密码学常见困难问题
大整数因数分解问题
1）给定两个素数p,q,计算乘积p·q=n很容易；
2）给定大整数n，求n的素因素p,q使得n=p·q非常困难.
DLP：The Discrete Logarithm Problem 离散对数问题
让G为一个阿贝尔群(交换群).我们把G中的二元操作写成乘法*.
1）给定G,g和h=ga,计算a是困难的.
2）这里a就叫做h的以g为底的离散对数.
CDH：The Computational Diffie-Hellman Problem 计算DH问题
CDH是基于由Whit Diffie和Martin Hellman提出的两方协商密钥在公共信道上不会被窃取的问题:
1）Alice和Bob共同确定使用的循环群G,和生成器q
2）Alice选择一个随机的密钥整数a,Bob选择了一个随机的整数b
3）Alice计算ga 在公共信道上发送给Bob,同时Bob也计算出 gb在公共信道上发送给Alice.
4）Alice和Bob都计算gab=(ga)b=(gb)a通过知道他们自己的随机的整数,这个生成的就是他们协商的密钥.
密钥gab是一个能被用于Alice和Bob之间的对称加密.
但是有一些人窃听了他们之间的交换获得了G,g,ga,gb.
给定G,g,ga,gb,多项式时间内找出gab
DDH：The Decisional Diffie-Hellman Problem 决策Diffie-Hellman问题
用于证明难以区分的属性.假如说Alice和Bob执行如上所述的Diffie-Hellman密钥协议,那么G,g,ga,gb都是公共的,gab是密钥.直观上,DDH问题就是是否对手能够从随机的G中的元素区分出Alice和Bob的密钥gab.正式来说:
给定G,g,ga,gb和Tx使得T0是G中随机的一个元素,T1=gab同时x被随机均匀的从{0,1}中选择,找出x.
尽管不能直接计算出来.而且很明显,如果对手能解决CDH问题,那么它可以有效率的解决DDH,因为它已经可以得到gab的值.这意味着,CDH至少和DDH一样难.
困难性进行排序:DLP>,CDH>DDH
DLP有时候是简单的,会让CDH和DDH都变简单.因此群G和生成器g的选择在做密码学的时候是十分重要的!
GDH：Gap Diffie-Hellman
给定三元组（g,ga,gb）,a,b属于Z*q,在DDH（·）预言机的辅助下计算gab是困难的
BDH：双线性DH问题
给定四元组（P,aP,bP,cP）,a,b,c属于Z*q,判断等式e(P,P)d = e(P,P)abc是困难的
CBDH :Comptational Bilinear Diffie-Hellman Problem 计算双线性DH问题
给定输入G,g,ga,gb，计算输出e(g,g)ab是困难的
DBDH：Decisional Bilinear Diffie-Hellman 判断双线性DH问题
给定输入G,g,ga,gb，gc找出 e(g,g)ab是困难的
GBDH：Gap 双线性DH问题
给定四元组（P,aP,bP,cP）,a,b,c属于Z*q,在DBDH（·）预言机的辅助下计算e(P,P)abc是困难的
KEAI
CDHI :Computation Diffie-Hellman Inverse Problem计算DH逆问题
给定gx属于G，x未知，输出(gx)-1是困难的，CDHI和CDH问题等价
ECDLP：Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem,椭圆曲线离散对数问题
椭圆曲线上的离散对数问题，两个元素P,Q属于G1求整数a属于Zq*使得，Q = aP成立是困难的
BCDH
任意选取(a,b,c)，在多项式时间内计算出𝑔^𝑎𝑏𝑐
BDDH
任意选取(a,b,c,d), 在多项式时间内将(𝑔𝑎, 𝑔𝑏, 𝑔𝑐, 𝑔𝑎𝑏𝑐)和(𝑔𝑎, 𝑔𝑏, 𝑔𝑐, 𝑔𝑑)两者明显的区分开来。
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