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作者： 天人实验室
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2022HiMCM A题 Problem A: The Need for Bees (and not just for honey)
原题：
\quad
Honeybees, along with a few other key animals, are critical to human existence on our planet. Along with honey production, these insects provide the vital role of pollination of many trees and plants that provide food for our survival. In 2007, the term Colony Collapse Disorder (CCD) was created to describe the decline of honeybee populations around the world. Bee decline can be attributed to factors such as viruses, pesticides, predators, habitat destruction, and environmental conditions.
\quad Some information to consider (but you may find other helpful information online):
- Honeybees can travel up to 20 km, but typically stay within 6 km of their hive.
- A typical honeybee hive contains between 20,000 and 80,000 honeybees.
- A single honeybee can visit approximately 2,000 flowers or more in a single day.
- Because of the high workload during summertime, most honeybees work themselves to death, resulting in a shorter lifespan.
- During autumn and wintertime, honeybees may live a bit longer (four to six months).
- A honeybee’s level of activity, pollen consumption, and protein abundance impacts its lifespan.
Requirements
- Develop a model to determine the population of a honeybee colony over time.
- Conduct sensitivity analysis on your model to determine which factors (e.g., lifespans, egg laying rates, fertilized/unfertilized egg ratios, or other factors) have the greatest impact on honeybee colony size.
- Model and predict how many honeybee hives you will need to support pollination of a 20-acre (81,000 square meters) parcel of land containing crops that benefit from pollination.
- Create a non-technical, one-page blog or infographic for a website that provides the information you developed.
问题解析
\quad 2022年HiMCM A题主要针对蜜蜂种群数量的繁衍问题进行研究。A题总共3个问题，前面两个问题研究的是蜜蜂种群数量变化模型，分析影响种群变化的规律和影响因素，对CCD问题有着重要意义。而第3问则是分析农田授粉需求与蜜蜂种群数量之间的关系，主要与蜜蜂的活动规律有关。这里，我们研究概率模型的应用，我们可以将前2问与第3问分开来看，主要研究第三问。
\quad 对于农田授粉需求，我们看作一个供需问题。首先，我们需要知道农田授粉的需求。对于授粉需求，我们知道蜜蜂的活动是随机的。因此，蜂巢内的所有的蜜蜂会以蜂巢为中心，在活动半径内随机分布，并且越靠近中心，蜜蜂的分布密度越高，可以看作一个二维的正态分布，如下图所示。图中给出了二维正态分布的概率分布图，三个图形对应不同的参数，图中显示了不同位置蜜蜂出现的概率，越接近中心位置，蜜蜂出现的概率也就越大。求解题目中农田授粉需要的蜜蜂数量(蜂箱数量*每个蜂箱里蜜蜂的数量)也就是农田中每个位置的蜜蜂密度(单位面积内蜜蜂的数量)要达到授粉的需要。
图
1
蜜蜂概率分布
图1 蜜蜂概率分布
图1蜜蜂概率分布
农田授粉蜜蜂数量需求的概率模型
\quad 根据题目的要求，我们要建立蜜蜂供需关系模型, 蜜蜂的密度 ρ 1 ( x , y ) \rho_1(x,y) ρ1(x,y)要大于农作物花朵的密度 ρ 2 ( x , y ) \rho_2(x,y) ρ2(x,y)。此外，我们需要考虑的是，农作物的花期，也就是说农作物的授粉不是在一天内完成的，也就是说 ρ 1 ( x , y ) > ρ 2 ( x , y ) / a \rho_1(x,y)>\rho_2(x,y)/a ρ1(x,y)>ρ2(x,y)/a（a:花期，农作物花期）。
模型假设
- 蜜蜂分布服从正态分布，中心为蜂箱位置。
- 每个蜂箱内蜜蜂数量为4万只。
- 农作物花朵被蜜蜂访问一次后，即可完成授粉。
- 假定重复访问次数为2次。由于同一朵可能被朵只蜜蜂访问。
- 假定农作物的分布是均匀的，也就是单位面积内的农作物植株的数量，花朵的数量是相同的。
农作物密度
\quad 对于农作物授粉需求的求解，主要是花朵的密度与蜜蜂密度之间的关系。对于一个20亩(81,000 平方米)的农田的农作物授粉，需要的蜜蜂数量与农田的面积没有直接的关系，这是因为蜜蜂跟工人劳作不同，蜜蜂的劳作是随机的。要完成农作物的授粉，就要农田内任意位置的花朵都能完成授粉。根据上文的假设，距离蜂箱的位置越远，蜜蜂密度越低。花朵数量(授粉需求)与蜜蜂数量之间的关系主要与距离有关系，这是因为蜜蜂的密度会随着距离变化，而农田花朵的密度是均匀的。
\quad
首先，我们假定农田是个正方形的。当然，农田不一定是正方形，但一定是矩形，要与实际情况相符。虽然，现实生活中，农田并不完全是规则的几何形状，但这里我们可以做一些合理的假设，考虑一些简单的情况。蜂箱是可移动的，肯定是在农田的内部或边缘。当然，我们不可能考虑所有的位置，对此我们只需要考虑几个典型的位置即可，如下图所示。这里我们可以考虑几个典型的摆放位置，也就是图中所示农田的对称中心，定点或者边的中心。
我们需要研究的是蜜蜂数量与土地面积之间的关系。这里主要包含两部分内容：
- 每天单位面积的土地，农作物花朵的数量，以及对蜜蜂数量的要求，主要涉及的变量包括：花朵数量/平方米、花期(花朵开放的时长)、蜜蜂访问花朵数量/天、蜜蜂数量/平方米。则我们有如下函数关系，
单位面积花朵数量 花期 = 蜜蜂每天访问花朵数量 ∗ 单位面积蜜蜂数量 ∗ 重复访问次数 ( 1 ) \frac{单位面积花朵数量}{花期} = 蜜蜂每天访问花朵数量*单位面积蜜蜂数量*重复访问次数 \quad (1) 花期单位面积花朵数量=蜜蜂每天访问花朵数量∗单位面积蜜蜂数量∗重复访问次数(1) - 单位面积花朵数量 ρ 1 ( x , y ) \rho_1(x,y) ρ1(x,y): = 植株数量 ∗ 单株农作物花朵平均数量 面积 ( 2 ) \frac{植株数量*单株农作物花朵平均数量}{面积} \quad \quad\quad\quad (2) 面积植株数量∗单株农作物花朵平均数量(2)
供需模型
\quad 上面对于蜜蜂数量与花朵数量之间的关系进行了解释。通过分析我们可以知道，花朵的密度与位置没有关系，看作一个常量。因此，定义 ρ 1 ( x , y ) = ρ 0 \rho_1(x,y) = \rho_0 ρ1(x,y)=ρ0。而完成农田的授粉需求，则需要单位面积上的蜜蜂数量大于等于花朵授粉需要的蜜蜂数量。此外，定义 p ( x , y ) p(x,y) p(x,y)表示任一只蜜蜂出现在位置 ( x , y ) (x,y) (x,y)的概率， N N N表示所有蜜蜂的数量。 a a a表示每个蜂箱的平均蜜蜂数量。
蜜蜂总数量：
N
∗
a
N*a
N∗a
(x,y)位置的蜜蜂密度：
N
∗
a
∗
p
(
x
,
y
)
N*a*p(x,y)
N∗a∗p(x,y)
\quad
根据上文关于授粉需求的分析，则有如下关系：
N ∗ a ∗ p ( x , y ) ≥ 植株数量 ∗ 单株农作物花朵平均数量 面积 ∗ 花期 ∗ 每只蜜蜂每天访问花朵数量 ( 3 ) N*a*p(x,y) \geq \frac{植株数量*单株农作物花朵平均数量}{面积*花期*每只蜜蜂每天访问花朵数量} \quad \quad\quad\quad (3) N∗a∗p(x,y)≥面积∗花期∗每只蜜蜂每天访问花朵数量植株数量∗单株农作物花朵平均数量(3)
蜜蜂概率分布
一维正态分布
\quad
上文中指出，距离蜂箱位置越远，则蜜蜂的密度越低。虽然蜜蜂的活动半径为6公里，但是这是最远的飞行距离。而蜜蜂则是在一定的范围内活。因此，我们基于农田任意位置(x,y)与蜂箱位置的距离d建立蜜蜂分布的概率模型：
p
(
d
)
=
∫
d
−
0.5
d
+
0.5
2
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
(
4
)
p(d) = \int_{d-0.5}^{d+0.5} \frac{2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx \quad \quad\quad\quad (4)
p(d)=∫d−0.5d+0.52πσ2e−2σ2(x−μ)2dx(4)
d
=
x
2
+
y
2
(
5
)
d = \sqrt{x^2+y^2} \quad \quad\quad\quad (5)
d=x2+y2(5)
根据公式(4)和(5)中的模型，选择农田中距离蜂箱最远的位置，将(4)、(5)中的概率代入公式(3)中的模型，则可以核算出给定农田授粉需要的蜜蜂数量，进而求解出需要的蜂箱数量。
值得注意的是，公式(4)中之所以使用积分，意思是在距离以d为中心的点，单位距离为1m的范围内进行积分，来表达对应位置单位面积内蜜蜂的密度。这里我们不可以直接使用 2 2 π σ e − ( d − μ ) 2 2 σ 2 \frac{2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(d-\mu)^2}{2\sigma^2}} 2πσ2e−2σ2(d−μ)2 的值作为概率，因为它是概率密度函数，而不是概率。
此外，因为距离没有负值，所以公式(4)中是 2 2 π σ \frac{2}{\sqrt{2\pi}\sigma} 2πσ2，而不是 1 2 π σ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} 2πσ1，并且均值 μ = 0 \mu=0 μ=0。则公式（4）可以改写为：
p ( d ) = ∫ d − 0.5 d + 0.5 2 2 π σ e − x 2 2 σ 2 d x ( 4 ) p(d) = \int_{d-0.5}^{d+0.5} \frac{2}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx \quad \quad\quad\quad (4) p(d)=∫d−0.5d+0.52πσ2e−2σ2x2dx(4)
二维正态分布
\quad
根据上文中的分析可以看出，求解农田授粉需求的关键在于掌握蜜蜂种群的活动规律，也就是在日常活动中，整个蜜蜂种群的分布特征。
\quad 蜜蜂在不同的距离分布是不均匀的，距离越远，密度就越低。如下图所示，我们假定，蜜蜂飞行距离上分布是随机的，也就是说，蜜蜂出现在位置为 ( a , b ) (a,b) (a,b)点的概率是：
p ( a , b ) = ∫ a − 0.5 a + 0.5 ∫ b − 0.5 b + 0.5 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 e − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ] d x d y ( 6 ) p(a,b) = \int_{a-0.5}^{a+0.5} \int_{b-0.5}^{b+0.5} \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho_2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]}dxdy \quad \quad\quad\quad (6) p(a,b)=∫a−0.5a+0.5∫b−0.5b+0.52πσ1σ21−ρ21e−2(1−ρ2)1[σ12(x−μ1)2−2ρσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)+σ22(y−μ2)2]dxdy(6)
\quad 根据上边的概率分布模型，代入到公式(3)中的不等式模型即可计算农田授粉需要的蜜蜂数量，而在核算时，农田中任意位置都要满足公式(3)中的不等式，也就是距离最远的位置也要满足，通过最远位置的概率核算得到的蜜蜂数量为题目所求。这里我们可以任意选择一种农作物作为案例进行计算来验证模型的有效性和进行模型的分析。
与一维正态分布相同，这里
μ
1
=
0
,
μ
2
=
0
\mu_1=0,\mu_2=0
μ1=0,μ2=0。 因此，公式（6）可以改写为如下形式：
p
(
a
,
b
)
=
∫
a
−
0.5
a
+
0.5
∫
b
−
0.5
b
+
0.5
1
2
π
σ
1
σ
2
1
−
ρ
2
e
−
1
2
(
1
−
ρ
2
)
[
x
2
σ
1
2
−
2
ρ
x
y
σ
1
σ
2
+
y
2
σ
2
2
]
d
x
d
y
(
6
)
p(a,b) = \int_{a-0.5}^{a+0.5} \int_{b-0.5}^{b+0.5} \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho_2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{x^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{xy}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{y^2}{\sigma_2^2}]}dxdy \quad \quad\quad\quad (6)
p(a,b)=∫a−0.5a+0.5∫b−0.5b+0.52πσ1σ21−ρ21e−2(1−ρ2)1[σ12x2−2ρσ1σ2xy+σ22y2]dxdy(6)
总结
\quad
概率模型在数学建模竞赛中有着十分重要的作用，概率模型主要针对一些随机事件，不确定性的问题。通过结合实际生活中的案例，一方面能够提高对概率知识的理解，另外一方面能够提高思维能力，如何应用概率知识解决实际问题。
\quad
此外，针对这个题目中的问题，通过一维的正态分布可以求解农田授粉问题，通过二维正态分布同样可以求解。这两个问题并没有绝对的对和错，只是解决的方法不同，方法也大同小异。并且，对于概率模型，并不一定非得用正态分布或多维正态分布。我们知道距离蜂箱越远，则蜜蜂的分布的密度越低，我们可以定义
p
(
d
)
=
1
d
p(d)=\frac{1}{d}
p(d)=d1或者
p
(
d
)
=
1
d
2
p(d)=\frac{1}{d^2}
p(d)=d21也可以作为蜜蜂分布的概率。因为，我们在面对实际问题时，对于已学的知识要活学活用。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-812677.html
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