P1024 [NOIP2001 提高组] 一元三次方程求解题解-Toy模板网

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题目

有形如： $P1024 [NOIP2001 提高组] 一元三次方程求解题解,二分查找与二分答案,算法,c++$ 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（a,b,c,d均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在−100至100之间），且根与根之差的绝对值≥1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后2位。

提示：记方程，若存在2个数和，且，，则在(,) 之间一定有一个根。

输入输出格式

输入格式

一行，4个实数a,b,c,d。

输出格式

一行，3个实根，从小到大输出，并精确到小数点后2位。

输入输出样例

输入样例

1 -5 -4 20

输出样例

-2.00 2.00 5.00

解析

此题目考虑使用二分的方法求解。使用零点存在性定理：对连续函数f(x)若有f(a)*f(b)<0(a<b)则f(x)在区间(a,b)上至少存在一个解。这样就可以判断在一个区间中是否有解。

令条件为f(x)>=0，显然在上述区间(a,b)上条件具有单调性：在根的一侧f(x)都是负数，另一侧f(x)都是正数。题目中说明了任意两根之差不小于1，那么可以把[-100,100]等分成若干份[i,i+1)(这里左闭右开是为了防止端点处是零点导致得到重复解)。在每个小段中至多只有一个零点，这意味着这个区间上的条件具有单调性。

于是一个定义在实数区间上的二分方法就得出：如果中点的函数值和某端点的正负性相同，那么零点一定在中点的另一侧。

注意：实数之间不能直接比较是否相等，而是判断之间的差值是否小于eps。

同时二分的次数和精度有关，但是考虑每次二分的区间都可以减少一半，缩减的速度还是很快的，因此也是对数级别。与整数区间二分有一点微妙的区别，实数区间上的二分需要确定好精度。题目要求输出与保留两位小数，那么可以在二分端点相差不超过时停止二分来确保精度。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-831185.html

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define eps 1e-4
using namespace std;
double a,b,c,d;
double f(double x){
	return a*pow(x,3)+b*pow(x,2)+c*x+d;//计算函数值
}
int main(){
	cin>>a>>b>>c>>d;
	for(int i=-100;i<=100;i++){
		double l=i,r=i+1,mid;
		if(fabs(f(l))<eps){//端点处处理，左闭右开
			printf("%.2lf ",l);
		}
		else if(fabs(f(r))<eps){
			continue;
		}
		else if(f(l)*f(r)<0){//在区间(l,r)上执行二分
			while(r-l>eps){
				mid=(l+r)/2;
				if(f(mid)*f(r)>0){//如果f(mid)和f(r)正负性相同，那么零点在mid左侧
					r=mid;
				}
				else{//否则在另一侧
					l=mid;
				}
			}
			printf("%.2lf ",l);
		}
	}
}

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