前段时间,身边的小伙伴问过我关于线性代数的一些知识,其中包含了特征向量的正交化的内容。遥想当初在学习线性代数的时候,只知道施密特正交化可以用来解决这个问题,但是老师猝不及防地甩过来一大段公式(可见下式),完全没讲怎么来的,并且这破公式好难记,着实困扰了我很长一段时间,直到最近上了《高等工程数学》的一堂课才有点理解它的由来。
为了简单起见,我们先看看只有a1,a2两个线性无关向量的情况,根据上面的公式可以得出
那这是怎么来的呢?首先第一个等式是比较符合常理的,主要是第二个的值如何取;我们要明白一定是要与垂直的,即满足两两正交,因此我们可以画一个图更直观地感受一下
图中的底下的黑色线条(不是蓝色的)是(),而给定的为斜向上黑色的线条,因为不一定与垂直,所以我们需要构造使得与垂直。很直观地,我们可以从图中看到底下蓝色线条对应的向量与是共线同方向的,并且其长度为在上的投影,即
这里的v就是对应蓝色的线条,根据向量之间的减法,图中的r1就等于,这就与公式中的第二个等式一样,并且发现这个r1与垂直,就是我们所想要的。从这里我们可以看到所求的其实等于r1=,当且仅当p等于在上的投影长度。这样我们延伸到三维空间,我们可以得到
考虑到正交性,应满足
这样就得到了r2=,以此类推,可以得到所有的。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-823873.html
这次的分享主要是为了大学期间的好伙伴备考而写的,希望对他能有所帮助。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-823873.html
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