C语言每日一练——第154天:牛顿迭代法求方程根

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🌟 前言

Wassup guys,我是Edison 😎

今天是C语言每日一练,第154天!

Let’s get it!

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1. 问题描述

编写用牛顿迭代法求方程根的函数。
 
方程为 a x 2 + b x 2 + c x + d = 0 ax^2+bx^2+cx+d=0 ax2+bx2+cx+d=0,系数a,b,c,d 由主函数输入。
 
x x x 1 1 1 附近的一个实根。求出根后,由主函数输出。

 
牛顿迭代法的公式是: − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) -\frac{f(x_0 )}{f'(x_0)} f(x0)f(x0) ,设迭代到 ∣ x − x 0 ∣ ≤ 1 0 − 5 |x-x_0|\leq10^{-5} xx0105 时结束。
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2. 题目分析

牛顿迭代法是取 x 0 x_0 x0 之后,在这个基础上,找到比 x 0 x_0 x0 更接近的方程的根,一步一步迭代,从而找到更接近方程根的近似根。
 
r r r f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0 的根,选取 x 0 x_0 x0 作为 r r r 初始近似值。
 
过点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0, f(x_0)) (x0,f(x0)) 作为曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的切线 L L L
 
L L L 的方程为 y = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ∗ ( x − x 0 ) y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0) y=f(x0)+f(x0)(xx0)
 
求出 L 与 x 轴交点的横坐标 x 1 = x 0 − f ( x 0 ) / f ′ ( x 0 ) x_1=x_0-f(x_0)/f'(x_0) x1=x0f(x0)/f(x0),称 x x x r r r 的一次近似值,
 
过点 ( x 1 , f ( x 1 ) ) (x_1,f(x_1)) (x1,f(x1)) 作为曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的切线,并求该切线与 x 轴的横坐标 x 2 = x 1 − f ( x 1 ) / f ′ ( x 1 ) x_2=x_1-f(x_1)/f'(x_1) x2=x1f(x1)/f(x1),称 x 2 x_2 x2 r r r 的二次近似值,
 
重复以上过程,得 r r r 的近似值 x n x_n xn
 
上述过程即为牛顿迭代法的求解过程。

3. 算法设计

程序流程分析👇
 
(1) 在 1 1 1 附近找任一实数作为 x 0 x_0 x0 的初值,我们取 1.5 1.5 1.5,即 x 0 = 1.5 x_0=1.5 x0=1.5
 
(2) 用初值 x 0 x_0 x0 代入方程中计算此时的 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0);程序中用变量 f f f 描述方程的值,用 f d fd fd 描述方程求导之后的值。
 
(3) 计算增量 h = f / f d h=f/fd h=f/fd
 
(4) 计算下一个 x : x = x 0 − h x:x=x_0-h x:x=x0h
 
(5) 用新产生的 x x x 替换原来的 x o x_o xo,为下一次迭代做好准备。
 
(6) 若 ∣ x − x 0 ∣ > = 1 e − 5 |x-x_0|>=1e-5 xx0>=1e5,则转到第 (3) 步继续执行,否则转到步骤 (7)。
 
(7) 所求 x x x 就是方程 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0 的根,将其输出。
 
本程序的编写既可用 while,也可用 do...while,二者得到的结果是一样的,只是在赋初值时稍有不同。
 
while 结构需要先判定条件,即先判断 ∣ x − x 0 ∣ > = 1 e − 5 |x-x_0|>=1e-5 xx0>=1e5 是否成立,这样对于 x x x x 0 x_0 x0 我们要在 1 1 1 附近取两个不同的数值作为初值;
 
do...while 结构是先执行一次循环体,得到 x x x 的新值后再进行判定,这样程序开始只需给 x x x 赋初值。
 
这里我们采用 do...while 结构来实现。

4. 确定程序框架

程序的主体结构如下👇

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由于程序中用到了绝对值函数 fabs() , 所以在程序的开始要加上头文件#include <math.h>

流程图如下所示👇

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5. 迭代法求方程根

编写程序时要注意的一点是判定 ∣ x − x 0 ∣ > = 1 e − 5 |x-x_0|>=1e-5 xx0>=1e5
 
从牛顿迭代法的原理可以看出:迭代的实质就是越来越接近方程根的精确值,最初给 x 0 x_0 x0 所赋初值与根的精确值是相差很多了,正是因为这个我们才需要不断地进行迭代,也就是程序中循环体的功能。
 
在经过一番迭代之后所求得的值之间的差别也越来越小,直到求得的某两个值的差的绝对值在某个范围之内时,便可结束迭代。
 
若我们把判定条件改为 ∣ x − x 0 ∣ < 1 e − 5 |x-x_0|<1e-5 xx0<1e5,则第一次的判断结果必为假,这样就不能进入循环体再次执行。

定义 solution()函数求方程的根。solution()函数的代码如下👇

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6. 代码实现

完整代码📝

#include <stdio.h>
#include <math.h>

float solution(float a, float b, float c, float d)
{
	float x0, f, fd, h; 
	float x = 1.5;

	do
	{
		x0 = x; 

		f = a * x0 * x0 * x0 + b * x0 * x0 + c * x0 + d;

		fd = 3 * a * x0 * x0 + 2 * b * x0 + c;

		h = f / fd;

		x = x0 - h; 

	} while (fabs(x-x0) >= 1e-5);

	return x;
}

int main()
{
	float a, b, c, d; 

	float x; 
	
	printf("请输入方程的系数:");
	
	scanf("%f %f %f %f", &a, &b, &c, &d);
	
	x = solution(a, b, c, d);
	
	printf("\n");
	
	printf("所求方程的根为:x=%f\n", x);

	return 0;
}

运行结果👇

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代码解释👇

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