是0.4，当然这个只是示例，如果P<0.05就是一篇文章了。
那么怎么查看属于哪个component呢，一种方法是查看它的p.mat，可以看到对应的P值。这里的plot其实就是叠加在模板上进行可视化了。
因为是示范，而且我的数据最小的P是0.4，所以我设置了alpha是0.5，这样就只有1个component显示，从上图可以看出，确实是3个点2个边。假如把alphas设置为0.9，按理说会有5个点和3条边，除非是有重叠的component，如下：

果然如我们所想。因为我用的是皮层模板，所以点都在皮层的沟回部分，然后因为这里的点的size太大，所以超出了图像边界，不过这个不重要。
作者将这个结果和matlab的NBS结果进行了对比，同样的数据，其T统计值都是一样的，而connect component有1个成分的差别，其他都一样，可能是由于NBS是按照T统计值排序component的，而这里是用P value去排序的，所以有了这么细微的差别，整体来说两者可以算是相同的。考虑到随机置换检验都会有种子点的差别和不同cpu的浮点计算差异，这种是可以接受的。
画图参数：

plot(x, plane = c("axial", "sagittal", "circular"),
hemi = c("both", "L", "R"), mni = TRUE, subgraph = NULL,
main = NULL, subtitle = "default", label = NULL, side = 1,
line = -2, adj = 0.025, cex = 2.5, col = "white", font = 2,
show.legend = FALSE, rescale = FALSE, asp = 0, ...)

Mediation analysis 中介分析

中介分析是用于检验自变量X对因变量Y(即X→Y)的影响是否由自变量通过影响中介变量M而对因变量Y(即X→M→Y)的产生影响。
感觉像是简单相关和偏相关的进一步分析。

以知乎里极智分析作者写的文章为示例。假如要探究“年龄”（age，设为X）对“死亡”（DEATHEVENT，设为Y）的影响，看看年龄是否通过影响“血液中的血清肌酐水平”（serumcreatinine，设为A）、“血液中的血清钠水平”（serumsodium，设为B）而对死亡产生影响。建立中介分析模型，结果如下

1. A与X有简单相关性（0），B与X没有简单相关性（1），Y与A有简单相关性（2），Y与B有简单相关性（3）
2. 纳入A,B后，X与Y（total，4）有简单相关性；排除A,B后，X与Y（direct，5）有直接相关性（偏相关）
3. 仅纳入A后，X与Y（6）有简单相关性；仅纳入B后，X与Y（7）有简单相关性

首先应用mediation analysis的前提就是X与Y有相关性。我们在临床中，会遇到一种情况，就是X与Y做cor.test，有结果，然后做pcor.test，就没有结果或者R变小了。这种情况就是因为confund factors中有某些indicators与Y直接相关，X其实是间接相关。遇到这种情况，我们就可以选定个别factors做中介分析。
其实中介分析很简单，就是不断的重复简单相关和偏相关来查看变量间关系。例如在上述例子中可以看出，A能影响XY，B只能影响Y，X与Y有简单相关和偏相关（说明X至少是影响Y的一部分原因或者全部原因）。
如果X与Y有简单相关，A与XY有简单相关，纳入A后X与Y偏相关不显著，那就说明A是完全中介作用，如果偏相关显著但是R值降低，就是部分中介作用。
因为要探究的是X与Y之间的具有中介效应的变量，而B与X不相关，所以直接排除B，而A的结果都符合预期，可以看出A是X与Y的中介变量，具有部分中介效应。
继续回到图论。

random graph, small world, rich-club

上述的图的研究方法，是从实际图出发来探究图的内在关系。有一些连接确定的图是可以这样的，例如社交网络。不过在核磁中，像functional network 和 structural covariance network，他们是通过相关性形成的图，这种会产生大量的虚假连接，导致它们的图表现出high level of clustering。那么为了解决这个问题，就要应用random graph方法，就是在相同degree distribution下随机生成N张图，random graph的特点是low level of clustering，因此可以缓解上述问题（当然只是缓解，无法做到完全克服）。
每生成1张random graph，就会有modularity, clustering coefficien, average path length, global efficiency, rich club coefficient这些指标，然后再把他们进行平均化比对。

random graph的过程还是比较漫长的，50个threshold的计算，花了近2小时（22：44 - 00：28, windows），如果在linux系统下进行超线程运行，应该会快蛮多。


每个被试最高有1508个值，最低有1497个值，所以加起来产生了106577个值。这个跟每次计算出来的k值有关系。

small world就很符合预期，50个threshold X 71个被试 = 3550个值。


E.global等等指标也符合预期，50个threshold X 100 个随机图 X 71个被试。
上面介绍的是degree distribution 相同的random graph，其实还有更精确的一种随机方式，就是degree distribution 和 clustering相同的随机图，当然后者花费的时间会更长。（sim.rand.graph.clust & sim.rand.graph.par）
此外还有随机方差矩阵可以创建，random covariance metrics。

small-worldness

小世界属性，我们都知道，比较经典，即若网络具有高聚类性和短路径性，就说明它具有小世界属性（小小的世界，四通八达，地球村）。研究小世界属性的经典方法就是生成一系列等效网络来研究（equivalent network），就是我们上述所说的步骤。

One popular method for studying small-world networks is to use an equivalent network model to generate other similar instances of the class of systems under study.

$$\sigma =\frac{C/C_{rand}}{L/L_{rand}}$$
然后Telesford认为$\sigma$将真实网络聚类与随机网络聚类的对比会产生异常值，使得部分不具备小世界属性的网络表现出了小世界属性。如下：


因此他提出了$\omega$，$\omega$的范围在【-1，1】之间，而当其处于【-0.5，0.5】时，就认为其具有小世界属性，当值位于两端时，表示为其是pure lattice 或者 random network。

boostrapping and permutation test

boostrapping test 和 permutation test 是两种检测两组图有无差异的方法，即可以在node-level或者是edge-level去比较两组有无差异。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-810557.html

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