第二单元主要内容
- 正交矩阵 Q,用矩阵形式描述正交性质。
投影矩阵 P,最小二乘法,在方程无解时求“最优解”。 Gram-Schmidt 正交化——从任意一组基得到标准正交基,策略是从向量
中减去投影到其它向量方向的分量。
-
行列式 det(A)
三个性质定义了行列式,可以推导出之后的性质 4~10。
行列式展开公式包含 n!个非零项,一半取+,一半取-。
代数余子式公式,以及推导出逆矩阵公式 A − 1 = 1 d e t ( A ) C T A^{−1}= \frac{1}{det(A)}C^T A−1=det(A)1CT -
特征值 Ax = λx
det(A-λI)=0
对角化:如果矩阵 A 包含 n 个线性无关的特征向量,可以对角化得到 S − 1 A S = Λ S^{-1}AS=Λ S−1AS=Λ
矩阵 A 的幂: A k = ( S Λ S − 1 ) k = S Λ k S − 1 A^k=(SΛS^{-1})^k=SΛ^kS^{-1} Ak=(SΛS−1)k=SΛkS−1
例题
1、a =
[
2
1
2
]
\begin{bmatrix} 2\\1\\2 \end{bmatrix}
212
a)求投影到向量 a 方向的投影矩阵 P。
解:
P
=
A
(
A
T
A
)
−
1
A
T
P=A(A^TA)^{-1}A^T
P=A(ATA)−1AT,这里 a 是向量,因此有
P
=
a
a
T
a
T
a
=
1
9
[
4
2
4
2
1
2
4
2
4
]
P= \frac{aa^T}{a^Ta}=\frac{1}{9} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 4 \end{bmatrix}
P=aTaaaT=91
424212424
b)求矩阵 P 的秩
解:矩阵的秩为 1,因为所有的列都是第二列的倍数。或者从投影矩阵投影的空间是 1 维可以判断出来。
c)矩阵 P 的列空间?
解:向量 a 所在的直线。
d)矩阵 P 的特征值?
解:矩阵的秩为 1,因此存在重特征值 0,再从矩阵的迹可以得到另一个特征值为 1。即特征值为 1,0,0。
e)求矩阵 P 对应特征值 1 的特征向量?
解:因为矩阵 P 为投影矩阵,在投影空间中的向量就是对应特征值 1 的特征向量,因此 a 就是对应的特征向量。
f)若有
u
k
+
1
=
P
u
k
u_{k+1}=Pu_k
uk+1=Puk,且有初值 u0=
[
9
9
0
]
\begin{bmatrix} 9\\9\\0 \end{bmatrix}
990
求 uk?
解:重复将一个向量投影到一条直线,从第二次开始投影结果即不发生变化。
u
k
=
P
k
u
0
=
P
u
0
=
a
T
u
0
a
T
a
=
3
a
=
[
6
3
6
]
uk=P^ku_0=Pu_0= \frac{a^Tu_0}{a^Ta}=3a=\begin{bmatrix} 6\\3\\6 \end{bmatrix}
uk=Pku0=Pu0=aTaaTu0=3a=
636
g)测验中可能出现
u
k
+
1
=
A
u
k
u_k+1=Au_k
uk+1=Auk,其中的矩阵 A 不是投影矩阵,没有投影矩阵的性质
P
k
u
0
=
P
u
0
P^ku_0= Pu_0
Pku0=Pu0,此时需要求矩阵的特征值和特征向量。
u
0
=
c
1
x
1
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
u_0=c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3
u0=c1x1+c2x2+c3x3
则
u
k
=
c
1
λ
1
k
x
1
+
c
2
λ
2
k
x
2
+
c
3
λ
3
k
x
3
uk=c_1λ_1^kx_1+c_2λ_2^k x_2+c_3λ_3^kx_3
uk=c1λ1kx1+c2λ2kx2+c3λ3kx3
对于投影矩阵而言,
λ
1
=
1
,
λ
2
=
λ
3
=
0
λ_1=1,λ_2=λ_3=0
λ1=1,λ2=λ3=0。因此有
u
1
=
u
2
=
u
3
=
…
…
u_1=u_2=u_3=……
u1=u2=u3=……
- 已知以下数据点
t | y |
---|---|
1 | 4 |
2 | 5 |
3 | 8 |
a)求利用三个数据点拟合过原点的一条直线 y=Dt?
解:
[
1
2
3
]
D
=
[
4
5
8
]
\begin{bmatrix} 1\\2\\ 3 \end{bmatrix}D=\begin{bmatrix} 4\\5\\ 8 \end{bmatrix}
123
D=
458
,我们求解的问题就是求方程的最优解 Dˆ 。
A
T
A
D
ˆ
=
A
T
b
A^TA Dˆ =A^Tb
ATADˆ=ATb。 解得 Dˆ =19/7。因此直线解析式为 y=(19/7)t。
b)怎样从投影来理解这个问题?
解:对于最小二乘问题有两种理解方法。其中一种是找到平面内最优的一条直线。另一种是将
b
=
[
4
5
8
]
b=\begin{bmatrix} 4\\5\\ 8 \end{bmatrix}
b=
458
投影到 A 的列空间,来得到最接近于 Ax=b 的解。
-
向量 a 1 = [ 1 2 3 ] a_1=\begin{bmatrix} 1\\2\\ 3 \end{bmatrix} a1= 123 和 a 2 = [ 1 1 1 ] a_2=\begin{bmatrix} 1\\1\\ 1 \end{bmatrix} a2= 111 向量确定了一个平面,找到该平面的一组正交基。
解:应用 Gram-Shmidt 正交化方法。取 a1为第一个方向,找出垂直于该方向的向量 B。策略就是在 a2中减掉它在 a1方向上的分量,得到完全垂直于 a1的部分:
B = a 2 − a 1 T a 2 a 1 T a 1 a 1 = [ 4 / 7 1 / 7 − 2 / 7 ] B= a_2 - \frac{a_1^Ta_2}{a_1^Ta_1}a_1 =\begin{bmatrix} 4/7\\1/7\\ -2/7 \end{bmatrix} B=a2−a1Ta1a1Ta2a1= 4/71/7−2/7 -
已知一个 4 阶方阵 A 具有特征值λ1,λ2,λ3,λ4。
a)特征值需要满足什么条件才能保证 A 为可逆矩阵。
解:当且仅当矩阵的特征值均不为 0 的时候,A 为可逆矩阵。若有特征值 0 存在,则矩阵零空间有非零向量,矩阵不可逆。
b)求逆矩阵行列式的值?
解: A − 1 A^{-1} A−1的特征值为 A 特征值的倒数。因此 d e t ( A − 1 ) = 1 λ 1 1 λ 2 1 λ 3 1 λ 4 det(A^{-1})= \frac{1}{λ_1}\frac{1}{λ_2}\frac{1}{λ_3}\frac{1}{λ_4} det(A−1)=λ11λ21λ31λ41
c)求(A+I )的迹?
解:矩阵的迹等于其特征值的和,(A+I)的特征值为 λ 1 + 1 , λ 2 + 1 , λ 3 + 1 , λ 4 + 1 λ_1+1,λ_2+1,λ_3+1,λ_4+1 λ1+1,λ2+1,λ3+1,λ4+1,则该矩阵的迹为 λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 + 4 λ_1+λ_2+λ_3+λ_4+4 λ1+λ2+λ3+λ4+4。 -
已知三对角矩阵:
A 4 = [ 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 ] A_4=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} A4= 1100111001110011
令 D n = d e t ( A n ) D_n=det(A_n) Dn=det(An)
a)用代数余子式的方法求出 D n = a D n − 1 + b D n − 2 D_n=aD_{n-1}+bD_{n-2} Dn=aDn−1+bDn−2中的 a,b?
解:用代数余子式可得 D4=(1)D3+(-1)D2。
b)利用找到的递归方程 D n = a D n − 1 + b D n − 2 D_n=aD_{n-1}+bD_{n-2} Dn=aDn−1+bDn−2,求 D n D_n Dn?
解:把它当作方程组来求解,我们首先解得初值 D1=1,D2=0。
按照递归方程构造 2 阶线性方程:
[ D n D n − 1 ] = [ 1 − 1 1 0 ] [ D n − 1 D n − 2 ] \begin{bmatrix}D_n\\D_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&-1\\1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}D_{n-1}\\D_{n-2} \end{bmatrix} [DnDn−1]=[11−10][Dn−1Dn−2]
求解矩阵的特征值可得: λ = 1 ± 3 i 2 = e ± i π 3 λ = \frac{1±\sqrt{3}i}{2}=\frac{e±iπ}{3} λ=21±3i=3e±iπ,均为模为 1 的复数,在单位圆上旋转。可以看到 λ 1 6 = λ 2 6 = 1 λ_1^6=λ_2^6=1 λ16=λ26=1,矩阵经六次变换变为单位阵。该序列既不发散也不收敛,数列以 6 次为重复周期不停循环,1,0,-1,0,1,1。 -
有一组对称矩阵:
A 2 = [ 0 1 1 0 ] A 3 = [ 0 1 0 1 0 2 0 2 0 ] A 4 = [ 0 1 0 0 1 0 2 0 0 2 0 3 0 0 3 0 ] A_2=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}A_3=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}A_4=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{bmatrix} A2=[0110]A3= 010102020 A4= 0100102002030030
a)找到投影到矩阵 A3列空间的投影矩阵 P。
解:矩阵 A3为奇异阵,其第 3 列列向量为第 1 列的 3 倍,而第 1,2 列线性无关,因此其列空间为一个平面,取其前两列列向量组成矩阵 A,则有
P
=
A
(
A
T
A
)
−
1
A
T
=
[
1
/
5
0
2
/
5
0
1
0
2
/
5
0
4
/
5
]
P=A(A^TA)^{-1}A^T=\begin{bmatrix} 1/5 & 0 & 2/5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2/5 & 0 & 4/5 \end{bmatrix}
P=A(ATA)−1AT=
1/502/50102/504/5
可以通过将矩阵 A3的列向量乘以投影矩阵来验证这一结果,在平面内的向量投影后应该不发生变化。
b)求 A3的特征值和特征向量?
解:
d
e
t
(
A
3
−
λ
I
)
=
∣
−
λ
1
0
1
−
λ
2
0
2
−
λ
∣
=
−
λ
3
+
5
λ
=
0
det(A_3-λI)=\begin{vmatrix} -λ & 1& 0\\1& -λ& 2\\0&2&-λ \end{vmatrix} =-λ^3+5λ =0
det(A3−λI)=
−λ101−λ202−λ
=−λ3+5λ=0
解得三个特征值,λ1=0,λ2=
5
\sqrt{5}
5,λ3=
−
5
-\sqrt{5}
−5。可用矩阵的迹做检查。
求解(
A
3
−
λ
I
A_3-λI
A3−λI)x=0,可得特征向量
x
1
=
[
−
2
0
1
]
,
x
2
=
[
1
−
5
2
]
,
x
3
=
[
1
5
2
]
x_1=\begin{bmatrix} -2\\0\\1 \end{bmatrix},x_2=\begin{bmatrix} 1\\ -\sqrt{5} \\2\end{bmatrix},x_3=\begin{bmatrix} 1\\ \sqrt{5} \\2 \end{bmatrix}
x1=
−201
,x2=
1−52
,x3=
152
文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-816677.html
c)找到投影到矩阵 A4列空间的投影矩阵 P?
解:因为
A
4
A_4
A4为可逆矩阵,所以它的列空间就是整个
R
4
R_4
R4空间,所以 P=I。而可逆矩阵的证明可以采用求行列式的办法,用代数余子式展开可得
d
e
t
(
A
4
)
=
9
det(A_4)=9
det(A4)=9。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-816677.html
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