1.4 主应力空间、八面体应力
一点的应力状态不论如何变化,其主应力和主方向一致的话,该点的应力状态就是唯一确定的。因此,我们用主应力方向建立一个三维坐标系来描述问题将不失一般性,该坐标系如下图4,我们称之为主应力空间。我们考察等倾面组成的八面体,图中O’P点为等倾面ABC上面的应力向量
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
(p_1,p_2,p_3)
(p1,p2,p3),八面体为等倾面八面体,即面ABC的法线方向余弦为
(
1
3
,
1
3
,
1
3
)
(\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3})
(31,31,31)。将O’P分解
O
’
P
‾
=
O
’
Q
‾
+
O
’
N
‾
(25)
\overline {O’P}=\overline {O’Q}+\overline{O’N}\tag{25}
O’P=O’Q+O’N(25)
图
4
八面体
图4八面体
图4八面体
取等倾面和三个轴的坐标面组成的四面体为研究对象,如下图5所示。
图
5
等倾面四面体
图5等倾面四面体
图5等倾面四面体
根据斜面应力公式
p
j
=
σ
i
j
n
i
p_j=\sigma_{ij}n_i
pj=σijni,不难得到以下关系式(矩阵形式)
[
p
1
p
2
p
3
]
=
[
σ
1
0
0
0
σ
2
0
0
0
σ
2
]
[
n
1
n
2
n
3
]
(26)
\begin{bmatrix} p_1 \\ p_2\\p_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & 0\\ 0 & \sigma_2 & 0 \\0 & 0 & \sigma_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} n_1 \\ n_2\\n_3 \end{bmatrix}\tag{26}
p1p2p3
=
σ1000σ2000σ2
n1n2n3
(26)
其中
(
n
1
,
n
2
,
n
3
)
=
(
1
3
,
1
3
,
1
3
)
(n_1 ,n_2,n_3)=(\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 3})
(n1,n2,n3)=(31,31,31)为等倾面的法线方向余弦。
那么,有
σ
8
=
[
n
1
n
2
n
3
]
[
p
1
p
2
p
3
]
=
σ
1
n
1
2
+
σ
2
n
2
2
+
σ
3
n
3
2
=
1
3
(
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
)
=
1
3
I
1
(27)
\sigma_8 = \begin{bmatrix} n_1 & n_2 & n_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_1 \\ p_2\\p_3 \end{bmatrix}=\sigma_1n_1^2+\sigma_2n_2^2+\sigma_3n_3^2=\frac{1}{3}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)=\frac{1}{3}I_1 \tag{27}
σ8=[n1n2n3]
p1p2p3
=σ1n12+σ2n22+σ3n32=31(σ1+σ2+σ3)=31I1(27)
八面体相应的剪应力为
τ
8
=
p
2
−
σ
8
2
=
p
1
2
+
p
2
2
+
p
3
2
−
(
σ
1
n
1
2
+
σ
2
n
2
2
+
σ
3
n
3
2
)
2
=
σ
1
2
n
1
2
+
σ
2
2
n
2
2
+
σ
3
2
n
3
2
−
(
σ
1
n
1
2
+
σ
2
n
2
2
+
σ
3
n
3
2
)
2
=
1
3
(
σ
1
2
+
σ
2
2
+
σ
3
2
)
−
1
9
(
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
)
2
=
1
3
3
(
σ
1
2
+
σ
2
2
+
σ
3
2
)
−
(
σ
1
2
+
σ
2
2
+
σ
3
2
+
2
σ
1
σ
2
+
2
σ
1
σ
3
+
2
σ
2
σ
3
)
=
1
3
(
σ
1
−
σ
2
)
2
+
(
σ
1
−
σ
3
)
2
+
(
σ
2
−
σ
3
)
2
=
2
3
J
2
=
1
3
s
i
j
s
i
j
(28)
\tau_8 = \sqrt{p^2-\sigma_8^2}=\sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2-(\sigma_1n_1^2+\sigma_2n_2^2+\sigma_3n_3^2)^2}\\ =\sqrt{\sigma_1^2n_1^2+\sigma_2^2n_2^2+\sigma_3^2n_3^2-(\sigma_1n_1^2+\sigma_2n_2^2+\sigma_3n_3^2)^2}\\ =\sqrt{\frac{1}{3}(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2)-\frac{1}{9}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)^2}\\ =\frac{1}{3}\sqrt{3(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2)-(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2+2\sigma_1\sigma_2+2\sigma_1\sigma_3+2\sigma_2\sigma_3)}\\ =\frac{1}{3}\sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_1-\sigma_3)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2}=\sqrt{\frac{2}{3}J_2}=\sqrt{\frac{1}{3}s_{ij}s_{ij}} \tag{28}
τ8=p2−σ82=p12+p22+p32−(σ1n12+σ2n22+σ3n32)2=σ12n12+σ22n22+σ32n32−(σ1n12+σ2n22+σ3n32)2=31(σ12+σ22+σ32)−91(σ1+σ2+σ3)2=313(σ12+σ22+σ32)−(σ12+σ22+σ32+2σ1σ2+2σ1σ3+2σ2σ3)=31(σ1−σ2)2+(σ1−σ3)2+(σ2−σ3)2=32J2=31sijsij(28)
1.5 应变分析
应变分析的内容同应力分析内容,只是注意一点,应变张量和工程应变在剪应变分量是不同的,定义如下。
[
ε
x
x
ε
y
x
ε
z
x
ε
x
y
ε
y
y
ε
z
y
ε
x
z
ε
y
z
ε
z
z
]
=
[
ε
x
x
1
2
γ
y
x
1
2
γ
z
x
1
2
γ
x
y
ε
y
y
1
2
γ
z
y
1
2
γ
x
z
1
2
γ
y
z
ε
z
z
]
(29)
\begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{zx}\\ \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{zy}\\ \varepsilon_{xz} & \varepsilon_{yz} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \frac{1}{2}\gamma_{zx}\\ \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \varepsilon_{yy} & \frac{1}{2}\gamma_{zy}\\ \frac{1}{2}\gamma_{xz} & \frac{1}{2}\gamma_{yz} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}\tag{29}
εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz
=
εxx21γxy21γxz21γyxεyy21γyz21γzx21γzyεzz
(29)
同样定义应变偏张量,有如下形式
[
e
x
x
e
y
x
e
z
x
e
x
y
e
y
y
e
z
y
e
x
z
e
y
z
e
z
z
]
=
[
ε
x
x
ε
y
x
ε
z
x
ε
x
y
ε
y
y
ε
z
y
ε
x
z
ε
y
z
ε
z
z
]
−
[
ε
m
0
0
0
ε
m
0
0
0
ε
m
]
(30)
\begin{bmatrix} e_{xx} & e_{yx} & e_{zx}\\ e_{xy} & e_{yy} & e_{zy}\\ e_{xz} & e_{yz} & e_{zz} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{zx}\\ \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{zy}\\ \varepsilon_{xz} & \varepsilon_{yz} & \varepsilon_{zz} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \varepsilon_{m} & 0 & 0\\ 0 & \varepsilon_{m} & 0\\ 0 & 0 & \varepsilon_{m} \end{bmatrix}\tag{30}
exxexyexzeyxeyyeyzezxezyezz
=
εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz
−
εm000εm000εm
(30)
其中
ε
m
=
1
3
(
ε
x
x
+
ε
y
y
+
ε
z
z
)
\varepsilon_{m}=\frac{1}{3}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz})
εm=31(εxx+εyy+εzz)
1.6 特殊应力、应变定义
定义应力强度或等效应力
σ
‾
\overline\sigma
σ为
σ
‾
=
3
J
2
=
3
2
s
i
j
s
i
j
=
1
2
[
(
σ
1
−
σ
2
)
2
+
(
σ
1
−
σ
3
)
2
+
(
σ
2
−
σ
3
)
2
]
=
1
2
[
(
σ
x
x
−
σ
y
y
)
2
+
(
σ
x
x
−
σ
z
z
)
2
+
(
σ
y
y
−
σ
z
z
)
2
+
6
(
τ
x
z
2
+
τ
x
y
2
+
τ
y
z
2
)
]
(31)
\overline\sigma=\sqrt{3J_2}=\sqrt{\frac{3}{2}s_{ij}s_{ij}}\\ =\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2]}\\ =\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_{xx}-\sigma_{yy})^2+(\sigma_{xx}-\sigma_{zz})^2+(\sigma_{yy}-\sigma_{zz})^2+6(\tau_{xz}^2+\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2)]} \tag{31}
σ=3J2=23sijsij=21[(σ1−σ2)2+(σ1−σ3)2+(σ2−σ3)2]=21[(σxx−σyy)2+(σxx−σzz)2+(σyy−σzz)2+6(τxz2+τxy2+τyz2)](31)
定义应变强度或等效应变
ε
‾
\overline \varepsilon
ε为
ε
‾
=
2
3
e
i
j
e
i
j
(32)
\overline \varepsilon=\sqrt{\frac{2}{3}e_{ij}e_{ij}} \tag{32}
ε=32eijeij(32)
定义剪切等效应力
T
‾
\overline T
T为
T
‾
=
1
2
s
i
j
s
i
j
(33)
\overline T=\sqrt{\frac{1}{2}s_{ij}s_{ij}} \tag{33}
T=21sijsij(33)
定义剪切等效应变
Γ
‾
\overline\Gamma
Γ为
Γ
‾
=
2
e
i
j
e
i
j
(34)
\overline\Gamma=\sqrt{2e_{ij}e_{ij}} \tag{34}
Γ=2eijeij(34)
加上上面定义的八面体剪应力、八面体剪应变
τ
8
=
1
3
s
i
j
s
i
j
γ
8
=
4
3
e
i
j
e
i
j
(35)
\tau_8=\sqrt{\frac{1}{3}s_{ij}s_{ij}}\\ \gamma_8=\sqrt{\frac{4}{3}e_{ij}e_{ij}}\tag{35}
τ8=31sijsijγ8=34eijeij(35)文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-824190.html
至于为什么定义这些应力应变,我们在后面再介绍。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-824190.html
到了这里,关于【小呆的力学笔记】弹塑性力学的初步认知二:应力应变分析(2)的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!