什么是向量？
符合公设、合理定义加法和数乘的“东西”就是向量；
向量空间对加法及数乘运算保持封闭。
例如说，
颜色可以是“向量”，三原色是“基底”
多项式函数是“向量”，
x
2
+
5
=
[
5
0
1
0
⋯
]
x^2+5=\begin{bmatrix} 5\\ 0\\ 1\\ 0\\ \cdots \end{bmatrix}
x2+5=
5010⋯
信号是“向量”，同样也可以合成和分解；
一般说，
[
1
2
]
\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}
[12]是二维坐标系基底向量的缩放和（线性组合）：
1
i
^
+
2
j
^
1\hat{i} + 2 \hat{j}
1i^+2j^的简记；
如果基底变换用矩阵的形式表示，
I
=
[
1
0
0
1
]
I=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}
I=[1001]，
x
=
[
1
2
]
x=\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}
x=[12]，这里
I
I
I是“恒等变换”：
I
x
=
x
Ix=x
Ix=x。
什么是矩阵（线性系统）？
系统，也被称作映射、函数、变换、算子；
其中，满足叠加性和比例性的是“线性系统”。
在二维视角下说，考虑线性系统操纵的是基底（空间）【这里一定要看视频】，要满足输入直线，输出直线，输入零，输出零，网格线保持平行且等距分布（因此，旋转、投影也是线性变换，可以写作矩阵乘法的形式）。
- 多元一次方程组就是“线性系统”；
- 向量 x x x是“输入”，矩阵 A A A是“线性系统”，向量 b b b是“输出”；
- 转置是“线性系统”；
- 前缀和、差分是“线性系统”；
- 微分、积分也是“线性系统”。
矩阵运算和相关概念
-
矩阵乘法：多个变换相继作用，例如 M 2 ( M 1 x ) = ( M 2 M 1 ) x M_2(M_1 x) = (M_2 M_1) x M2(M1x)=(M2M1)x；
-
行列式：系统对空间的挤压（拉伸）作用的度量，表现为方向（正、负）和大小（面积、体积之比）；如果行列式为零，说明该变换对空间进行了塌陷变换，减小了维度，该变换是不可逆的，变换后的维度被称为“秩”，对应着矩阵“列空间”的维度；
-
对于某些特定的向量而言，应用线性变换 A A A，并没有离开它自身张成的直线， A A A相当于一个“标量” λ \lambda λ（或者说 λ I \lambda I λI），这些向量就被称为“特征向量”，这个“标量”度量了缩放方向与大小，被称为“特征值”。尤其对于旋转变换而言，“特征向量”就是“旋转轴”。
例一：差分、前缀和、矩阵的逆
例如说，
A
x
=
[
1
0
0
−
1
1
0
0
−
1
1
]
[
x
1
x
2
x
3
]
=
[
x
1
x
2
−
x
1
x
3
−
x
2
]
=
b
Ax = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 - x_1\\ x_3 - x_2\\ \end{bmatrix}=b
Ax=
1−1001−1001
x1x2x3
=
x1x2−x1x3−x2
=b
考虑
A
A
A列向量的线性组合，它起到的变换作用是一阶差分。
如果输入
x
=
[
1
4
9
]
x=\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 9 \end{bmatrix}
x=
149
，自然地，线性系统的输出是
b
=
[
1
3
5
]
b=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}
b=
135
。
这是已知系统、输入，求得输出，我们称之为前向“传播”。
那么如果考虑求解线性方程组，即在已知“线性系统”和“输出”的前提下，
求得“输入”呢？对于当前的差分系统来讲，逆运算是前缀和，因此并不困难从输出到输入。
如果输出是
b
=
[
b
1
b
2
b
3
]
b=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}
b=
b1b2b3
，那么很自然的，输入应该是
x
=
[
b
1
b
1
+
b
2
b
1
+
b
2
+
b
3
]
x=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_1+b_2 \\ b_1 + b_2 + b_3 \end{bmatrix}
x=
b1b1+b2b1+b2+b3
，
我们关注原点（零点），假如说输出的
b
=
0
⃗
b=\vec{0}
b=0，那么输入的
x
x
x是唯一的。
同时，我们还可以写出这一线性变换的逆变换
A
−
1
=
[
1
0
0
1
1
0
1
1
1
]
A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}
A−1=
111011001
，使得
A
−
1
b
=
x
A^{-1}b=x
A−1b=x。
如果是这样的呢？
C
x
=
[
1
0
−
1
−
1
1
0
0
−
1
1
]
[
x
1
x
2
x
3
]
=
[
x
1
−
x
3
x
2
−
x
1
x
3
−
x
2
]
=
[
b
1
b
2
b
3
]
Cx = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 - x_3\\ x_2 - x_1\\ x_3 - x_2\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}
Cx=
1−1001−1−101
x1x2x3
=
x1−x3x2−x1x3−x2
=
b1b2b3
第一个发现是，我们将
[
x
1
−
x
3
x
2
−
x
1
x
3
−
x
2
]
\begin{bmatrix} x_1 - x_3\\ x_2 - x_1\\ x_3 - x_2\\ \end{bmatrix}
x1−x3x2−x1x3−x2
所有项相加为零，可是
[
b
1
b
2
b
3
]
\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}
b1b2b3
所有项相加却不恒为零。
这意味着，
C
C
C的列向量张成的空间不是一个“点”（零维），不是一条“直线”（一维），
而是一个“平面”（二维），
x
+
y
+
z
=
0
x+y+z=0
x+y+z=0。
第二个发现是，只要输入
x
=
c
[
1
1
1
]
x=c\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}
x=c
111
都满足输出的
b
=
0
⃗
b=\vec{0}
b=0。
这说明有许多本身并不在原点的点（向量）经历该线性变换后，空间发生了塌陷，被挤压至零点（验证一下，
det
(
C
)
=
0
\det(C) = 0
det(C)=0，意味着基底体积变为0）。因此，并不存在这样的
C
−
1
C^{-1}
C−1（
C
C
C是不可逆的），能够将有损压缩的文件恢复原状。反证法：我们假设存在，
C
x
=
b
Cx=b
Cx=b，现存在
x
≠
0
⃗
x\ne \vec{0}
x=0，
b
=
0
⃗
b=\vec{0}
b=0，那么：
C
−
1
C
x
=
C
−
1
b
C^{-1}Cx=C^{-1}b
C−1Cx=C−1b，与假设相互矛盾。
例二：旋转矩阵与倍半角公式
「旋转」满足叠加、数乘，因而是一个线性变换。
我们可以用矩阵的形式进行描述，倘若我们要将向量
x
x
x逆时针旋转
θ
\theta
θ角，如何写这个矩阵呢？从基变换的视角看，这意味着我们要将坐标系
i
^
,
j
^
\hat{i}, \hat{j}
i^,j^同样逆时针旋转
θ
\theta
θ角。
然后将新基底 i ^ ′ , j ^ ′ \hat{i}^\prime, \hat{j}^\prime i^′,j^′作为矩阵的列，就得到了旋转矩阵：
A = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] A=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} A=[cosθsinθ−sinθcosθ]
我们能从旋转矩阵（系统、变换、函数、算子）获得什么有趣的发现呢？
考虑 A ( A x ) = ( A A ) x = A 2 x A(Ax) = (AA)x = A^2x A(Ax)=(AA)x=A2x， A 2 A^2 A2意味着旋转两次（旋转两倍），即：
[ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] 2 = [ cos 2 θ − sin 2 θ sin 2 θ cos 2 θ ] \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix} [cosθsinθ−sinθcosθ]2=[cos2θsin2θ−sin2θcos2θ]
不妨把矩阵进行平方，进行观察：
[ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] = [ cos 2 θ − sin 2 θ − 2 cos θ sin θ 2 cos θ sin θ cos 2 θ − sin 2 θ ] \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta -\sin^2 \theta & -2 \cos \theta \sin \theta \\ 2 \cos \theta \sin \theta & \cos^2 \theta -\sin^2 \theta \end{bmatrix} [cosθsinθ−sinθcosθ][cosθsinθ−sinθcosθ]=[cos2θ−sin2θ2cosθsinθ−2cosθsinθcos2θ−sin2θ]文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-811466.html
于是，我们用矩阵乘法推导出了倍角公式。真是太酷了！文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-811466.html
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