1. 基本问题
收敛阶
lim
k
→
∞
∣
e
k
+
1
∣
∣
e
k
∣
r
=
C
>
0
,
r
为收敛阶
\lim_{k\to\infty} \frac{|e_{k+1}|}{|e_k|}^r=C>0 \,\,,\,\, r为收敛阶
k→∞lim∣ek∣∣ek+1∣r=C>0,r为收敛阶
2. 二分法
二分法是线性收敛的，如果指定精度
ϵ
{ \epsilon }
ϵ ，则最多需要迭代步数
k
=
⌈
log
2
(
b
−
a
ϵ
)
⌉
k= \lceil \log_2(\frac{b-a}{\epsilon }) \rceil
k=⌈log2(ϵb−a)⌉
matlab实现
%% 二分法例子
f = @(x) x^3-x-1;
format long
[x,i] = bisect(f,1,2,1e-5,1000)
%% 二分法求非线性方程的根
% 输入函数，范围，精度,最大迭代次数
% 输出根,迭代次数
function [x,i] = bisect(f,a,b,eps,max_iter)
if sign(f(a))~=sign(f(b))
for i = 1:max_iter
c = a/2+b/2;
if (b-a)<eps || abs(f(c))<eps
x = c;
break
end
if sign(f(a))==sign(f(c))
a = c;
else
b = c;
end
end
end
end
3. 不动点迭代加速
不动点
x
=
x
∗
{x=x ^{*} }
x=x∗
x
k
+
1
=
ϕ
(
x
k
)
x_{k+1}=\phi(x_k)
xk+1=ϕ(xk)
x
k
+
1
−
x
∗
=
ϕ
(
x
k
)
−
ϕ
(
x
∗
)
=
ϕ
′
(
ξ
k
)
(
x
k
−
x
∗
)
,
ξ
k
∈
(
x
k
,
x
∗
)
x_{k+1}-x ^{*} =\phi(x_k)-\phi(x ^{*} )=\phi'(\xi_k)(x_k-x ^{*} ) \,\,,\,\, \xi_k\in(x_k,x ^{*} )
xk+1−x∗=ϕ(xk)−ϕ(x∗)=ϕ′(ξk)(xk−x∗),ξk∈(xk,x∗)
let
ϕ
′
(
ξ
k
)
=
L
\text{let} \,\,\, \phi'(\xi_k) =L
letϕ′(ξk)=L
x
∗
≈
x
k
+
1
−
L
x
k
1
−
L
=
ϕ
ˉ
(
x
)
x ^{*} \approx \frac{x_{k+1}-Lx_k}{1-L}=\bar\phi(x)
x∗≈1−Lxk+1−Lxk=ϕˉ(x)
为加速后的不动点迭代格式。
6. 割线法
割线法比起牛顿迭代法不需要计算导数。
双点割线法
需要知道两个的函数初始值，不需要函数值异号。迭代公式如下：
x
k
+
1
=
x
k
−
f
(
x
k
)
x
k
−
x
k
−
1
f
(
x
k
)
−
f
(
x
k
−
1
)
x_{k+1}=x_k-f(x_k) \frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}
xk+1=xk−f(xk)f(xk)−f(xk−1)xk−xk−1
收敛阶：
r
=
5
+
1
2
≈
1.618
r= \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1.618
r=25+1≈1.618
matlab编程实现文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-815155.html
%% 割线法例子
f = @(x) x-sin(x)-0.5;
[x,e,i] = cutSolve(f,1.4, 1.6, 0.01, 100)
%% 双点割线法
% 输入函数，根所在的区间下限上限，精度，最大迭代次数
% 输出根，根的值，迭代次数
function [x,e,i] = cutSolve(f,a,b,eps,max_iter)
x0 = a;
x1 = b;
for i = 1:max_iter
x = -f(x0)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))+x0
if abs(x-x1)<=eps
e = abs(f(x));
break;
end
x0=x1;
x1=x;
end
end
单点割线法
固定初始点，有
x
k
+
1
=
x
k
−
f
(
x
k
)
x
k
−
x
0
f
(
x
k
)
−
f
(
x
0
)
x_{k+1}=x_k-f(x_k) \frac{x_k-x_{0}}{f(x_k)-f(x_{0})}
xk+1=xk−f(xk)f(xk)−f(x0)xk−x0
算是一种不动点迭代。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-815155.html
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