目录
一、题目
二、算法求解
1、蛮力算法
伪代码
算法分析
程序
2、分治策略
伪代码
算法分析
程序
3、动态规划算法
伪代码
算法分析
程序
一、题目
设A=<a1,a2,...,an>是n个整数的序列，称<ai,....,aj>为该序列的连续子序列，其中1<=i<=j<=n，子序列的元素之和称为A的子段和：
例如，A=<-2,11,-4,13,-5,-2>，那么它的子段和如下：
长度为1的子段和有：-2,11,-4,13,-5,-2
长度为2的子段和有：9,7,9,8,-7
长度为3的子段和有：5,20,4,6
长度为4的子段和有：18,15,2
长度为5的子段和有：13,13
长度为6的子段和有：11
其中的最大子段和为：11-4+13=20
则最大子段和问题为：
给定n个整数的序列A=<a1,a2,...,an>，求
二、算法求解
1、蛮力算法
通过枚举A的所有连续子序列并且求和，通过比较找出具有最大和的子序列。
伪代码
//算法 Enumerate
//输入：数组A[1..n]
//输出：sum,first,last //sum为最大子段和，first与last分别是和的首末位置
算法分析
3个for循环，每次执行O(n)次，循环内部是常数操作，所以该算法的时间复杂度为
程序
//算法3.8 Enumerate
//输入：数组A[1..n]
//输出：sum,first,last
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void Enumerate (int a[],int n)
{
int sum = 0;
int i,j,k;
int first,last;
for(i = 0;i < n; i++){
for(j = i;j < n;j++){
int thissum = 0;
for(k = i;k <= j; k++){
thissum = thissum + a[k];
}
if(thissum > sum){
sum = thissum;
first = i;
last = j;
}
}
}
printf("数组A的最大连续子段和为A[%d..%d]=%d",first+1,last+1,sum);
}
int main()
{
int A[6]={-2,11,-4,13,-5,-2};
int i;
for(i = 0;i < 6;i++)
{
printf("%d ",A[i]);
}
printf("\n");
Enumerate(A,6);
return 0;
}2、分治策略
与最邻近点对的算法（参考之前的文章）类似，我们可以在 n/2的位置将 A 划分成A1和 A2前后两半，于是 A 的最大子段和可能是三种情况：
- 出现在 A1部分
- 出现在 A 部分，
- 出现在横跨两边的中间部分
前两种情况恰好对应于两个规模减半的子问题，第三种情况需要特殊处理一下，设原问题的输人是 A [1...n]，中间分点 k = n /2，那么前半部分子问题的输人是 A [1...k]，后半部分子问题的输人是 A [ k +1，n]。在第三种情况下，设这个最大和是 A [ p .. q ]，那么, ，从 A [ p ］到 A [ k ］的元素都在 A1 中，从 A [ k 十1］到 A [ q ］的元素都在 A2 中，我们只需要从 A [ k ］和 A [ k +1］分别向前和向后求和即可，比如以 A [ p ...k ］的计算为例，依次计算 A [ k .. k ], A [ k-1, k ],.., A [1...k]，记下其中最大的和 S1 ，即 A [ p ... k ]，对右半部可以同样处理，只不过扫描方向相反，得到的 S2 就是 A [ k+1... q ］的元素之和，当两个方向的扫描都完成之后,S1+S2 就是横跨中心的最大和，其边界从p到q。这三种情况都计算完成以后，通过比较就可以确定 A 的最大子段和
伪代码
//MaxSubSum(A,left,right) 【分治算法】
//输入：数组A,left,right分别是A的左右边界，1<=left<=right
//输出：A的最大子段和sum及其子段的前后边界
算法分析
设算法对规模为的输人运行时间是 T ( n )，行3和行4是递归调用，每个子问题是原来问题规模的一半，因此需要2T( n /2）时间，行5和行6的处理需要扫描A的每个元素，总计需要O(n)时间，于是递归方程为：
该方程的解为：
程序
//算法3.9 MaxSubSum(A,left,right) 【分治算法】
//输入：数组A,left,right分别是A的左右边界，1<=left<=right
//输出：A的最大子段和sum及其子段的前后边界
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct max_info{
int low;
int high;
int sum;
};
struct max_info MaxSubSum(int a[],int left,int right)
{
struct max_info maxinfo;
maxinfo.sum = 0;
int i;
if(left == right){
maxinfo.sum = a[left]>0 ? a[left] : 0;
maxinfo.high = right;
maxinfo.low = right;
return maxinfo;
}
else{
struct max_info leftinfo;//左侧
struct max_info rightinfo;//右侧
struct max_info croseinfo;//跨越
int center = (left + right) / 2;
leftinfo = MaxSubSum(a, left, center);
rightinfo = MaxSubSum(a, center + 1, right);
int s1 = 0;
int suml = 0;
for(i = center; i >= left; i--)
{
suml += a[i];
if(suml > s1)
{
s1 = suml;
croseinfo.low = i;
}
}
int s2 = 0;
int sumr = 0;
for(i = center + 1; i < right; i++)
{
sumr += a[i];
if(sumr > s2)
{
s2 = sumr;
croseinfo.high = i;
}
}
croseinfo.sum = s1 + s2;
if(croseinfo.sum < leftinfo.sum){
maxinfo.sum = leftinfo.sum;
maxinfo.high = leftinfo.high;
maxinfo.low = leftinfo.low;
}
if(croseinfo.sum < rightinfo.sum){
maxinfo.sum = rightinfo.sum;
maxinfo.high = rightinfo.high;
maxinfo.low = rightinfo.low;
} else{
maxinfo.sum = croseinfo.sum;
maxinfo.high = croseinfo.high;
maxinfo.low = croseinfo.low;
}
}
return maxinfo;
}
int main()
{
struct max_info maxinfo;
int A[6]={-2,11,-4,13,-5,-2};
int i;
for(i = 0;i < 6;i++)
{
printf("%d ",A[i]);
}
printf("\n");
maxinfo = MaxSubSum(A,0,5);
printf("数组A的最大连续子段和为：A[%d..%d]=%d\n",maxinfo.low+1,maxinfo.high+1,maxinfo.sum);
return 0;
}
3、动态规划算法
为了得到更高效的算法，我们需要在子问题之间建立一个简单的递推关系，因此定义一个优化函数
对于数组A=<2,-5,8,11,-3,4,6>，其优化函数为：C[1]=2、C[2]=-3、C[3]=8、C[4]=19、C[5]=16、C[6]=20、C[7]=26
在这种优化函数中，C [ i +1］可以通过 C[ i ] 直接得到，因为如果 A [1... i +1 ］的子段 A [ k .. i +1］是使得 C [ i ＋1 ]达到最大和的子段，那么 A [ k ... i ］一定是使得 C [ i ]达到最大和的子段．如若不然，存在一个使得 C[ i ]达到更大和的子段 A [ t ... i ]，那么在 A [ t ... i ］后面加上 A[ i+1 ]所得到的子段 A [ t ... i +1］之和将大于 C [ i +1].这与 C [ i 十1］是 A [1.. i +1］以元素 A [ i +1］作为最后元素的最大子段和矛盾．这恰好验证了这样定义的优化函数满足优化原则于是，我们在考虑怎样选择才能使得 C [ i +1］达到最大值时，只要考虑一个问题：是否需要把 C [ i ]加到 A [ i +1上？而这取决于 C [ i ]是否大于0．
那么递推关系为：
若A[1]>0,否则C[1]=0
根据上面的递推公式，得到C[1]，C[2]，C[3].....C[n，]恰好枚举了以任何元素为最后元素的所有子段的最大和，我们要找到所求问题的最大子段和，就要对上面n个子段和进行比较，找到其中最大和。
伪代码
//MaxSum(A,n) 【动态规划】
//输入：数组A
//输出：最大子段sum，子段的最后位置c文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-820951.html
算法分析
MaxSum(A,n) 算法只有一个for循环，执行次数为O(n)，循环体内都是常数次运算，因此算法复杂度为O(n)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-820951.html
程序
//算法3.10 MaxSum(A,n) 【动态规划】
//输入：数组A
//输出：最大子段sum，子段的最后位置c
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void MaxSum(int A[], int n)
{
int sum = 0;
int b = 0;
int i,c;
for(i = 0;i < n;i++)
{
if(b > 0)
b= b+A[i];
else
b = A[i];
if(b > sum)
{
sum = b;
c = i;
}
}
printf("数组A的最大连续子段和为：%d,且子段最后位置为：%d",sum,c+1);
}
int main()
{
int A[7]={2,-5,8,11,-3,4,6};
int i;
for(i = 0;i < 7;i++)
{
printf("%d ",A[i]);
}
printf("\n");
MaxSum(A,7);
return 0;
}到了这里，关于最大子段和——用蛮力算法，分治策略，动态规划算法三种求法（C语言）的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
