高等代数(八)-线性变换07：矩阵的有理标准形-Toy模板网

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§ 7 矩阵的有理标准形
前一节中证明了复数域上任一矩阵 $\boldsymbol{A}$
可相似于一个若尔当形矩阵, 这一节将对任意数域 $P$ 来讨论类似的问题.
我们证明 $P$ 上任一矩阵必相似于一个有理标准形矩阵.
定义 8 对数域 $P$ 上的一个多项式
$\dot{d}(\dot{\lambda})=\dot{\lambda^{n}}+a_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_{n},$
称矩阵
$\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n} \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{1} \end{array}\right)$
为多项式 $d(\lambda)$ 的友矩阵.
容易验证, $\boldsymbol{A}$ 的 (即特征矩阵
$\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 的) 不变因子是
$\underbrace{1,1, \cdots,}_{n=1 \uparrow}, d(\lambda)$ (见习题 3 ).定义
9 准对角矩阵
$\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll} \boldsymbol{A}_{1} & & & \\ & \boldsymbol{A}_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \boldsymbol{A}_{*} \end{array}\right),$
其中 $A_{i}$ 分别是数域 $P$ 上某些多项式
$d_{i}(\lambda)(i=1,2, \cdots, s)$ 的友矩阵, 且满足 $d_{i}(\lambda)$
$\left|d_{2}(\lambda)\right| \cdots \mid d_{1}(\lambda)$ , 称为 $P$
上的有理标准形矩阵.
引理 (2) 中矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的不变因子为
$\cdots, 1, d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{,}(\lambda)$ ,
其中 1 的个数等于
$d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{s}(\lambda)$ 的次数之和减去
$s$ .
证明
$\lambda E-A=\left(\begin{array}{llll} \lambda E_{1}-\boldsymbol{A}_{1} & & & \\ & \lambda \boldsymbol{E}_{2}-\boldsymbol{A}_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda \boldsymbol{E}_{,}-\boldsymbol{A}_{4} \end{array}\right) .$
由于每个 $\lambda E_{i}-A_{i}$ 的不变因子为
$\cdots, 1, d_{i}(\lambda)$ , 故可用初等变换把它变成
$\left(\begin{array}{llll} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & d_{i}(\lambda) \end{array}\right),$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-826486.html