1.数学期望
(1)数学期望定义
离散型随机变量数学期望
定义1 设离散型随机变量
X
X
X的分布律为
P
(
X
=
x
i
)
=
p
i
,
i
=
1
,
2...
P(X=x_i)=p_i,i=1,2...
P(X=xi)=pi,i=1,2...,若级数
∑
i
=
1
+
∞
∣
x
i
∣
p
i
\sum^{+\infin}_{i=1}\mid x_i\mid p_i
∑i=1+∞∣xi∣pi收敛,则称
∑
i
=
1
+
∞
x
i
p
i
\sum^{+\infin}_{i=1} x_i p_i
∑i=1+∞xipi为
X
X
X的数学期望。记为
E
(
X
)
E(X)
E(X)。即:
E
X
=
∑
i
=
1
+
∞
x
i
p
i
。
EX=\sum^{+\infin}_{i=1} x_i p_i。
EX=i=1∑+∞xipi。
连续型随机变量数学期望
定义2 设连续型随机变量
X
X
X的密度函数为
p
(
x
)
,
p(x),
p(x),若积分
∑
−
∞
+
∞
∣
x
∣
p
(
x
)
d
x
<
+
∞
\sum_{-\infin}^{+\infin}\mid x \mid p(x)dx < +\infin
∑−∞+∞∣x∣p(x)dx<+∞,则称
∑
−
∞
+
∞
x
p
(
x
)
d
x
\sum_{-\infin}^{+\infin}x p(x)dx
∑−∞+∞xp(x)dx为
X
X
X的数学期望或均值,记为
E
X
EX
EX。即:
E
X
=
∑
−
∞
+
∞
x
p
(
x
)
d
x
。
EX=\sum_{-\infin}^{+\infin}x p(x)dx。
EX=−∞∑+∞xp(x)dx。
(2)常用分布的数学期望
1. 0-1分布
X X X | 0 | 1 |
---|---|---|
P P P | 1 − p 1-p 1−p | p p p |
E ( X ) = 0 ∗ ( 1 − p ) + 1 ∗ p . E(X)=0 * (1-p)+1 * p. E(X)=0∗(1−p)+1∗p.
2. 二项分布
X
∼
B
(
n
,
p
)
X\sim B(n,p)
X∼B(n,p),其中
0
<
p
<
1
0<p<1
0<p<1,则:
E
(
X
)
=
n
p
.
E(X)=np.
E(X)=np.
证明:
P
{
x
=
k
}
=
C
n
k
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
E
(
X
)
=
∑
k
=
0
n
k
P
(
X
=
k
)
=
∑
k
=
1
n
k
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
=
∑
k
=
1
n
n
!
(
k
−
1
)
!
(
n
−
k
)
!
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
=
n
p
∑
k
=
1
n
(
n
−
1
)
!
(
k
−
1
)
!
(
n
−
k
)
!
p
k
−
1
(
1
−
p
)
n
−
1
−
(
k
−
1
)
令
s
=
k
−
1
,
n
p
∑
s
=
0
n
−
1
C
n
−
1
s
p
s
(
1
−
p
)
n
−
1
−
s
=
n
p
.
P\{x=k\}=C_n^{k}p^k(1-p)^{n-k} \\ E(X)=\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)=\sum_{k=1}^{n}k\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\\ =\sum_{k=1}^{n}\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\\ = np\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-1-(k-1)}\\ 令s=k-1,\\ np\sum_{s=0}^{n-1}C^{s}_{n-1}p^{s}(1-p)^{n-1-s}=np.
P{x=k}=Cnkpk(1−p)n−kE(X)=k=0∑nkP(X=k)=k=1∑nkk!(n−k)!n!pk(1−p)n−k=k=1∑n(k−1)!(n−k)!n!pk(1−p)n−k=npk=1∑n(k−1)!(n−k)!(n−1)!pk−1(1−p)n−1−(k−1)令s=k−1,nps=0∑n−1Cn−1sps(1−p)n−1−s=np.
3. 泊松分布
X ∼ P ( λ ) X\sim P(\lambda) X∼P(λ),其中 λ > 0 \lambda>0 λ>0,则 E ( X ) = λ E(X)=\lambda E(X)=λ。
证明:
P
{
X
=
k
}
=
λ
k
k
!
e
−
λ
,
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
∴
E
(
X
)
=
∑
k
=
0
∞
k
⋅
λ
k
k
!
e
−
λ
=
∑
k
=
1
∞
k
⋅
λ
k
k
!
e
−
λ
=
∑
k
=
1
∞
λ
⋅
λ
k
−
1
(
k
−
1
)
!
e
−
λ
=
λ
⋅
∑
k
=
1
∞
λ
k
−
1
(
k
−
1
)
!
e
−
λ
m
=
k
−
1
,
∴
λ
⋅
∑
m
=
0
∞
λ
m
m
!
e
−
λ
=
λ
⋅
1
=
λ
P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,...,\\ \therefore E(X)=\sum_{k=0}^{\infin}k \cdot \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}=\sum_{k=1}^{\infin}k\cdot\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}\\ =\sum_{k=1}^{\infin} \frac{\lambda\cdot\lambda^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda}=\lambda\cdot\sum_{k=1}^{\infin}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda}\\ m=k-1,\therefore\lambda\cdot\sum_{m=0}^{\infin}\frac{\lambda^{m}}{m!}e^{-\lambda}=\lambda\cdot1=\lambda
P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,2,...,∴E(X)=k=0∑∞k⋅k!λke−λ=k=1∑∞k⋅k!λke−λ=k=1∑∞(k−1)!λ⋅λk−1e−λ=λ⋅k=1∑∞(k−1)!λk−1e−λm=k−1,∴λ⋅m=0∑∞m!λme−λ=λ⋅1=λ
注意,
∑
m
=
0
∞
λ
m
m
!
\sum_{m=0}^{\infin}\frac{\lambda^{m}}{m!}
∑m=0∞m!λm为
e
λ
e^\lambda
eλ的幂级数展开式。
4. 均匀分布
若 X ∼ U ( a , b ) X\sim U(a,b) X∼U(a,b),则 E ( x ) = a + b 2 E(x)=\frac{a+b}{2} E(x)=2a+b。
证明:
X
X
X的密度:
p
(
x
)
=
{
1
b
−
a
,
a<x<b
0
,
其他
p(x)=\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{b-a},&\text{a<x<b}\\ 0,&\text{其他} \\ \end{aligned} \right.
p(x)=⎩
⎨
⎧b−a1,0,a<x<b其他
E
(
X
)
=
∫
a
b
x
⋅
1
b
−
a
d
x
=
a
+
b
2
.
E(X)=\int^{b}_{a}x\cdot\frac{1}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}.
E(X)=∫abx⋅b−a1dx=2a+b.
5. 指数分布
X ∼ E ( λ ) X\sim E(\lambda) X∼E(λ), λ > 0 \lambda>0 λ>0,则 E ( X ) = 1 λ E(X)=\frac{1}{\lambda} E(X)=λ1。
证明:
p
(
x
)
=
{
λ
e
−
λ
x
,
x
>
0
0
,
x
≤
0
p(x)=\left\{ \begin{aligned} \lambda e^{-\lambda x},&x>0\\ 0,& x\leq 0 \\ \end{aligned} \right.
p(x)={λe−λx,0,x>0x≤0
E
(
X
)
=
∫
0
∞
x
λ
e
−
λ
x
d
x
=
−
∫
0
∞
x
d
e
−
λ
x
=
−
x
e
−
λ
x
∣
0
∞
+
∫
0
∞
e
−
λ
x
d
x
=
1
λ
.
E(X)=\int_{0}^{\infin}x\lambda e^{-\lambda x}dx = -\int_{0}^{\infin}xde^{-\lambda x}\\ =-xe^{-\lambda x}\mid_{0}^{\infin}+\int^{\infin}_{0}e^{-\lambda x}dx = \frac{1}{\lambda}.
E(X)=∫0∞xλe−λxdx=−∫0∞xde−λx=−xe−λx∣0∞+∫0∞e−λxdx=λ1.
6.正态分布
X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2),则 E ( X ) = μ E(X)=\mu E(X)=μ.
证明:
E
(
X
)
=
∫
−
∞
+
∞
x
⋅
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
E(X)=\int_{-\infin}^{+\infin}x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx
E(X)=∫−∞+∞x⋅2πσ1e−2σ2(x−μ)2dx
令
x
−
μ
σ
=
u
\frac{x-\mu}{\sigma}=u
σx−μ=u,
E
(
X
)
=
∫
−
∞
+
∞
(
u
σ
+
μ
)
⋅
1
2
π
e
−
u
2
2
=
σ
2
π
∫
−
∞
+
∞
u
e
−
u
2
2
d
u
+
μ
∫
−
∞
+
∞
1
2
π
e
−
u
2
2
d
u
=
0
+
μ
∗
1
=
μ
E(X)=\int_{-\infin}^{+\infin}(u\sigma+\mu)\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}}\\ =\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}ue^{-\frac{u^2}{2}}du +\mu\int^{+\infin}_{-\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}}du\\ =0+\mu * 1 = \mu\\
E(X)=∫−∞+∞(uσ+μ)⋅2π1e−2u2=2πσ∫−∞+∞ue−2u2du+μ∫−∞+∞2π1e−2u2du=0+μ∗1=μ
7. 几何分布
X ∼ 参数为p的几何分布 X\sim \text{参数为p的几何分布} X∼参数为p的几何分布, E ( X ) = 1 p E(X)=\frac{1}{p} E(X)=p1。
证明:
P
{
X
=
k
}
=
p
(
1
−
p
)
k
−
1
k
=
1
,
2
,
.
.
.
P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1}\qquad k=1,2,...
P{X=k}=p(1−p)k−1k=1,2,...文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-824326.html
E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ k p ( 1 − p ) k − 1 = x = 1 − p p ∑ p + ∞ k x k − 1 = p ∑ k = 1 + ∞ ( x k ) ′ = p ( ∑ k = 1 + ∞ x k ) ′ = p ( x 1 − x ) ′ = p 1 ( 1 − x ) 2 = x = 1 − p 1 p E(X)=\sum_{k=1}^{\infin}kp(1-p)^{k-1}=^{x=1-p}p\sum_p^{+\infin}kx^{k-1}\\ =p\sum_{k=1}^{+\infin}(x^k)^{'}=p(\sum_{k=1}^{+\infin}x^k)^{'}\\ =p(\frac{x}{1-x})^{'}=p\frac{1}{(1-x)^2}=^{x=1-p}\frac{1}{p} E(X)=k=1∑∞kp(1−p)k−1=x=1−ppp∑+∞kxk−1=pk=1∑+∞(xk)′=p(k=1∑+∞xk)′=p(1−xx)′=p(1−x)21=x=1−pp1文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-824326.html
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