【离散数学】偏序和全序的区别与解释、哈斯图-Toy模板网

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1. 集合上的关系问题： 假设A是一个集合 {1,2,3} ；R是集合A上的关系，例如{<1,1>,<2,2>,< 3,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}
自反性：任取一个A中的元素x，如果都有<x,x>在R中，那么R是自反的。
对称性：任取两个A中的元素x,y，如果<x,y> 在关系R上,那么<y,x> 也在关系R上，那么R是对称的。
反对称性：任取两个A中元素x,y(x!=y)，如果<x,y> 在关系R上,那么<y,x> 不在关系R上，那么R是反对称的。
传递性：任取三个A中元素x,y,z，如果<x,y>,<y,z> 在关系R上，那么 <x,z> 也在关系R上，那么R是传递的。

2. 偏序： 设R是非空集合A上的关系，如果R是自反的，反对称的，和传递的，则称R是A上的偏序关系。
偏序的定义：设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：
Ⅰ 自反性：对任意x∈A，有xRx；
Ⅱ 反对称性（即反对称关系）：对任意x,y∈A，若xRy，且yRx，则x=y；
Ⅲ 传递性：对任意x, y,z∈A，若xRy，且yRz，则xRz。则称R为A上的偏序关系。

3. 全序： 如果R是A上的偏序关系，那么对于任意的A集合上的 x,y，都有 x <= y，或者 y <= x，二者必居其一，那么则称R是A上的全序关系。
全序的定义：设集合X上有一全序关系，如果我们把这种关系用 ≤ 表述，则下列陈述对于 X 中的所有 a, b 和 c 成立：
如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性)
如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性) a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)
注意：完全性本身也包括了自反性。所以，全序关系必是偏序关系

所以可以看到，全序也是一种偏序。偏序究竟在说啥，关键在于反对称性上，就是说，<x,y> 在关系R上，那么 <y,x>不在关系R上，那我问你，<y,x>关系是啥，就是未知。所以说偏序就在于你的集合A={1,2,3,4}，有一些元素的关系根据R你是得不出的。那么既然你不知道这个<y,x>，那么全序关系上，就多加一个条件，都有 x <= y，或者 y <= x，二者必居其一。

4.哈斯图：
偏序和全序,离散数学,线性代数

5. 最大元（最小元）&极大元（极小元）

6. 上界（上确界）&下界（下确界）

6. 全序关系的哈斯图
全序关系的哈斯图将集合中的元素排成一个线，像一条链子，这充分体现了全序集可以作线序集或链的原因。
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