齐次矩阵的理解深入和在图形学、Unity中的应用-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了齐次矩阵的理解深入和在图形学、Unity中的应用。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

齐次矩阵的理解和在图形学、Unity中的应用

在探讨图形学和Unity中的3D编程时，我们经常会遇到一个非常核心的数学工具——齐次矩阵。这篇文章将一步步深入地探讨齐次矩阵的基本概念、它在图形学中的应用，以及如何在Unity中利用这一概念来创建令人震撼的3D场景。

基本概念

首先，我们来聊聊什么是齐次坐标。在二维空间中，任何一个点可以用一对坐标 (x, y) 来表示。如果我们想要在三维空间中表示一个点，我们通常会使用三个坐标 (x, y, z)。然而，当我们在进行图形变换，如平移、旋转和缩放时，单纯使用这三个坐标并不足够方便。这时，齐次坐标就闪亮登场了。😊

一个三维中的点 (x, y, z)，在齐次坐标中会被表示为四个值 (wx, wy, wz, w)，其中 w 是一个非零的标量。通常情况下，为了简化，我们会选择 w=1，这样点 (x, y, z) 就变成了 (x, y, z, 1)。

非齐次坐标	齐次坐标
(x, y, z)	(x, y, z, 1)

图形学中的应用

在图形学中，齐次坐标主要用于表示和变换几何体。为什么这么做呢？因为使用齐次坐标可以将所有的变换统一成矩阵乘法的形式。平移、旋转、缩放等操作都可以通过乘以一个4x4的矩阵来实现。

1. 平移

想象一下，我们有一个点 (x, y, z)，我们想将它沿着X轴移动 dx，沿着Y轴移动 dy，沿着Z轴移动 dz。在非齐次坐标中，我们可能会写成 (x+dx, y+dy, z+dz)。但在齐次坐标中，我们可以使用一个矩阵来表示这个操作：

0	0	dx
1	0	dy
0	1	dz
0	0	1

2. 旋转

旋转稍微复杂一些，因为它依赖于旋转轴和旋转角度。以绕Z轴旋转为例，旋转矩阵可以表示为：

cos(θ)	-sin(θ)	0	0
sin(θ)	cos(θ)	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

3. 缩放

如果我们想对一个物体进行缩放，其中 sx, sy, sz 分别是沿X、Y、Z轴的缩放因子，对应的缩放矩阵为：

0	0	0
sy	0	0
0	sz	0
0	0	1

在Unity中的应用

在Unity中，齐次矩阵的应用是非常广泛的，并且被深度集成在了引擎的核心部分。Unity提供了一个强大的数学库，它允许我们使用矩阵和向量来执行复杂的变换。以下是如何在Unity中使用齐次矩阵的一些基本步骤。

1. 构建变换矩阵

在Unity中，每个GameObject都有一个Transform组件，该组件实际上存储了一个对象的位置、旋转和缩放信息。Unity内部使用齐次矩阵来存储这些信息。当我们在编辑器中移动、旋转或缩放对象时，Unity会自动更新这些矩阵。

Matrix4x4 translationMatrix = Matrix4x4.Translate(new Vector3(dx, dy, dz));
Matrix4x4 rotationMatrix = Matrix4x4.Rotate(Quaternion.Euler(new Vector3(rx, ry, rz)));
Matrix4x4 scaleMatrix = Matrix4x4.Scale(new Vector3(sx, sy, sz));

2. 应用变换矩阵

一旦我们有了变换矩阵，我们就可以将它应用到物体的位置、旋转或缩放上。在Unity中，我们通常不直接与矩阵打交道，而是使用Transform组件提供的方法来进行变换。

// 应用平移
transform.position += new Vector3(dx, dy, dz);

// 应用旋转
transform.rotation *= Quaternion.Euler(new Vector3(rx, ry, rz));

// 应用缩放
transform.localScale = new Vector3(sx, sy, sz);

但是，如果你需要直接操作矩阵，你可以这样做：

// 应用变换矩阵到物体
transform.localToWorldMatrix = translationMatrix * rotationMatrix * scaleMatrix;

3. 合成变换

实际上，在3D图形中，我们经常需要进行一系列变换，比如一个物体可能需要先旋转再平移。在Unity中，我们可以通过矩阵乘法来合成这些变换。

Matrix4x4 compositeMatrix = translationMatrix * rotationMatrix * scaleMatrix;

在Unity中，矩阵乘法的顺序非常重要，因为它决定了变换的先后顺序。通常，我们先进行缩放，然后旋转，最后平移。

4. 矩阵变换点和向量

在Unity中，我们还可以使用矩阵来变换点和向量。比如，我们可以使用一个物体的localToWorldMatrix来将一个局部坐标转换到世界坐标。

Vector3 worldPosition = myObject.transform.localToWorldMatrix.MultiplyPoint3x4(localPosition);

同样地，我们可以使用worldToLocalMatrix来进行相反的变换。

5. 摄像机视图和投影矩阵

在Unity中，摄像机的视图矩阵定义了从世界空间到摄像机空间的变换，而投影矩阵定义了从摄像机空间到屏幕空间的变换。这些矩阵背后都是使用了齐次坐标来实现不同空间间的转换。

Camera cam = Camera.main;
Matrix4x4 viewMatrix = cam.worldToCameraMatrix;
Matrix4x4 projectionMatrix = cam.projectionMatrix;

通过这些方法，Unity使得在3D空间中进行复杂的变换变得简单而直观。掌握这些概念，将帮助你深入理解3D图形编程，并在Unity中更加自如地创造出丰富的互动体验。

6. 应用齐次矩阵

例如,要移动或旋转一个游戏对象,我们可以构造一个齐次矩阵,然后用矩阵和对象的坐标相乘,就可以应用这个变换。

// 构造一个平移矩阵 
Matrix4x4 translateMatrix = Matrix4x4.Translate(1, 2, 3);

// 获取游戏对象的坐标 
Vector3 position = gameObject.transform.position;

// 应用变换
Vector3 newPosition = translateMatrix * position;

// 设置游戏对象的新坐标
gameObject.transform.position = newPosition;

上面就是使用齐次矩阵实现游戏对象移动的示例。旋转、缩放等操作也类似。

当然不使用齐次矩阵进行平移也是可以的,主要有以下两种方法:

直接修改坐标

这是最简单直接的方法。如果要对一个点 (x, y, z) 进行平移,例如沿x轴平移1个单位,可以直接用向量运算:

Vector3 origin = (x, y, z);
Vector3 translation = (1, 0, 0); 

Vector3 result = origin + translation;
通过向量相加就可以实现平移效果。

使用Transform类

在Unity中,可以通过Transform类的Translate方法来对游戏对象进行平移:

public Transform objectTransform; 

void TranslateObject() {
  objectTransform.Translate(1, 0, 0); 
}

Translate方法会修改对象的position属性,从而实现平移。

相比之下,使用齐次矩阵有以下优点:

可以组合多个变换,例如旋转后再平移
计算性能更高效

疑问

1. 齐次矩阵是4x4的怎么得到的3x3的坐标

一个4x4的齐次矩阵可以通过把最后一行和最后一列移除来转化为一个3x3的矩阵。这个过程通常被称为"降维"。
然后你可能会问，为什么我们要进行这种转换呢？
答案在于，当我们执行平移操作时，我们需要4x4的齐次矩阵。然而，当我们执行旋转或者缩放操作时，我们只需要使用3x3的子矩阵部分。
还有一点要注意的是，齐次坐标要表示成3维坐标，通常要通过将4维向量的前三个元素分别除以最后一个元素完成。这也体现在了将4x4矩阵降维到3x3矩阵的过程中。
举个例子📝，我们有一个4维齐次坐标 (X,Y,Z,W)，那么其对应的3维坐标就是 (X/W, Y/W, Z/W)。这样我们就将4维齐次坐标降维到3维了。这是因为齐次坐标的最后一个元素W是一个缩放因子。在实际的应用中，通常选择W=1来保持坐标原尺度。

2. 为什么四维可以表示三维的平移

传统的三维坐标系因其本质限制，不能直接表示平移操作。这是因为平移是改变物体的位置，而这种改变无法通过三维坐标系中的矩阵乘法来体现。
让我们通过一个具体的例子来理解这个过程。😊
假设我们有一个齐次坐标P (X, Y, Z, 1)，表示一个三维空间中的点。然后我们希望把这个点在X轴上移动3个单位，Y轴上移动2个单位，Z轴上移动1个单位。
这个操作可以通过平移矩阵来实现，平移矩阵可以表示为：

| 1  0  0  3 |
| 0  1  0  2 |
| 0  0  1  1 |
| 0  0  0  1 |

我们将这个矩阵记为M。那么，平移操作就可以通过矩阵乘法来实现。
P’ = M x P
其中，P’表示移动后的坐标位置。
根据矩阵乘法的定义，

  P'.x = M[0][0]*P.x + M[0][1]*P.y + M[0][2]*P.z + M[0][3]*P.w
  P'.y = M[1][0]*P.x + M[1][1]*P.y + M[1][2]*P.z + M[1][3]*P.w
  P'.z = M[2][0]*P.x + M[2][1]*P.y + M[2][2]*P.z + M[2][3]*P.w

这意味着P’的XYZ的坐标将会加上平移向量Tx=3、Ty=2、Tz=1，也就是说P在每个维度上的坐标将加上对应维度上的平移量。例如，新的X坐标值将会是原来的X值加上3，Y值加上2，Z值加上1，通常我们忽略w值，它在平移中仍然为1。