§ 3 § 3 §3 线性变换的矩阵
设 V V V 是数域 P P P 上 n n n 维线性空间,
ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n} ε1,ε2,⋯,εn 是 V V V
的一组基, 现在我们来建立线性变换与矩阵的关系.
空间 V V V 中任一向量 ξ \xi ξ 可以经
ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n} ε1,ε2,⋯,εn
线性表出,即有关系式
ξ = x 1 ε 1 + x 2 ε 2 + ⋯ + x n ε n , \xi=x_{1} \varepsilon_{1}+x_{2} \varepsilon_{2}+\cdots+x_{n} \varepsilon_{n}, ξ=x1ε1+x2ε2+⋯+xnεn,
其中系数是唯一确定的, 它们就是 ξ \boldsymbol{\xi} ξ 在这组基下的坐标.
由于线性变换保持线性关系不变,因而在 ξ \xi ξ 的像 A ξ \mathscr{A} \xi Aξ
与基的像
A ε 1 , A ε 2 , ⋯ , A ε n \mathscr{A} \varepsilon_{1}, \mathscr{A} \varepsilon_{2}, \cdots, \mathscr{A} \varepsilon_{n} Aε1,Aε2,⋯,Aεn
之间也必然有相同的关系, 即
A ξ = A ( x 1 ε 1 + x 2 ε 2 + ⋯ + x n ε n ) = x 1 A ε 1 + x 2 A ε 2 + ⋯ + x n A ε n . \mathscr{A} \boldsymbol{\xi}=\mathscr{A}\left(x_{1} \boldsymbol{\varepsilon}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+x_{n} \boldsymbol{\varepsilon}_{n}\right)=x_{1} \mathscr{A} \boldsymbol{\varepsilon}_{1}+x_{2} \mathscr{A} \boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+x_{n} \mathscr{A} \boldsymbol{\varepsilon}_{n} \text {. } Aξ=A(x1ε1+x2ε2+⋯+xnεn)=x1Aε1+x2Aε2+⋯+xnAεn.
上式表明,如果我们知道了基
ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n} ε1,ε2,⋯,εn
的像,那么线性空间中任意一个向量 ξ \xi ξ 的像也就知道了, 或者说
1. 设 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n} ε1,ε2,⋯,εn
是线性空间 V V V 的一组基. 如果线性变换 A \mathscr{A} A 与 B \mathscr{B} B
在这组基上的作用相同, 即
A ε i = B ε i , i = 1 , 2 , ⋯ , n , \mathscr{A} \varepsilon_{i}=\mathscr{B} \varepsilon_{i}, \quad i=1,2, \cdots, n, Aεi=Bεi,i=1,2,⋯,n,
那么 A = B \mathscr{A}=\mathscr{B} A=B.
证明 A \mathscr{A} A 与 B \mathscr{B} B
相等的意义是它们对每个向量的作用相同. 因此, 我们就是要证明对任一向量
ξ \xi ξ, 等式 A ξ = B ξ \mathscr{A} \xi=\mathscr{B} \xi Aξ=Bξ 成立. 而由 (2) 及假设,
即得
A ξ = x 1 A ε 1 + x 2 A ε 2 + ⋯ + x n A ε n = x 1 B ε 1 + x 2 B ε 2 + ⋯ + x n B ε n = B ξ . \mathscr{A} \boldsymbol{\xi}=x_{1} \mathscr{A} \boldsymbol{\varepsilon}_{1}+x_{2} \mathscr{A} \boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+x_{n} \mathscr{A} \boldsymbol{\varepsilon}_{n}=x_{1} \mathscr{B} \boldsymbol{\varepsilon}_{1}+x_{2} \mathscr{B} \boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+x_{n} \mathscr{B} \boldsymbol{\varepsilon}_{n}=\mathscr{B} \boldsymbol{\xi} . Aξ=x1Aε1+x2Aε2+⋯+xnAεn=x1Bε1+x2Bε2+⋯+xnBεn=Bξ.
结论 1
的意义就是,一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面我们进一步指出,基向量的像却完全可以是任意的,也就是说
2. 设 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n} ε1,ε2,⋯,εn
是线性空间 V V V 的一组基. 对于任意一组向量
α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,⋯,αn,
一定有一个线性变换 A \mathscr{A} A, 使
A ε i = α i , i = 1 , 2 , ⋯ , n . \mathscr{A} \varepsilon_{i}=\boldsymbol{\alpha}_{i}, \quad i=1,2, \cdots, n . Aεi=αi,i=1,2,⋯,n.
证明 我们来作出所要的线性变换.设
ξ = ∑ i = 1 n x i ε i \xi=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \varepsilon_{i} ξ=i=1∑nxiεi
是线性空间 V V V 的任意一个向量,我们定义 V V V 的变换 A \mathscr{A} A 为
A ξ = ∑ i = 1 n x i α i \mathscr{A} \xi=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \alpha_{i} Aξ=i=1∑nxiαi
下面来证明变换 A \mathscr{A} A 是线性的.
在 V V V 中任取两个向量,
β = ∑ i = 1 n b i ε i , γ = ∑ i = 1 n c i ε i . \boldsymbol{\beta}=\sum_{i=1}^{n} b_{i} \boldsymbol{\varepsilon}_{i}, \quad \boldsymbol{\gamma}=\sum_{i=1}^{n} c_{i} \boldsymbol{\varepsilon}_{i} . β=i=1∑nbiεi,γ=i=1∑nciεi.
于是
β + γ = ∑ i = 1 ∞ ( b i + c i ) ε i , k β = ∑ i = 1 n k b i ε i , k ∈ P . \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma}=\sum_{i=1}^{\infty}\left(b_{i}+c_{i}\right) \boldsymbol{\varepsilon}_{i}, \quad k \boldsymbol{\beta}=\sum_{i=1}^{n} k b_{i} \boldsymbol{\varepsilon}_{i}, \quad k \in P . β+γ=i=1∑∞(bi+ci)εi,kβ=i=1∑nkbiεi,k∈P.
按所定义的 A \mathcal{A} A 的表达式 (4),有
A ( β + γ ) = ∑ i = 1 n ( b i + c i ) α i = ∑ i = 1 n b i α i + ∑ i = 1 n c i α i = A β + A γ , A ( k β ) = ∑ i = 1 n k b i α i = k ∑ i = 1 n b i α i = k A β . \begin{array}{c} \mathscr{A}(\boldsymbol{\beta}+\gamma)=\sum_{i=1}^{n}\left(b_{i}+c_{i}\right) \boldsymbol{\alpha}_{i}=\sum_{i=1}^{n} b_{i} \boldsymbol{\alpha}_{i}+\sum_{i=1}^{n} c_{i} \boldsymbol{\alpha}_{i}=\mathscr{A} \boldsymbol{\beta}+\mathscr{A} \boldsymbol{\gamma}, \\ \mathscr{A}(k \boldsymbol{\beta})=\sum_{i=1}^{n} k b_{i} \boldsymbol{\alpha}_{i}=k \sum_{i=1}^{n} b_{i} \boldsymbol{\alpha}_{i}=k \mathscr{A} \boldsymbol{\beta} . \end{array} A(β+γ)=∑i=1n(bi+ci)αi=∑i=1nbiαi+∑i=1nciαi=Aβ+Aγ,A(kβ)=∑i=1nkbiαi=k∑i=1nbiαi=kAβ.文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-829781.html
因此, A \mathscr{A} A 是线性变换.再来证 A \mathscr{A} A 满足 (3) 式. 因为
ε i = 0 ε 1 + ⋯ + 0 ε i − 1 + 1 ε i + 0 ε i + 1 + ⋯ + 0 ε n , i = 1 , 2 , ⋯ , n , \boldsymbol{\varepsilon}_{i}=0 \boldsymbol{\varepsilon}_{1}+\cdots+0 \boldsymbol{\varepsilon}_{i-1}+1 \boldsymbol{\varepsilon}_{i}+0 \boldsymbol{\varepsilon}_{i+1}+\cdots+0 \varepsilon_{n}, \quad i=1,2, \cdots, n, εi=0ε1+⋯+0εi−1+1εi+0εi+1+⋯+0εn,i=1,2,⋯,n,
所以
A ε i = 0 α 1 + ⋯ + 0 α i − 1 + 1 α i + 0 α i + 1 + ⋯ + 0 α n = α i , i = 1 , 2 , ⋯ , n . \mathscr{A} \varepsilon_{i}=0 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots+0 \boldsymbol{\alpha}_{i-1}+1 \boldsymbol{\alpha}_{i}+0 \boldsymbol{\alpha}_{i+1}+\cdots+0 \boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{\alpha}_{i}, \quad i=1,2, \cdots, n . Aεi=0α1+⋯+0αi−1+1αi文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-829781.html
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