AVL树 -- C++实现-Toy模板网

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AVL树 – C++实现

1. AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。这个树就是用它们两个的名字AVL命名的。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

**如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 $O(log_2 n)$ ，搜索时间复杂度O( $log_2 n$ )。 **

2. AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;
	//平衡因子 balance factor
	int _bf;

	AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv = pair<K,V>())
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{
	}
};

3. AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点
**调整节点的平衡因子 **

bool insert(const pair<K,V>& kv)
	{
	// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
	// ...
	// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性
	
	/*
	cur插入后，parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，parent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
	1. 如果cur插入到parent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可
	2. 如果cur插入到parent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可
	此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
	1. 如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
	2. 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
	3. 如果parent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理
	*/
		if (_root == nullptr)
		{
			Node* newnode = new Node(kv);
			_root = newnode;
			return true;
		}
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		//插入
		cur = new Node(kv);//新节点
		cur->_parent = parent;
		if (kv.first < parent->_kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else if (kv.first > parent->_kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
	
		while (parent)
		{
			//修改平衡因子
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}
			//判断平衡因子
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)//之前是0,高度发生变化
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if(parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)//之前是-1 或者 1
			{
				//旋转
				//1.从不平衡变平衡
				//2.旋转本质也降低了高度，与插入之前高度相同，不对上一层构成影响
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);//左单旋
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);//右单旋
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);//右左双旋
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);//左右双旋
				}
				//1.旋转让这棵子树平衡了
				//2.旋转降低了这颗子树的高度，恢复到跟插入前一样的高度，所以对上一层没有影响，不用继续
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
		
	}

4. AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

代码示例：
void RotateL(Node* parent)//左单旋
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subL = subR->_left;

		parent->_right = subL;
		subR->_left = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;

		
		parent->_parent = subR;
		if (subL)
		{
			subL->_parent = parent;
		}

		if (_root == parent)//根节点
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = parentParent;
		}
		//改平衡因子
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}
新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

代码示例：
void RotateR(Node* parent)//右单旋
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* parentParent = parent->_parent;//根节点可能是空
		
		parent->_left = subLR;
		subL->_right = parent;

		parent->_parent = subL;
		if(subLR)
		subLR->_parent = parent;

		
		if (_root == parent)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = parentParent;
		}

		//改平衡因子
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}
新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

代码示例：
void RotateLR(Node* parent)//左右双旋
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		int bf = subLR->_bf;//保存一下平衡因子
		
		//先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋
		RotateL(subL);
		RotateR(parent);

		if (bf == 0)//插入的是60本身
		{
			parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)//在60右子树插入
		{
			parent->_bf = subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)//在60左子树插入
		{
			subL->_bf = subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

代码示例：
	void RotateRL(Node* parent)//右左双旋
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(subR);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			//subRL 自己新增
			parent->_bf = subRL->_bf = subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			//subRL的左子树新增
			parent->_bf = subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			//subRL的右子树新增
			subRL->_bf = subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
总结：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR

当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋

当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL

当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋

当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新

5. AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

验证其为二叉搜索树
- 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
验证其为平衡树
- 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
- 节点的平衡因子是否计算正确

代码示例：

	int Height()//树的高度
	{
		return _Height(_root);
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}
	
	bool IsBlance()
	{
		return _IsBlance(_root);
	}

	bool _IsBlance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		//if (rightHeight - leftHeight <= 1 && rightHeight - leftHeight >= -1)
		return (abs(rightHeight - leftHeight) <= 1)//求绝对值
			&&_IsBlance(root->_right)
			&& _IsBlance(root->_left);
		
	}

6. AVL树的删除(了解)

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不过与删除不同的是，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体实现可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

7. AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 $log_2 (N)$ 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。下篇文章我们来讲解红黑树！