离散数学习题1.1 命题逻辑-Toy模板网

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图源：文心一言

离散数学习题记录，仅节选习题~🥝🥝

面对每个小节动辄30+道题的庞大题量，我深知，以我计穷智短的天资与精卫填海的刷题速度，即便日以继夜地奋战，累成被山西老陈醋泡过的腊八蒜，时间仍显得捉襟见肘~因此，每个类型的题目我随机仅挑选1-2道解答~🥝🥝

作为初学者的我，这些习题主要用于自我巩固。由于是自学，答案难免有误，非常欢迎各位小伙伴指正与讨论！👏💡

第1版：自己的解题，与AI老师的判卷；第1份没有经验，傻傻写多了，盘算下来时间太紧张了，下次不会这样了~🧩🧩

编辑：梅头脑🌸

审核：文心一言

题源：黑书《离散数学》原书第8版 Kenneth H.Rosen著徐六通等译

📇目录

🧵练习1、7、9

🧵练习5、6

🧵练习10、11

🧵练习17、19、23

🧵练习20

🧵练习23

🧵练习25、29

🧵练习26

🧵练习30

🧵练习35、43

🔚结语

🧵练习1、7、9

🧩题目1

🧩题目7

🧩题目9

📇阿梅答题

📇AI审核

e）你说：“'2+x=11'是命题，真假未知，需要以x的数值确定。” 这里你的理解有误。在离散数学中，一个命题必须是可以明确判断为真或假的陈述。'2+x=11'这样的表达式，因为包含未知数x，所以不是一个命题，而是一个开语句或条件语句。只有当x被赋予一个特定值时，它才能变成一个可以判断真假的命题。

🧵练习5、6

🧩题目

📇阿梅答题

5.

a）Mei 没有 MP3播放器~~（或者，Mei有很多MP3播放器？）~~；

b）新泽西有污染；

c）2+1≠3；

d）缅因州的夏天不是又热又晒；

6.

a）Jennifer和Teja不是朋友；

~~b）面包师没有说的一打有13个；~~

c）Abby不会每天发送100多条文本信息；

d）121不是一个完全平方数；

📇AI审核

5.a）你的第二个答案“Mei有很多MP3播放器？”是不正确的。原命题“Mei有一台MP3播放器”的否定应该是“Mei没有MP3播放器”，而不应该引入“有很多”这样的说法。

在逻辑学中，当我们否定一个命题时，我们通常是在声明该命题所描述的情况不成立。对于命题“Mei有一台MP3播放器”，否定这个命题并不意味着“Mei有很多台MP3播放器”或“Mei有零台以外的其他数量的MP3播放器”。实际上，这个命题的否定应该是最直接的对立情况，即“Mei没有MP3播放器”。

你提到的“没有或有很多台”引入了一种量词的模糊性，这在严格的逻辑否定中并不适用。逻辑否定关注的是命题本身的真值条件是否被违反，而不是引入新的、可能的信息或解释。因此，在否定一个关于特定数量的命题时，我们应该坚持最直接的对立情况，即该数量不存在或不符合原命题的描述。

所以，对于5.a）的正确否定应该是“Mei没有MP3播放器”，而不是引入其他可能的数量情况。

6.b）你的答案“面包师没有说的一打有13个”语法上有误，且没有正确否定原命题。原命题“面包师说的一打有13个”的否定应该是“面包师说的一打没有13个”或者更准确地说，“面包师说的一打不是13个”。

📇参考答案

5.d）缅因州的夏天不热或阳光不明媚；

🧵练习10、11

🧩题目

📇阿梅答题

10. 备注：我认为本题应该插播一则——对就是那种奇怪的小广告。

a）本周我没有买彩票；

b）本周我买了一张彩票，或我赢得了百万美元大奖；

c）如果本周我买了一张彩票，那么我本周会赢得百万美元大奖；

d）本周我买了一张彩票，并且我赢得了百万美元大奖；

e）只有本周我买了一张彩票，我才能赢得了百万美元大奖；

f）如果本周我不买一张彩票，那么我就不会中百万大奖；

g）本周我不会买一张彩票，并且我不会中百万大奖；

h）本周我不会买一张彩票，或者我会买彩票并中百万大奖；

11.

a）在海岸附近没有发现过鲨鱼；

b）在新泽西海岸游泳是允许的，并且在海岸附近发现过鲨鱼；

c）在新泽西海岸游泳是不被允许的，或者在海岸附近发现过鲨鱼；

d）如果在新泽西海岸游泳是允许的，那么在海岸附近未发现过鲨鱼；

e）如果在海岸附近未发现过鲨鱼，那么在新泽西海岸游泳是允许的；

f）如果在新泽西海岸游泳是不被允许的，那么在海岸附近未发现过鲨鱼；

g）在新泽西海岸游泳是允许的，当且仅当海岸附近未发现过鲨鱼；

~~h）在新泽西海岸游泳是不被允许的，并且在新泽西海岸游泳是允许的且在海岸附近未发现过鲨鱼；（存疑）~~

📇参考答案

11.h）在新泽西海岸不允许游泳，并且或者在新泽西海岸允许游泳或者在海岸附近没发现过鲨鱼；

🧵练习17、19、23

🧩题目17

🧩题目19

🧩题目23

📇阿梅答题

🧵练习20

🧩题目

📇阿梅答题

a）真的；假设条件“1+1=3”是假的；

b）真的；假设条件“1+1=3”是假的；

c）假的；假设条件“1+1=2”是真的，结论是假的；

d）真的；假设条件“2+2=4”是真的，结论“1+2=3”是真的；

备注：不要问我“1+1=3”和“狗能飞”以及“独角兽”有毛线逻辑关系，这也是我稀里糊涂的点，因为规则就是这样定的——

📇AI审核

在逻辑中，如果一个条件语句的前提是假的，那么整个条件语句都被认为是真的，这被称为“真空真”或“ex falso quodlibet”。因为在实际中，1+1并不等于3，所以前提是假的，按照上述逻辑规则，整个语句被认为是真的。但实际上，这并不意味着独角兽真的存在，而只是说在这个假设条件下，语句是真的。

你的答案和分析大部分是正确的，只是在解释a)和b)的情况时，需要注意虽然整个条件语句在逻辑上是真的，但这并不意味着结论本身（独角兽存在或狗能飞）是真的。这只是一个逻辑游戏的规则，与实际情况无关。

🧵练习23

🧩题目

📇阿梅答题

a）兼或；两门课程同时选修不会冲突；

b）异或；两个折扣不能同时取得；

c）异或；五道菜不能同时拥有；

d）兼或；同时低于两个标准学校也会停课；

🧵练习25、29

🧩题目25

🧩题目29

📇阿梅答题

🧵练习26

🧩题目

📇阿梅答题

~~a）如果你给我发一封电子邮件，则我会记得把地址发给你；~~

b）如果生在美国，则你会成为美国公民；

c）如果你保存好课本，则它是未来其他课程有用的参考书；

d）如果其守门员表现出色，则红翼队赢得斯坦利杯；

e）如果你获得这一职位，则表明你有最好的信誉；

f）如果有风暴，则沙滩收到侵蚀；

~~g）如果有一个有效的口令，则能登录到服务器；~~

h）如果不太晚开始爬山，则可以登顶；

i ）如果你是明天的前100位顾客，则你能获得一个免费的冰淇淋；

📇参考答案

a）如果我记得把地址发给你，则你会给我发一封电子邮件；
注：“仅当”后面的语句是必要条件。

b）如果你能登录到服务器，则你有一个有效的口令；
注：“必须”后面的语句是必要条件。

🧵练习30

🧩题目

📇阿梅答题

a）

逆命题：如果我待在家里，则今晚下雪；

否命题：如果今晚不下雪，则我不会待在家里；

逆否命题：如果我没有待在家里，则今晚没有下雪。

b）

~~逆命题：只要我去海滩，就是阳光充足的夏天。~~

否命题：只要不是阳光充足的夏天，我就不去海滩；

~~逆否命题：我没有去海滩，因为没有阳光充足的夏天。~~

c）

逆命题：如果我睡到中午，那么我已经工作到很晚。

否命题：如果我没有工作到很晚，那我没有必要睡到中午。

逆否命题：如果我没有睡到中午，那么我没有工作到很晚。

📇AI审核

在b）的逆命题中，你的表述“只要我去海滩，就是阳光充足的夏天”可能有些含糊。更准确的说法应该是“如果我去海滩，那么是阳光充足的夏天”。这里的“只要...就...”和“如果...那么...”在逻辑上并不完全等价，前者暗示了某种充分条件，而后者更明确地表示了一个条件语句。

在b）的逆否命题中，“我没有去海滩，因为没有阳光充足的夏天”可能更准确地表述为“如果我没有去海滩，那么不是阳光充足的夏天”。这样更符合逆否命题的标准形式。

b）修正后的答案如下：

逆命题：如果我去海滩，那么是阳光充足的夏天。

否命题：只要不是阳光充足的夏天，我就不去海滩。

逆否命题：如果我没有去海滩，那么不是阳光充足的夏天。