雅可比迭代和高斯—赛德尔迭代法

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了雅可比迭代和高斯—赛德尔迭代法。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

一、雅可比迭代法

       对于线性方程组AX=b,我们首先将系数矩阵A分解为对角矩阵D、下三角矩阵L和上三角矩阵U:

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1.1雅可比迭代法的matlab代码

  在这里,我们求解下面的带状方程(以下程序均是以求解该带状方程为例):

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.............

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function X0=jacobi(A,b,X0,delta,max1)
%输入  -A代表线性方程组AX=b的系数矩阵
%      -b代表线性方程组AX=b右侧的数值
%      -X0代表线性方程组AX=b进行高斯-赛德尔迭代法求解的迭代初值
%      -delta代表余项AX(k)-B的范数允许误差
%      -max1代表迭代的次数
%输出  -X0代表通过雅可比迭代法求解线性方程组AX=b的解
[N,N]=size(A);
L=-tril(A,-1);
U=-triu(A,1);
D=A+L+U;
B=inv(D)*(L+U)
f=inv(D)*b;
for k=1:max1
    X0=B*X0+f;
    err=abs(norm(A(:,:)*X0(:)-b(:),2))
    if err<delta
        break
    end
end   

 1.2雅可比迭代法的python代码

import numpy as np

def jacobi(A,b,X0,max1):
    '''A代表线性方程组AX=b的系数矩阵
           b代表线性方程组AX=b右边的部分
           X0代表高斯—赛德尔迭代的初始值
           max1代表迭代的次数'''
    n = np.shape(A)[0]
    L = -np.tril(A, -1)
    U = -np.triu(A, 1)
    D = A + L + U
    B = np.dot(np.linalg.inv(D),L+U)
    f = np.dot(np.linalg.inv(D),b)
    for i in range(max1):
        X0 = np.dot(B, X0) + f
    return X0

n=50
#线性方程组AX=b右边的部分
b=np.zeros((n,1))
for i in range(n):
    b[i]=5
#线性方程组AX=b的系数矩阵
A=np.zeros((n,n))
for i in range(n):
    A[i,i]=12
    if i>=0 and i<=48:
        A[i,i+1]=-2
    if i>=0 and i<=47:
        A[i,i+2]=1
    if i>=1:
        A[i,i-1]=-2
    if i>=2:
        A[i,i-2]=1
#迭代的初始值
X0=np.zeros((n,1))
for i in range(n):
    X0[i]=0
#进行迭代的次数
max1=50
#进行高斯—赛德尔迭代求解线性方程组AX=b的解
X=jacobi(A,b,X0,max1)
#输出由高斯—赛德尔迭代求得的线性方程组的解
print(X)

二、高斯—赛德尔迭代法

      高斯—赛德尔迭代法是再雅可比迭代法的基础上,在计算用雅可比迭代法和高斯塞德尔解线性方程组ax=b,数值方法,python,算法,线性代数,matlab,矩阵时尽可能地用最新的用雅可比迭代法和高斯塞德尔解线性方程组ax=b,数值方法,python,算法,线性代数,matlab,矩阵来替换 。同样对于线性方程组 AX=b,我们首先将系数矩阵A分解为对角矩阵D、下三角矩阵L和上三角矩阵U:

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 2.1高斯—赛德尔迭代法的matlab代码

function X0=Gauss_Saidel(A,b,X0,max1)
%输入  -A代表线性方程组AX=b的系数矩阵
%      -b代表线性方程组AX=b右侧的数值
%      -X0代表线性方程组AX=b进行高斯-赛德尔迭代法求解的迭代初值
%      -max1代表迭代的次数
%输出  -X0代表通过高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组AX=b的解
[N,N]=size(A);
L=-tril(A,-1);
U=-triu(A,1);
D=A+L+U;
B=inv(D-L)*U;
f=inv(D-L)*b;
for k=1:max1
    X0=B*X0+f
end

2.2高斯—赛德尔迭代法的python代码

import numpy as np

def Gauss_Saidel(A,b,X0,max1):
    '''A代表线性方程组AX=b的系数矩阵
       b代表线性方程组AX=b右边的部分
       X0代表高斯—赛德尔迭代的初始值
       max1代表迭代的次数'''
    n=np.shape(A)[0]
    L=-np.tril(A,-1)
    U=-np.triu(A,1)
    D=A+L+U
    B=np.dot(np.linalg.inv(D-L),U)
    f=np.dot(np.linalg.inv(D-L),b)
    for i in range(max1):
        X0=np.dot(B,X0)+f
    return X0

n=50
#线性方程组AX=b右边的部分
b=np.zeros((n,1))
for i in range(n):
    b[i]=5
#线性方程组AX=b的系数矩阵
A=np.zeros((n,n))
for i in range(n):
    A[i,i]=12
    if i>=0 and i<=48:
        A[i,i+1]=-2
    if i>=0 and i<=47:
        A[i,i+2]=1
    if i>=1:
        A[i,i-1]=-2
    if i>=2:
        A[i,i-2]=1
#迭代的初始值
X0=np.zeros((n,1))
for i in range(n):
    X0[i]=0
#进行迭代的次数
max1=50
#进行高斯—赛德尔迭代求解线性方程组AX=b的解
X=Gauss_Saidel(A,b,X0,max1)
#输出由高斯—赛德尔迭代求得的线性方程组的解
print(X)

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