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一、树
二、二分搜索树
1.二叉树
2.二分搜索树
三、代码实现
1.树的构建
2.获取树中结点的个数
3.添加元素
4.查找元素
(1)查找元素是否存在
(2)查找最小元素
(3)查找最大元素
5.二分搜索树的遍历
(1)前序遍历:
(2)中序遍历:
(3)后序遍历:
(4)层序遍历:
6.删除操作
(1)删除最小元素
(2)删除最大元素
(3)删除任意元素
(4)删除根节点
一、树
树结构本身是一种天然的组织结构
是一个高效的查询内容的结构
二、二分搜索树
1.二叉树
特点:1.只有唯一的一个根节点
2.每个结点最多有两个孩子
3.每个结点最多有一个父亲
4.二叉树具有天然的递归结构(左右子树也是二叉树)
5.叶子结点出现在二叉树的最底层,除叶子结点之外的其它结点都有两个孩子结点。
2.二分搜索树
是特殊的二叉树
每个节点都大于左子树的所有结点,都小于右子树的所有结点
注意:存储的元素必须具有可比性
因为二分搜索树也是二叉树,也具有天然的递归结构,所以许多方法都可以使用递归的思想去实现
三、代码实现
1.树的构建
需要的元素有:根节点,结点,频率(如果添加的元素有重复元素),结点的值,索引,结点个数
//树的结点
private static class Node<T> {
private final T ele;//结点的值
private int frequence;//频率
private Node<T> left, right;//分别指向左右孩子的索引
public Node(T ele) {
this.ele = ele;
this.left = this.right = null;
}
}
//树对应的属性
private Node<T> root;//树的根节点
private int size;//结点的个数
//构建树
public BinearySeachTree() {
this.root = null;
this.size = 0;
}
在给元素添加泛型后,就不能直接比较,所以在开始就继承Comparable来实现元素的比较
public class BinearySeachTree<T extends Comparable<T>>{
}
2.获取树中结点的个数
//获取树中结点的个数
public int getSize() {
return this.size;
}
3.添加元素
将元素添加到二分搜索树的过程中,要注意将大的元素放在结点的右边,小的元素放在左边
再添加元素时,需要找到对应的位置,则可以使用递归的思想。
如果添加的值小于结点的值,则查找结点左孩子,如果还是小于结点,则继续查找
//向树中添加结点
public void add(T ele) {
//更新根结点
this.root = addDG(this.root, ele);
}
//语义:向以root为根的二分搜索树中添加元素ele
private Node<T> addDG(Node<T> root, T ele) {
//递归终止条件
if (root == null) {
this.size++;
return new Node<T>(ele);
}
//递归操作
if (root.ele.compareTo(ele) > 0) {
root.left = addDG(root.left, ele);
} else if (root.ele.compareTo(ele) < 0) {
root.right = addDG(root.right, ele);
} else {
//更新频率
root.frequence++;
}
return root;
}
4.查找元素
(1)查找元素是否存在
查找元素是否在二叉树中,查找每一个结点,如果查找元素比当前节点小,就在左子树里重新查找,如果查找元素比当前节点大,就在右子树里重新查找
//查询的方法
public boolean search(T ele) {
return searchDG(this.root, ele);
}
//语义:从以root为根的二分搜索树中查找元素ele
private boolean searchDG(Node<T> root, T ele) {
//递归终止的条件
if (root == null) {
return false;
}
//递归操作
if (root.ele.compareTo(ele) == 0) {
return true;
} else if (root.ele.compareTo(ele) > 0) {
return searchDG(root.left, ele);
} else {
return searchDG(root.right, ele);
}
}
(2)查找最小元素
二分搜索树中最左边的元素
//找树中的最小元素
public T getMinValue() {
if (this.isEmpty()) {
return null;
}
Optional<Node<T>> optional = getMinNode();
return optional.get().ele;
}
//直接查找
private Optional<Node<T>> getMinNode() {
if (this.root == null) {
return Optional.empty();
}
//一直向左查找
Node<T> node = this.root;
while (node.left != null) {
node = node.left;
}
return Optional.of(node);
}
//利用递归方法查找
//语义:在以Node为根结点的树中查找最小结点
private Optional<Node<T>> getMinNode(Node<T> node) {
if (node.left == null) {
return Optional.of(node);
}
return getMinNode(node.left);
}
(3)查找最大元素
二分搜索树中最右边的元素
//找树中的最大元素
public T getMaxValue() {
if (this.isEmpty()) {
return null;
}
Optional<Node<T>> optional = getMaxNode(this.root);
return optional.get().ele;
}
//语义:在以Node为根结点的树中查找最大结点
private Optional<Node<T>> getMaxNode(Node<T> node) {
if (node.right == null) {
return Optional.of(node);
}
return getMaxNode(node.right);
}
5.二分搜索树的遍历
树的遍历有四种:前序遍历;中序遍历;后序遍历;层序遍历
(1)前序遍历:
首先打印根节点,然后遍历左子树,最后是右子树
【28,16,13,22,30,29,42】
//前序遍历
public void preTravel() {
List<AbstractMap.SimpleEntry<T, Integer>> list = new ArrayList<>();
preTravelDG(this.root, list);
String str = list.stream().map(item -> "[" + item.getKey() + ":" + item.getValue() + "]").collect(Collectors.joining("-"));
System.out.println(str);
}
//前序遍历以root为根的树,讲解稿保存在list中
private void preTravelDG(Node<T> root, List<AbstractMap.SimpleEntry<T, Integer>> list) {
//递归终止条件
if (root == null) {
return;
}
//递归操作
list.add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(root.ele, root.frequence));
//遍历左子树
preTravelDG(root.left, list);
//遍历右子树
preTravelDG(root.right, list);
}
(2)中序遍历:
先遍历左子树,在打印中间结点,最后遍历右子树
【13,16,22,28,29,30,42】
//中序遍历
public void midTravel() {
List<AbstractMap.SimpleEntry<T, Integer>> list = new ArrayList<>();
midTravelDG(this.root, list);
String str = list.stream().map(item -> item.toString()).collect(Collectors.joining("-"));
System.out.println(str);
}
//中序遍历以root为根的树,讲解稿保存在list中
private void midTravelDG(Node<T> root, List<AbstractMap.SimpleEntry<T, Integer>> list) {
//递归终止条件
if (root == null) {
return;
}
//递归操作
//遍历左子树
preTravelDG(root.left, list);
list.add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(root.ele, root.frequence));
//遍历右子树
preTravelDG(root.right, list);
}
(3)后序遍历:
先遍历左子树,在遍历右子树,最后在打印中间结点
【13,22,16,29,42,30,28】
//后序遍历
public void sufTravel() {
List<AbstractMap.SimpleEntry<T, Integer>> list = new ArrayList<>();
sufTravelDG(this.root, list);
String str = list.stream().map(item -> item.toString()).collect(Collectors.joining("-"));
System.out.println(str);
}
//后序遍历以root为根的树,讲解稿保存在list中
private void sufTravelDG(Node<T> root, List<AbstractMap.SimpleEntry<T, Integer>> list) {
//递归终止条件
if (root == null) {
return;
}
//递归操作
//遍历左子树
preTravelDG(root.left, list);
//遍历右子树
preTravelDG(root.right, list);
list.add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(root.ele, root.frequence));
}
可以看到,先中后序遍历的代码区别只是在递归最后将元素添加到list的位置不同而已
(4)层序遍历:
一层一层的打印
【28,16,30,13,22,29,42】
//层序遍历
public void levelTravel() {
//判断树是否为空
if (this.isEmpty()) {
return;
}
Queue<AbstractMap.SimpleEntry<Node<T>, Integer>> queue = new LinkedList<>();
//1.先将根结点入队
queue.add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(this.root, 1));
//2.遍历队列
while (!queue.isEmpty()) {
//2-1.出队
AbstractMap.SimpleEntry<Node<T>, Integer> pair = queue.poll();
//结点
Node<T> node = pair.getKey();
//层
int level = pair.getValue();
;
System.out.println("[val:" + node.ele + ",level:" + level + "]");
//2-2.判断左右子树是否为空
if (node.left != null) {
queue.add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(node.left, level + 1));
}
if (node.right != null) {
queue.add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(node.right, level + 1));
}
}
}
6.删除操作
删除的操作中,需要注意删除后二分搜索树也会因此改变,所以要分情况讨论
(1)删除最小元素
删除最小元素并不需要改变树,只需要失去关联关系即可
//从树中删除最小的结点
public T removeMinNode() {
T result = getMinValue();
if (result == null) {
return null;
}
//更新根结点
this.root = removeMinNode(this.root);
return result;
}
//语义:从以Node为根的二分搜索树中删除元素最小的结点
private Node<T> removeMinNode(Node<T> node) {
//递归终止条件
if (node.left == null) {
//删除操作
//1.记录右子树
Node<T> rightTree = node.right;
//失去关联关系
node.right = null;
//3.跟新size
this.size--;
return rightTree;
}
//递归操作
node.left = removeMinNode(node.left);
return node;
}
(2)删除最大元素
跟删除最小元素一样,只需要失去关联关系即可
//从树中删除最大的结点
public T removeMaxNode() {
T result = getMaxValue();
if (result == null) {
return null;
}
//更新根结点
this.root = removeMaxNode(this.root);
return result;
}
//语义:从以Node为根的二分搜索树中删除元素最大的结点
private Node<T> removeMaxNode(Node<T> node) {
//递归终止条件
if (node.right == null) {
//删除操作
//1.记录左子树
Node<T> leftTree = node.left;
//失去关联关系
node.left = null;
//3.跟新size
this.size--;
return leftTree;
}
//递归操作
node.right = removeMaxNode(node.right);
return node;
}
(3)删除任意元素
在删除任意元素中,需要考虑删除结点有没有左右子树
//语义:从以Node为根的二分搜索树中删除值为ele的结点
private Node<T> remove(Node<T> node, T ele) {
//递归终止的条件
//没有找到
if (node == null) {
return null;
}
//找到了
if (node.ele.compareTo(ele) == 0) {
this.size--;
//Node就是要删除的结点
if (node.left == null) {
Node<T>rightNode=node.right;
node.right=null;
return rightNode;
} else if (node.right == null) {
Node<T>leftNode=node.left;
node.left=null;
return leftNode;
} else {
Node<T> suffixNode = getMinNode(node.right).get();
suffixNode.right=removeMinNode(node.right);
suffixNode.left=node.left;
this.size++;
//失去关联关系
node.left=node.right=null;
return suffixNode;
}
}
//递归操作
if (node.ele.compareTo(ele) > 0) {
node.left = remove(node.left, ele);
} else {
node.right = remove(node.right, ele);
}
return node;
}
(4)删除根节点
直接删除关联关系即可
//删除根节点
public void removeRoot(){
if(this.root==null){
return;
}
remove(this.root.ele);
}
四、完整代码
package com.algo.lesson.lesson04;
import java.util.*;
import java.util.stream.Collectors;
//二分搜索树
/*
保存到结点中的元素值必须具有可比性
*/
public class BinearySeachTree<T extends Comparable<T>> {
//树的结点
private static class Node<T> {
private final T ele;//结点的值
private int frequence;//频率
private Node<T> left, right;//分别指向左右孩子的索引
public Node(T ele) {
this.ele = ele;
this.left = this.right = null;
}
}
//树对应的属性
private Node<T> root;//树的根节点
private int size;//结点的个数
//构建树
public BinearySeachTree() {
this.root = null;
this.size = 0;
}
//获取树中结点的个数
public int getSize() {
return this.size;
}
//向树中添加结点
public void add(T ele) {
//更新根结点
this.root = addDG(this.root, ele);
}
//语义:向以root为根的二分搜索树中添加元素ele
private Node<T> addDG(Node<T> root, T ele) {
//递归终止条件
if (root == null) {
this.size++;
return new Node<T>(ele);
}
//递归操作
if (root.ele.compareTo(ele) > 0) {
root.left = addDG(root.left, ele);
} else if (root.ele.compareTo(ele) < 0) {
root.right = addDG(root.right, ele);
} else {
//更新频率
root.frequence++;
}
return root;
}
//查询的方法
public boolean search(T ele) {
return searchDG(this.root, ele);
}
//语义:从以root为根的二分搜索树中查找元素ele
private boolean searchDG(Node<T> root, T ele) {
//递归终止的条件
if (root == null) {
return false;
}
//递归操作
if (root.ele.compareTo(ele) == 0) {
return true;
} else if (root.ele.compareTo(ele) > 0) {
return searchDG(root.left, ele);
} else {
return searchDG(root.right, ele);
}
}
//二分搜索树的遍历
//前序遍历
public void preTravel() {
List<AbstractMap.SimpleEntry<T, Integer>> list = new ArrayList<>();
preTravelDG(this.root, list);
String str = list.stream().map(item -> "[" + item.getKey() + ":" + item.getValue() + "]").collect(Collectors.joining("-"));
System.out.println(str);
}
//中序遍历
public void midTravel() {
List<AbstractMap.SimpleEntry<T, Integer>> list = new ArrayList<>();
midTravelDG(this.root, list);
String str = list.stream().map(item -> item.toString()).collect(Collectors.joining("-"));
System.out.println(str);
}
//后序遍历
public void sufTravel() {
List<AbstractMap.SimpleEntry<T, Integer>> list = new ArrayList<>();
sufTravelDG(this.root, list);
String str = list.stream().map(item -> item.toString()).collect(Collectors.joining("-"));
System.out.println(str);
}
//前序遍历以root为根的树,讲解稿保存在list中
private void preTravelDG(Node<T> root, List<AbstractMap.SimpleEntry<T, Integer>> list) {
//递归终止条件
if (root == null) {
return;
}
//递归操作
list.add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(root.ele, root.frequence));
//遍历左子树
preTravelDG(root.left, list);
//遍历右子树
preTravelDG(root.right, list);
}
//中序遍历以root为根的树,讲解稿保存在list中
private void midTravelDG(Node<T> root, List<AbstractMap.SimpleEntry<T, Integer>> list) {
//递归终止条件
if (root == null) {
return;
}
//递归操作
//遍历左子树
preTravelDG(root.left, list);
list.add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(root.ele, root.frequence));
//遍历右子树
preTravelDG(root.right, list);
}
//后序遍历以root为根的树,讲解稿保存在list中
private void sufTravelDG(Node<T> root, List<AbstractMap.SimpleEntry<T, Integer>> list) {
//递归终止条件
if (root == null) {
return;
}
//递归操作
//遍历左子树
preTravelDG(root.left, list);
//遍历右子树
preTravelDG(root.right, list);
list.add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(root.ele, root.frequence));
}
//判断树是否为空
public boolean isEmpty() {
return this.size == 0;
}
//层序遍历
public void levelTravel() {
//判断树是否为空
if (this.isEmpty()) {
return;
}
Queue<AbstractMap.SimpleEntry<Node<T>, Integer>> queue = new LinkedList<>();
//1.先将根结点入队
queue.add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(this.root, 1));
//2.遍历队列
while (!queue.isEmpty()) {
//2-1.出队
AbstractMap.SimpleEntry<Node<T>, Integer> pair = queue.poll();
//结点
Node<T> node = pair.getKey();
//层
int level = pair.getValue();
;
System.out.println("[val:" + node.ele + ",level:" + level + "]");
//2-2.判断左右子树是否为空
if (node.left != null) {
queue.add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(node.left, level + 1));
}
if (node.right != null) {
queue.add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(node.right, level + 1));
}
}
}
//找树中的最小元素
public T getMinValue() {
if (this.isEmpty()) {
return null;
}
Optional<Node<T>> optional = getMinNode();
return optional.get().ele;
}
//找树中的最大元素
public T getMaxValue() {
if (this.isEmpty()) {
return null;
}
Optional<Node<T>> optional = getMaxNode(this.root);
return optional.get().ele;
}
private Optional<Node<T>> getMinNode() {
if (this.root == null) {
return Optional.empty();
}
//一直向左查找
Node<T> node = this.root;
while (node.left != null) {
node = node.left;
}
return Optional.of(node);
}
//递归
//语义:在以Node为根结点的树中查找最小结点
private Optional<Node<T>> getMinNode(Node<T> node) {
if (node.left == null) {
return Optional.of(node);
}
return getMinNode(node.left);
}
//语义:在以Node为根结点的树中查找最大结点
private Optional<Node<T>> getMaxNode(Node<T> node) {
if (node.right == null) {
return Optional.of(node);
}
return getMaxNode(node.right);
}
//删除操作
//从树中删除最小的结点
public T removeMinNode() {
T result = getMinValue();
if (result == null) {
return null;
}
//更新根结点
this.root = removeMinNode(this.root);
return result;
}
//语义:从以Node为根的二分搜索树中删除元素最小的结点
private Node<T> removeMinNode(Node<T> node) {
//递归终止条件
if (node.left == null) {
//删除操作
//1.记录右子树
Node<T> rightTree = node.right;
//失去关联关系
node.right = null;
//3.跟新size
this.size--;
return rightTree;
}
//递归操作
node.left = removeMinNode(node.left);
return node;
}
//删除操作
//从树中删除最大的结点
public T removeMaxNode() {
T result = getMaxValue();
if (result == null) {
return null;
}
//更新根结点
this.root = removeMaxNode(this.root);
return result;
}
//语义:从以Node为根的二分搜索树中删除元素最大的结点
private Node<T> removeMaxNode(Node<T> node) {
//递归终止条件
if (node.right == null) {
//删除操作
//1.记录左子树
Node<T> leftTree = node.left;
//失去关联关系
node.left = null;
//3.跟新size
this.size--;
return leftTree;
}
//递归操作
node.right = removeMaxNode(node.right);
return node;
}
//删除任意结点
public void remove(T ele) {
//根据值查找结点
this.root = remove(this.root, ele);
}
//语义:从以Node为根的二分搜索树中删除值为ele的结点
private Node<T> remove(Node<T> node, T ele) {
//递归终止的条件
//没有找到
if (node == null) {
return null;
}
//找到了
if (node.ele.compareTo(ele) == 0) {
this.size--;
//Node就是要删除的结点
if (node.left == null) {
Node<T>rightNode=node.right;
node.right=null;
return rightNode;
} else if (node.right == null) {
Node<T>leftNode=node.left;
node.left=null;
return leftNode;
} else {
Node<T> suffixNode = getMinNode(node.right).get();
suffixNode.right=removeMinNode(node.right);
suffixNode.left=node.left;
this.size++;
//失去关联关系
node.left=node.right=null;
return suffixNode;
}
}
//递归操作
if (node.ele.compareTo(ele) > 0) {
node.left = remove(node.left, ele);
} else {
node.right = remove(node.right, ele);
}
return node;
}
//删除根节点
public void removeRoot(){
if(this.root==null){
return;
}
remove(this.root.ele);
}
}
五、例题
1.700. 二叉搜索树中的搜索
class Solution {
public TreeNode searchBST(TreeNode root, int val) {
if(root==null){
return null;
}
if(val==root.val){
return root;
}
return searchBST(val<root.val?root.left:root.right,val);
}
}
2.力扣(LeetCode)官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台
class Solution {
public TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
//更新根结点
return root = addDG(root, val);
}
//语义:向以root为根的二分搜索树中添加元素ele
private TreeNode addDG(TreeNode root, int val) {
//递归终止条件
if (root == null) {
return new TreeNode(val);
}
//递归操作
if (root.val>val) {
root.left = addDG(root.left, val);
} else if (root.val<val) {
root.right = addDG(root.right, val);
}
return root;
}
}
3.力扣(LeetCode)官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-827952.html
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-827952.html
class Solution {
public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {
List<List<Integer>> list = new ArrayList<List<Integer>>();
if (root == null) {
return list;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<TreeNode>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
List<Integer> level = new ArrayList<Integer>();
int temp = queue.size();
for (int i = 1; i <= temp; i++) {
TreeNode node = queue.poll();
level.add(node.val);
if (node.left != null) {
queue.offer(node.left);
}
if (node.right != null) {
queue.offer(node.right);
}
}
list.add(level);
}
return list;
}
}
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