格拉姆--施密特(Gram-Schmidt)正交化方法笔记

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了格拉姆--施密特(Gram-Schmidt)正交化方法笔记。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

        前段时间,身边的小伙伴问过我关于线性代数的一些知识,其中包含了特征向量的正交化的内容。遥想当初在学习线性代数的时候,只知道施密特正交化可以用来解决这个问题,但是老师猝不及防地甩过来一大段公式(可见下式),完全没讲怎么来的,并且这破公式好难记,着实困扰了我很长一段时间,直到最近上了《高等工程数学》的一堂课才有点理解它的由来。

施密特正交化,数学,线性代数

         为了简单起见,我们先看看只有a1,a2两个线性无关向量的情况,根据上面的公式可以得出

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        那这是怎么来的呢?首先第一个等式是比较符合常理的,主要是第二个的值如何取;我们要明白一定是要与垂直的,即满足两两正交,因此我们可以画一个图更直观地感受一下

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         图中的底下的黑色线条(不是蓝色的)是(),而给定的为斜向上黑色的线条,因为不一定与垂直,所以我们需要构造使得与垂直。很直观地,我们可以从图中看到底下蓝色线条对应的向量与是共线同方向的,并且其长度为在上的投影,即

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        这里的v就是对应蓝色的线条,根据向量之间的减法,图中的r1就等于,这就与公式中的第二个等式一样,并且发现这个r1与垂直,就是我们所想要的。从这里我们可以看到所求的其实等于r1=,当且仅当p等于在上的投影长度。这样我们延伸到三维空间,我们可以得到

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 考虑到正交性,应满足

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这样就得到了r2=,以此类推,可以得到所有的。

        这次的分享主要是为了大学期间的好伙伴备考而写的,希望对他能有所帮助。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-823873.html

到了这里,关于格拉姆--施密特(Gram-Schmidt)正交化方法笔记的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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