高等代数(八)-线性变换02：λ-矩阵在初等变换下的标准形-Toy模板网

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$\lambda$ -矩阵在初等变换下的标准形
$\lambda$ -矩阵也可以有初等变换.
定义 3 下面的三种变换叫做 $\lambda$ -矩阵的初等变换:文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-827549.html

矩阵的两行 (列) 互换位置;
矩阵的某一行 (列) 乘非零常数 $c$ ;
矩阵的某一行 (列) 加另一行 (列) 的 $\varphi(\lambda)$ 倍,
$\varphi(\lambda)$ 是一个多项式.
和数字矩阵的初等变换一样, 可以引进初等矩阵. 例如, 将单位矩阵的第 $j$
行的 $\varphi(\lambda)$ 倍加到第 $i$ 行上 (或第 $i$ 列的
$\varphi(\lambda)$ 倍加到第 $j$ 列上) 得
第 $i$ 列
第 $j$ 列
$\boldsymbol{P}(i, j(\varphi))=\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \cdots & \varphi(\lambda) & & \\ & & & \ddots & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array}\right) \text { 第 } i \text { 行 }$
仍用 $\boldsymbol{P}(i, j)$ 表示由单位矩阵经过第 $i$ 行第 $j$ 行 (或第
$i$ 列与第 $j$ 列) 互换位置所得的初等矩阵, 用 $\boldsymbol{P}(i(c))$
表示用非零常数 $c$ 乘单位矩阵第 $i$ 行所得的初等矩阵. 同样地, 对一个
$\times n$ 的 $\lambda$ -矩阵 $\boldsymbol{A}(\lambda)$
作一次初等行变换就相当于在 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的左边乘相应的
$\times s$ 初等矩阵; 对 $\boldsymbol{A}(\lambda)$
作一次初等列变换就相当于在 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的右边乘相应的
$\times n$ 初等矩阵.
初等矩阵都是可逆的, 并且有
$\boldsymbol{P}(i, j)^{-1}=\boldsymbol{P}(i, j), \quad \boldsymbol{P}(i(c))^{-1}=\boldsymbol{P}\left(i\left(c^{-1}\right)\right), \quad \boldsymbol{P}(i, j(\varphi))^{-1}=\boldsymbol{P}(i, j(-\varphi)) .$
由此得出初等变换具有可逆性: 设 $\lambda$ -矩阵 $\boldsymbol{A}(\lambda)$
用初等变换变成 $\boldsymbol{B}(\lambda)$ , 这相当于对
$\boldsymbol{A}(\lambda)$ 左乘或右乘一个初等矩阵.
再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 $\boldsymbol{B}(\lambda)$ 就变回
$\boldsymbol{A}(\lambda)$ , 而这逆矩阵仍是初等矩阵, 因而由
$\boldsymbol{B}(\lambda)$ 可用初等变换变回 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ .
我们还可看出在第二
种初等变换中,规定只能乘一个非零常数, 这也是为了使 $\boldsymbol{P}(i(c))$
可逆的缘故.
定义 $\lambda$ -矩阵 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 称为与
$\boldsymbol{B}(\lambda)$ 等价, 如果 $\boldsymbol{B}(\lambda)$ 可以由
$\boldsymbol{A}(\lambda)$ 经过一系列初等变换将得到.
等价是 $\lambda$ -矩阵之间的一种关系,这个关系显然具有下列三个性质:
1. 自反性: 每一个 $\lambda$ -矩阵与自己等价.
2. 对称性: 若 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 与 $\boldsymbol{B}(\lambda)$
等价, 则 $\boldsymbol{B}(\lambda)$ 与 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 等价.
这是由于初等变换具有可逆性的缘故.
3. 传递性: 若 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 与 $\boldsymbol{B}(\lambda)$
等价, $\boldsymbol{B}(\lambda)$ 与 $\boldsymbol{C}(\lambda)$ 等价, 则
$\boldsymbol{A}(\lambda)$ 与 $\boldsymbol{C}(\lambda)$ 等价.
应用初等变换与初等矩阵的关系即得, 矩阵 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 与
$\boldsymbol{B}(\lambda)$ 等价的充分必要条件是有初等矩阵
$\boldsymbol{P}_{1}, \boldsymbol{P}_{2}, \cdots, \boldsymbol{P}_{l}, \boldsymbol{Q}_{1}, \boldsymbol{Q}_{2}, \cdots, \boldsymbol{Q}_{t}$ ,
使
$\boldsymbol{A}(\lambda)=\boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2} \cdots \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{B}(\lambda) Q_{1} Q_{2} \cdots Q_{1} .$
这一节主要是证明任意一个 $\lambda$ -矩阵可以经过初等变换化为某种对角形.
为此, 首先给出下面的引理.
引理设 $\lambda$ -矩阵 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的左上角元素